ادامه حساب ریچی

شاخص های بالا و پایین [ ویرایش ]

حساب Ricci ، و نمره گذاری شاخص به طور کلی ، بین شاخص های پایین تر (زیرنویس ها) و شاخص های بالاتر (فوقالعاده ها) تفاوت قائل می شود. دومی بیان نیستند ، حتی اگر خواننده فقط با سایر قسمتهای ریاضیات آشنا باشد به نظر می رسد.

در موارد خاص (که تانسور متریک در هر نقطه برابر با ماتریس هویت است) ممکن است تمایز بین شاخص های بالا و پایین را حذف کنید ، و سپس تمام شاخص ها را می توان در موقعیت پایین نوشت - فرمول های مختصات در جبر خطی مانند ${\ displaystyle a_ {ij} b_ {jk}}$ برای محصول ماتریسها بعضاً می توان به عنوان نمونه هایی از این مورد فهمید - اما به طور کلی یادداشت ها مستلزم آن است که تمایز بین شاخصهای بالا و پایین مشاهده و حفظ شود.

اجزای تانسور کوواریانت [ ویرایش ]

شاخص پایین (زیر نویس) نشان می دهد کوواریانس از اجزای با توجه به که شاخص:

$A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}$

اجزای تانسور ضد و نقیض [ ویرایش ]

شاخص بالا (بالانویس) نشان می دهد contravariance از اجزای با توجه به که شاخص:

$A ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}$

اجزای تانسور واریانس مختلط [ ویرایش ]

یک سنسور ممکن است هر دو شاخص بالا و پایین داشته باشد:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma} {} ^ {\ delta \ cdots}.}$

ترتیب شاخص ها حتی اگر با اختلاف واریانس متفاوت باشند قابل توجه است. با این حال ، وقتی درک می شود که هیچ شاخصی با حفظ نماد پایه بالا و پایین نمی رود ، شاخص های متغیر برای راحتی سهولت در بعضی مواقع ، زیر شاخص های متغیر قرار می گیرند (مثلاً با دلتای کرونکر تعمیم یافته ).

نوع و درجه تانسور [ ویرایش ]

تعداد هر شاخص بالا و پایین یک سنسور نوع خود را نشان می دهد : گفته می شود که یک سنسور با شاخص های p بالا و q پایین از نوع ( p ، q ) یا یک نوع سنسور ( p ، q ) است .

به تعداد شاخص های یک تانسور ، صرف نظر از واریانس ، درجه تانسور گفته می شود ( درعوض ، ظرفیت ، ترتیب یا درجه آن ، گرچه رتبه مبهم است). بنابراین ، یک سنسور از نوع ( p ، q ) دارای درجه p + q است .

کنوانسیون جمع بندی [ ویرایش ]

علامت مشابهی که در یک اصطلاح دو بار اتفاق می افتد (یک بالا و یک پایین) نشانگر یک جفت شاخص است که در خلاصه می شوند:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} B ^ {\ alpha} \ Equ \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B ^ {\ alpha} \ quad {\ text {or}} \ quad A ^ {\ alpha } B _ {\ alpha} \ Equ \ sum _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} B _ {\ alpha} \،.}$

عملیاتی که با چنین جمع بندی ضمنی است ، انقباض تانسور نام دارد :

$A_ \ alpha B ^ \ beta \ rightarrow A_ \ alpha B ^ \ alpha \ equ \ sum_ \ alpha A _ {\ alpha} B ^ \ alpha \ ،.$

این جمع ممکن است بیش از یک بار در یک اصطلاح با یک نماد مشخص در هر جفت شاخص وجود داشته باشد ، به عنوان مثال:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta} \ Equ \ sum _ {\ alpha} \ sum _ {\ gamma} A_ {\ alpha} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta} \،.}$

سایر ترکیبات شاخص های مکرر در یک اصطلاح غیرمشکل در نظر گرفته می شوند ، مانند

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha} {} ^ {\ gamma} \ qquad}$

(هر دو مورد از $آلفا$ پایین تر هستند ${\ displaystyle A _ {\ alpha} {} ^ {\ alpha \ gamma}}$ خوب خواهد بود)

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ gamma} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta}}$

( $\ گاما$ دو بار به عنوان یک شاخص پایین تر رخ می دهد. ${\ displaystyle A _ {\ alpha \ gamma} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha}}$ یا

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ delta} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta}}$ خوب خواهد بود)

دلیل حذف این فرمول ها این است که اگرچه این کمیت ها می توانند به صورت آرایه ای از اعداد محاسبه شوند ، اما به طور کلی در صورت تغییر مبنای تبدیل به سنسور نمی شوند.

علامت گذاری چند نمایه [ ویرایش ]

اگر یک تنسور لیستی از تمام شاخص های بالا یا پایین داشته باشد ، استفاده از یک حرف کوتاه برای لیست است: [7]

${\ displaystyle A_ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} B ^ {i_ {1} \ cdots i_ {n} j_ {1} \ cdots j_ {m}} C_ {j_ {1} \ cdots j_ { m}} \ Equiv A_ {I} B ^ {IJ} C_ {J}}$

جایی که I = i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i n و J = j 1 j 2 ⋅⋅⋅ j m .

جمع بندی متوالی [ ویرایش ]

یک جفت میله عمودی | | پیرامون مجموعه ای از شاخص های بالادستی یا شاخص های کاملاً پایین ، همراه با انقباض با مجموعه ای دیگر از شاخص ها: [8]

${\ displaystyle A_ {| \ alpha \ beta \ gamma | \ cdots} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} B ^ {| \ alpha \ beta \ gamma | \ cdots} = \ sum _ {\ alpha <\ beta <\ gamma} A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}}$

به معنای یک مجموع محدود بیش از مقادیر شاخص است ، جایی که هر شاخص محدود به شدت کمتر از شاخص دیگر است. میله های عمودی در اطراف مجموعه فوقانی یا مجموعه پایین شاخص های انعقادی قرار می گیرند ، نه هر دو مجموعه. به طور معمول هنگام انقباض شاخص ها ، جمع بیش از تمام مقادیر است. در این علامت گذاری ، جمع بندی به عنوان یک راحتی محاسباتی محدود شده است. این امر زمانی مفید است که این عبارت در هر دو مجموعه شاخص کاملاً نامتقارن باشد ، همانطور که ممکن است در محصول تنسور p- vector با شکل q رخ دهد . بیش از یک گروه را می توان به این روش جمع بندی کرد ، به عنوان مثال:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & A_ {| \ آلفا \ بتا \ گاما |} {} ^ {| \ دلتا \ epsilon \ cdots \ lambda |} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |} C ^ {\ mu \ nu \ cdots \ zeta} \\ [3pt] = {} & \ sum _ {\ alpha <\ beta <\ gamma} ~ \ sum _ {\ delta <\ epsilon <\ cdots <\ lambda} ~ \ sum _ {\ mu <\ nu <\ cdots <\ zeta} A _ {\ alpha \ beta \ gamma} {} ^ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda \ mu \ nu \ cdots \ zeta} C ^ {\ mu \ nu \ cdots \ zeta } \ end {تراز شده}}}$

هنگام استفاده از علامت گذاری چند شاخص ، زیر مجموعه ای در زیر مجموعه شاخص ها قرار می گیرد: [9]

${\ displaystyle A _ {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} {} ^ {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} B ^ {P} {} _ {Q {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} } C ^ {R} = \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} A_ {P} {} ^ {Q} B ^ {P} {} _ {QR} C ^ {R}}$

جایی که

${\ displaystyle {\ underet {\ rightharpoondown} {P}} = | \ alpha \ beta \ gamma | \ ،، \ quad {\ underet {\ rightharpoondown} {Q}} = | \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \ ،، \ quad {\ underet {\ rightharpoondown} {R}} = | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |}$

بالا بردن و کاهش شاخص ها [ ویرایش ]

با انعقاد یک شاخص با یک سنسور متریک غیر منفرد ، می توان نوع تنسور را تغییر داد ، یک شاخص پایین تر را به یک شاخص بالایی تبدیل کرد یا بالعکس:

${\ displaystyle B ^ {\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots} = g ^ {\ gamma \ alpha} A _ {\ alpha \ beta \ cdots} \ quad {\ text {and}} \ quad A _ {\ alpha \ beta \ cdots} = g _ {\ alpha \ gamma} B ^ {\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots}}$

علامت پایه در بسیاری از موارد حفظ می شود (به عنوان مثال با استفاده از A جایی که B در اینجا ظاهر می شود) ، و در صورت عدم ابهام ، ممکن است برای نشان دادن این عملیات ، تغییر مکان یک شاخص گرفته شود.

همبستگی بین موقعیت های شاخص و عدم تغییر [ ویرایش ]

این جدول چگونگی دستکاری شاخص های متغیر و متغیر را با تغییر ناپذیری تحت یک تحول غیرفعال بین پایه ها ، با اجزای تشکیل دهنده هر پایه بر اساس مبنای دیگر در ستون اول ، متناسب می کند . شاخص های ممنوع پس از تحول به سیستم مختصات نهایی اشاره می کنند. [10]

از دلتا کرونکر استفاده شده است ، همچنین به بخش زیر مراجعه کنید .

	تحول مبنا	تحول ملفه	عدم وجود
کاورکتور ، بردار کواریانت ، 1 فرم	${\ displaystyle e ^ {\ bar {\ alpha}} = L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} e ^ {\ beta}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} e ^ {\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} e ^ {\ beta} = a _ {\ gamma} \ delta ^ {\ gamma} {} _ {\ beta} e ^ {\ beta} = a _ {\ beta} e ^ {\ beta}}$
بردار ، بردار ضد واره	${\ displaystyle e _ {\ bar {\ alpha}} = L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} e _ {\ gamma}}$	${\ displaystyle a ^ {\ bar {\ alpha}} = a ^ {\ beta} L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta}}$	${\ displaystyle a ^ {\ bar {\ alpha}} e _ {\ bar {\ alpha}} = a ^ {\ beta} L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} e _ {\ gamma} = a ^ {\ beta} \ delta ^ {\ gamma} {} _ {\ beta} e _ {\ gamma} = a ^ {\ gamma } e _ {\ gamma}}$