خطوط کلی برای علامت گذاری شاخص و عملیات [ ویرایش ]

سنسورها برابر هستند اگر و فقط اگر هر جز corresponding مربوطه برابر باشد. به عنوان مثال ، تنسور A برابر است با سنسور B اگر و فقط اگر

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = B ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}

برای همه α ، β ، γ . در نتیجه ، جنبه هایی از نت گذاری وجود دارد که برای بررسی منطقی بودن یک معادله مفید است (روشی مشابه تجزیه و تحلیل ابعادی ).

شاخص های رایگان و ساختگی [ ویرایش ]

شاخص هایی که در انقباضات نقش ندارند ، شاخص های آزاد نامیده می شوند . شاخص هایی که در انقباضات استفاده می شوند ، شاخص های ساختگی یا شاخص های جمع هستند .

معادله تنسور نشان دهنده بسیاری از معادلات معمولی (با ارزش واقعی) است [ ویرایش ]

اجزای سنسورها (مانند A α ، B β γ و غیره) فقط اعداد واقعی هستند. از آنجا که شاخص ها مقادیر عدد صحیح مختلفی را برای انتخاب اجزای خاص سنسورها می گیرند ، یک معادله تنسور منفرد نشان دهنده بسیاری از معادلات معمولی است. اگر برابری تنسور دارای n شاخص آزاد باشد ، و اگر ابعاد فضای بردار زمینه ای m باشد ، برابری نشان دهنده معادلات m n است: هر شاخص هر مقدار از یک مجموعه خاص از مقادیر را به خود اختصاص می دهد.

به عنوان مثال ، اگر

A ^ \ alpha B_ \ beta {} ^ \ gamma C _ {\ gamma \ delta} + D ^ \ alpha {} _ \ beta {} E_ \ delta = T ^ \ alpha {} _ \ beta {} _ \ delta

در چهار بعد است (یعنی هر شاخص از 0 تا 3 یا از 1 تا 4 اجرا می شود) ، پس چون سه شاخص آزاد وجود دارد ( α ، β ، δ ) ، معادلات 4 3 = 64 وجود دارد. سه مورد از این موارد عبارتند از:

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} A ^ {0} B_ {1} {} ^ {0} C_ {00} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {1} C_ {10} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {2} C_ {20} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {3} C_ {30} + D ^ {0} {} _ {1} {} E_ {0} & = T ^ {0} {} _ {1} {} _ {0} \\ A ^ {1} B_ {0} {} ^ {0} C_ {00} + A ^ { 1} B_ {0} {} ^ {1} C_ {10} + A ^ {1} B_ {0} {} ^ {2} C_ {20} + A ^ {1} B_ {0} {} ^ { 3} C_ {30} + D ^ {1} {} _ {0} {} E_ {0} & = T ^ {1} {} _ {0} {} _ {0} \\ A ^ {1} B_ {2} {} ^ {0} C_ {02} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {1} C_ {12} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {2} C_ {22} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {3} C_ {32} + D ^ {1} {} _ {2} {} E_ {2} & = T ^ {1} { } _ {2} {} _ {2}. \ end {تراز شده}}}

این فشردگی و کارایی استفاده از نمادگذاری شاخص را نشان می دهد: بسیاری از معادلات که همه دارای ساختار مشابه هستند را می توان در یک معادله تنسور ساده جمع کرد.

شاخص ها برچسب های قابل تعویض هستند [ ویرایش ]

جایگزینی هر نماد شاخص در سراسر دیگر ، معادله تنسور را بدون تغییر باقی می گذارد (به شرطی که هیچ تضادی با سایر نمادهای قبلاً استفاده نشده باشد). این می تواند هنگام دستکاری شاخص ها ، مانند استفاده از علامت گذاری شاخص برای تأیید هویت حساب بردار یا هویت دلتا Kronecker و نماد Levi-Civita مفید باشد (به پایین نیز نگاه کنید). مثالی از یک تغییر صحیح این است:

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ rightarrow A ^ {\ lambda} B _ {\ beta} {} ^ {\ mu} C _ {\ mu \ delta} + D ^ {\ lambda} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ ،، }

در حالی که یک تغییر اشتباه است:

A ^ \ alpha B_ \ beta {} ^ \ gamma C _ {\ gamma \ delta} + D ^ \ alpha {} _ \ beta {} E_ \ delta \ nrightarrow A ^ \ lambda B_ \ beta {} ^ \ gamma C_ { \ mu \ delta} + D ^ \ alpha {} _ \ beta {} E_ \ delta \ ،.

در اولین جایگزینی ، λ جایگزین α و μ در همه جا جایگزین γ شد ، بنابراین این عبارت هنوز معنی یکسانی دارد. در دوم ، λ به طور کامل جایگزین α نیست ، و μ به طور کامل جایگزین γ نمی شود (اتفاقاً انقباض در شاخص γ به یک محصول تنسور تبدیل شد) ، که به دلایلی که در ادامه نشان داده شده کاملاً متناقض است.

شاخص ها در هر اصطلاح یکسان هستند [ ویرایش ]

شاخص های آزاد در بیان تنسور همیشه در هر اصطلاح در همان وضعیت (بالا یا پایین) ظاهر می شوند و در یک معادله تنسور شاخص های آزاد در هر طرف یکسان هستند. شاخص های ساختگی (که بیانگر جمع بندی آن شاخص است) لازم نیست یکسان باشند ، به عنوان مثال:

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ delta} E _ {\ beta} = T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}

همانطور که برای یک عبارت اشتباه است:

A ^ \ alpha B_ \ beta {} ^ \ gamma C _ {\ gamma \ delta} + D_ \ alpha {} _ \ beta {} ^ \ gamma E ^ \ delta.

به عبارت دیگر ، شاخص های غیر تکراری باید در هر اصطلاح معادله از یک نوع باشند. در هویت فوق ، α ، β ، δ در یک خط قرار می گیرند و γ در یک اصطلاح دو بار به دلیل انقباض (یک بار به عنوان یک شاخص بالا و یک بار به عنوان یک شاخص پایین تر) دو بار اتفاق می افتد ، و بنابراین یک عبارت معتبر است. در عبارت نامعتبر ، در حالی که β به صف می رود ، α و δ چنین نیستند و γ دو بار در یک اصطلاح ظاهر می شود (انقباض) و یک بار در اصطلاح دیگر ، که متناقض است.

از براکت ها و علائم نگارشی یکبار استفاده می شود که ضمنی است [ ویرایش ]

هنگام استفاده از یک قانون برای تعدادی از شاخص ها (تمایز ، تقارن و غیره ، که در زیر نشان داده شده است) ، نمادهای براکت یا علائم نگارشی که نشان دهنده قوانین هستند فقط در یک گروه از شاخص هایی که اعمال می شوند نشان داده می شوند.

اگر براکت ها شاخص های متغیر را محصور کنند - این قانون فقط در مورد تمام شاخص های متغیر محصور شده در داخل براکت ها اعمال می شود ، نه در مورد شاخص های متغیر که به طور متوسط ​​بین براکت ها قرار می گیرند.

به طور مشابه اگر براکت ها شاخص های ضد متغیر را در بر بگیرند - این قانون فقط برای همه شاخص های ضد متغیر محصور شده اعمال می شود ، نه برای شاخص های متغیر با فاصله متوسط.

قطعات متقارن و ضد متقارن [ ویرایش ]

قسمت متقارن تانسور [ ویرایش ]

پرانتزها ، () ، در اطراف شاخص های مختلف نشانگر قسمت متقارن تانسور است. هنگام تقارن شاخص های p با استفاده از σ برای دامنه سازی بیش از جایگشت های اعداد 1 تا p ، یک جمع بیش از جایگشت های آن شاخص های α σ ( i ) برای i = 1 ، 2 ، 3 ،… ، p جمع می شود و سپس تقسیم بر تعداد جایگشت ها:

{\ displaystyle A _ {(\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}) \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {1 } {p!}} \ sum _ {\ sigma} A _ {\ alpha _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} \ ،.}

به عنوان مثال ، دو شاخص متقارن به معنای وجود دو شاخص برای جا به جایی و جمع است:

A _ {(\ alpha \ beta) \ gamma \ cdots} = \ dfrac {1} {2!} \ left (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} + A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ cdots} \ درست)

در حالی که برای سه شاخص متقارن ، سه شاخص برای جمع و جایگزینی وجود دارد:

{\ displaystyle A _ {(\ alpha \ beta \ gamma) \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ left (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ cdots} + A _ {\ gamma \ alpha \ beta \ delta \ cdots} + A _ {\ beta \ gamma \ alpha \ delta \ cdots} + A _ {\ alpha \ gamma \ beta \ delta \ cdots} + A _ {\ gamma \ beta \ alpha \ delta \ cdots} + A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ delta \ cdots} \ right)}

تقارن توزیعی بر جمع است.

A _ {(\ alpha} \ left (B _ {\ beta) \ gamma \ cdots} + C _ {\ beta) \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {(\ alpha} B _ {\ beta) \ gamma \ cdots} + A _ {(\ alpha} C _ {\ beta) \ gamma \ cdots}

شاخص ها وقتی تقسیم شوندگی نیستند:

  • مثلاً در یک سطح نیست ؛

    A _ {(\ alpha} B ^ {\ beta} {} _ {\ gamma)} = \ dfrac {1} {2!} \ چپ (A _ {\ alpha} B ^ {\ beta} {} _ {\ gamma } + A _ {\ gamma} B ^ {\ beta} {} _ {\ alpha} \ right)

  • در داخل پرانتز و بین میله های عمودی (به عنوان مثال | ⋅⋅⋅ |) ، مثال قبلی را تغییر دهید.

    A _ {(\ alpha} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma)} = \ dfrac {1} {2!} \ سمت چپ (A _ {\ alpha} B _ {\ beta \ gamma} + A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alpha} \ right)

در اینجا شاخص های α و γ متقارن هستند ، β نیست.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ricci_calculus