طول و عنصر خط [ ویرایش ]

فرض کنید g یک معیار ریمانی در M است . در یک سیستم مختصات محلی x i ، i = 1 ، 2 ،… ، n ، سنسور متریک به عنوان یک ماتریس ظاهر می شود ، که در اینجا با G نشان داده می شود ، ورودی های آن اجزای g ij از سنسور متریک نسبت به زمینه های بردار مختصات است.

بگذارید γ ( t ) یک منحنی پارامتری متغیر قابل تفکیک در M باشد ، برای a ≤ t ≤ b . طول دایره منحنی توسط

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ sum _ {i، j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ right) }} \، dt \ ،.}

در ارتباط با این کاربرد هندسی ، فرم دیفرانسیل درجه دو

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {i، j = 1} ^ {n} g_ {ij} (p) dx ^ {i} dx ^ {j}}

نامیده می شود برای اولین بار شکل اساسی مربوط به متریک، در حالی DS است عنصر خط . وقتی DS 2 است به عقب کشیده به تصویر از یک منحنی در M ، آن را نشان دهنده مربع از دیفرانسیل با توجه به arclength.

برای یک معیار شبه ریمانی ، فرمول طول بالا همیشه تعریف نشده است ، زیرا ممکن است اصطلاح زیر ریشه مربع منفی شود. ما معمولاً فقط زمانی طول منحنی را تعریف می کنیم که مقدار زیر ریشه مربع همیشه با یک علامت باشد. در این حالت تعریف کنید

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left | \ sum _ {i، j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ( {\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ راست) \ راست |}} \ ، dt \ ،.}

توجه داشته باشید که گرچه این فرمول ها از عبارات مختصات استفاده می کنند ، اما در واقع از مختصات انتخاب شده مستقل هستند. آنها فقط به معیار و منحنی که فرمول در آن ادغام شده است بستگی دارند.

انرژی ، اصول تغییرات و ژئودزیک [ ویرایش ]

با توجه به یک بخش از یک منحنی، یکی دیگر از مقدار اغلب تعریف (جنبشی) است انرژی از منحنی:

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ sum _ {i، j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ چپ ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ راست) \ ، dt \ ،.}

این کاربرد از فیزیک ، به طور خاص ، مکانیک کلاسیک ناشی می شود ، جایی که انتگرال E می تواند به طور مستقیم با انرژی جنبشی ذره نقطه ای در حال حرکت بر روی سطح یک منیفولد مطابقت داشته باشد. بنابراین ، به عنوان مثال ، در فرمول اصل Maupertuis توسط ژاکوبی ، سنسور متریک را می توان مطابق با سنسور جرم یک ذره متحرک مشاهده کرد.

در بسیاری از موارد ، هر زمان که محاسبه ای خواستار استفاده از طول می شود ، ممکن است محاسبه مشابهی با استفاده از انرژی نیز انجام شود. این اغلب با اجتناب از نیاز به ریشه مربع به فرمول های ساده تری منجر می شود. بنابراین ، به عنوان مثال ، معادلات ژئودزیک را می توان با استفاده از اصول تغییرات در طول یا انرژی بدست آورد. در حالت اخیر ، معادلات ژئودزیکی ناشی از اصل کمترین اقدام به نظر می رسد : آنها حرکت "ذره ای آزاد" (ذره ای که هیچ نیرویی ندارد) را توصیف می کند که محدود به حرکت بر روی منیفولد است ، اما در غیر این صورت آزادانه حرکت می کند ، با حرکت ثابت ، در داخل منیفولد. [7]

اندازه گیری متعارف و فرم حجم [ ویرایش ]

در قیاس با مورد سطوح، یک تانسور متریک در N بعدی paracompact منیفولد M افزایش به یک راه طبیعی برای اندازه گیری می دهد N بعدی حجم از زیرمجموعه از منیفولد. اندازه گیری مثبت مثبت بورل به شما اجازه می دهد تا با استفاده از انتگرال Lebesgue مرتبط ، نظریه ادغام توابع را در منیفولد ایجاد کنید .

یک معیار را می توان با قضیه نمایش Riesz ، با دادن یک تابعی خطی مثبت Λ بر فضای C 0 تعریف کرد. ( M ) از توابع مداوم فشرده پشتیبانی شده در M . بطور دقیقتر، اگر M یک منیفولد با (شبه) ریمانی تانسور متریک گرم ، و سپس یک مثبت منحصر به فرد وجود دارد اندازه گیری بورل μ گرم طوری که برای هر مختصات نمودار ( U ، φ ) ،

\ Lambda f = \ int_U f \، d \ mu_g = \ int _ {\ varphi (U)} f \ circ \ varphi ^ {- 1} (x) \ sqrt {| \ det g |} \، dx

برای همه F در حمایت U . در اینجا DET گرم است تعیین ماتریس تشکیل شده توسط اجزای تانسور متریک در جدول هماهنگ می کند. اینکه Λ در عملکردهای پشتیبانی شده در محله های مختصات به خوبی تعریف شده است با تغییر متغیرهای ژاکوبی توجیه می شود . این با استفاده از یک تقسیم وحدت به یک عملکرد خطی مثبت منحصر به فرد در C 0 ( M ) گسترش می یابد .

اگر M علاوه بر جهت باشد ، می توان یک فرم حجم طبیعی را از تانسور متریک تعریف کرد. در یک سیستم مختصات مثبت گرا ( x 1 ، ... ، x n ) فرم حجم به صورت نمایش داده می شود

\ omega = \ sqrt {| \ det g |} \، dx ^ 1 \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ n

که در آن DX من هستند هماهنگ تفاوت و ∧ نشان دهنده کالا بیرونی در جبر و مقابله از فرم های دیفرانسیل . فرم حجم نیز راهی را برای ادغام توابع روی منیفولد فراهم می کند و این انتگرال هندسی با انتگرال بدست آمده توسط اندازه گیری متعارف بورل موافق است.

مثالها [ ویرایش ]

معیار اقلیدسی [ ویرایش ]

آشنا ترین مثال مربوط به هندسه ابتدایی اقلیدسی است : تانسور متریک اقلیدسی دو بعدی . در مختصات معمول ( x ، y ) می توانیم بنویسیم

{\ displaystyle g = {\ start {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ،.}

طول منحنی به فرمول کاهش می یابد:

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}}} \،.}

معیار اقلیدسی را در برخی دیگر از سیستم های مختصات معمول می توان به صورت زیر نوشت.

مختصات قطبی ( r ، θ ) :

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ J & = {\ start {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \ end {bmatrix}} \ ،. \ end {تراز شده}}}

بنابراین

{\ displaystyle g = J ^ {\ mathsf {T}} J = {\ start {bmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta & -r \ sin \ theta \ cos \ theta + r \ sin \ theta \ cos \ theta \\ - r \ cos \ theta \ sin \ theta + r \ cos \ theta \ sin \ theta & r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + r ^ {2 } \ cos ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}} = {\ start {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ {2} \ end {bmatrix}}}

توسط هویت های مثلثاتی .

به طور کلی، در یک مختصات دکارتی سیستم ایکس من در فضای اقلیدسی ، مشتق جزئی ∂ / ∂ X من می orthonormal با توجه به متریک اقلیدسی. بنابراین سنسور متریک دلتا کرونکر δ است IJ در این سیستم مختصات. سنسور متریک با توجه به مختصات دلخواه (احتمالاً منحنی) q i توسط داده می شود

{\ displaystyle g_ {ij} = \ sum _ {kl} \ delta _ {kl} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ frac {\ partial x ^ {l}} {\ partial q ^ {j}}} = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ جزئی q ^ {j}}}.}

معیار گرد روی کره [ ویرایش ]

کره واحد در 3 پوند از طریق فرآیند توضیح داده شده در بخش متریک القایی ، به یک متریک طبیعی القا شده از متریک محیط اقلیدسی مجهز است . در مختصات استاندارد کروی ( θ ، φ ) ، با θ colatitude ، زاویه اندازه گیری شده از Z محور، و φ زاویه از X محور در XY هواپیما، متریک به شکل

{\ displaystyle g = {\ start {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ sin ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}} \ ،.}

این معمولاً در فرم نوشته می شود

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \، d \ varphi ^ {2} \ ،.}

معیارهای لورنتزی از نسبیت [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تانسور متریک (نسبیت عام)

در فضای مسطح مینکوفسکی ( نسبیت خاص ) ، با مختصات

{\ displaystyle r ^ {\ mu} \ rightarrow \ چپ (x ^ {0} ، x ^ {1} ، x ^ {2} ، x ^ {3} \ راست) = (ct، x، y، z) \ ،،}

متریک ، بسته به انتخاب امضای متریک ،

{\ displaystyle g = {\ start {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}} \ quad {\ text {or}} \ quad g = {\ start { bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ،.}

برای منحنی دارای مختصات زمان ثابت - فرمول طول با این معیار به فرمول طول معمول کاهش می یابد. برای یک منحنی به موقع ، فرمول طول زمان مناسب در امتداد منحنی را می دهد.

در این حالت ، فاصله زمان-زمان به صورت نوشته می شود

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = dr ^ {\ mu} dr _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} dr ^ {\ mu} dr ^ {\ nu} \ ،.}

متریک شوارتزشیلد توصیف فضا زمان در اطراف یک جسم متقارن کروی، مانند یک سیاره یا یک سیاه چاله . با مختصات

{\ displaystyle \ left (x ^ {0}، x ^ {1}، x ^ {2}، x ^ {3} \ right) = (ct، r، \ theta، \ varphi) \ ،،}

ما می توانیم معیار را به صورت زیر بنویسیم

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ start {bmatrix} \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ چپ (1- { \ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ پایان {bmatrix}} \ ،،}

جایی که G (درون ماتریس) ثابت گرانش است و M نشان دهنده مقدار کل انرژی جرم جسم مرکزی است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor