دارای اجزایی است که به صورت متغیر تغییر شکل می دهند:

v [\ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} v [\ mathbf {f}].

در نتیجه ، مقدار X = f v [ f ] به روش اساسی به انتخاب مبنای f بستگی ندارد و بنابراین یک میدان برداری را روی M تعریف می کند . این عملیات ( 9 ) ارتباط به (هموردا) اجزای یک covector [ F ] (به دارای contravariant) اجزای یک بردار V [ F ] داده شده است به نام بالا بردن شاخص . در م componentsلفه ها ، ( 9 ) است

{\ displaystyle v ^ {i} [\ mathbf {f}] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} [\ mathbf {f}] a_ {k} [\ mathbf {f} ].}

معیار القایی [ ویرایش ]

اجازه دهید U یک مجموعه باز در ℝ N ، و اجازه دهید φ شود به طور مداوم مشتقپذیر تابع از U به فضای اقلیدسی ℝ متر ، که در آن متر > N . نقشه برداری φ یک نام غوطه وری اگر دیفرانسیل آن است تزریقی در هر نقطه از U . تصویر φ را زیر شاخه غوطه ور می نامند . به طور خاص ، برای m = 3 ، این بدان معنی است که فضای اقلیدسی محیط استℝ 3 ، تانسور متریک ناشی از این است که به نام اولین شکل اساسی .

فرض کنید که φ غوطه وری در زیر شاخه M ⊂ R m باشد. معمول اقلیدسی محصول نقطه در ℝ متر متریک که، هنگامی که به بردارهای مماس به محدود است M ، می دهد وسیله ای برای گرفتن محصول از نقطه این بردارهای مماس. به این معیار سنجش القا می شود .

فرض کنید v یک بردار مماس در نقطه U باشد ، مثلاً

{\ displaystyle v = v ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ dots + v ^ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

که در آن E من هستند استاندارد هماهنگ بردارها در ℝ N . هنگامی که φ به U اعمال می شود ، بردار v به بردار مماسی که به M داده می شود می رود

{\ displaystyle \ varphi _ {*} (v) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {a = 1} ^ {m} v ^ {i} {\ frac {\ partial \ varphi ^ {a}} {\ جزئی x ^ {i}}} \ mathbf {e} _ {a} \ ،.}

(این است که به نام pushforward از V همراه φ .) با توجه به دو بردار مانند، V و W ، متریک ناشی تعریف شده توسط

g (v، w) = \ varphi _ * (v) \ cdot \ varphi _ * (w).

از یک محاسبه ساده نتیجه می گیرد که ماتریس متریک القایی در زمینه بردارهای مختصات e توسط

{\ displaystyle G (\ mathbf {e}) = (D \ varphi) ^ {\ mathsf {T}} (D \ varphi)}

جایی که Dφ ماتریس یعقوبی است:

{\ displaystyle D \ varphi = {\ start {bmatrix} {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {n}}} \\ [1ex] {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {n}}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ { 1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ {n}}} \ end {bmatrix}}.}

تعاریف ذاتی معیار [ ویرایش ]

مفهوم متریک را می توان ذاتیاً با استفاده از زبان بسته های فیبر و بسته های برداری تعریف کرد . در این اصطلاحات ، یک سنسور متریک یک تابع است

{\ displaystyle g: \ mathrm {T} M \ times _ {M} \ mathrm {T} M \ to \ mathbf {R}}

 

 

 

 

( 10 )

از محصول فیبر از بسته نرم افزاری مماس از M با خود به R به طوری که محدودیت گرم به هر فیبر نقشه برداری دارای دو خط مستقیم nondegenerate است

{\ displaystyle g_ {p}: \ mathrm {T} _ {p} M \ times \ mathrm {T} _ {p} M \ to \ mathbf {R}.}

نقشه برداری ( 10 ) بسته به مورد مورد نظر ، و اینکه آیا M می تواند از چنین ساختاری پشتیبانی کند ، لازم است مداوم و اغلب به طور مداوم قابل تفکیک ، روان یا واقعی باشد .

متریک به عنوان بخشی از یک بسته نرم افزاری [ ویرایش ]

توسط اموال جهانی محصول تانسور ، هر نقشه برداری دارای دو خط مستقیم ( 10 ) افزایش می دهد به طور طبیعی به یک بخش گرم ⊗ از دو از بسته نرم افزاری محصول تانسور از T M با خود

{\ displaystyle g _ {\ otimes} \ in \ Gamma \ left ((\ \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M) ^ {*} \ right).}

بخش گرم ⊗ بر عناصر ساده از تعریف T M ⊗ T M توسط

{\ displaystyle g _ {\ otimes} (v \ otimes w) = g (v، w)}

و با گسترش خطی به ترکیبات خطی عناصر ساده ، روی عناصر دلخواه T M ⊗ T M تعریف می شود. شکل دو خطی g اصلی متقارن است و فقط اگر باشد

{\ displaystyle g _ {\ otimes} \ circ \ tau = g _ {\ otimes}}

جایی که

{\ displaystyle \ tau: \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M {\ stackrel {\ cong} {\ to}} TM \ otimes TM}

است نقشه بافتن .

از آنجا که M بعدی محدود است ، یک شکل گیری طبیعی وجود دارد

{\ displaystyle (\ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M) ^ {*} \ Cong \ mathrm {T} ^ {*} M \ otimes \ mathrm {T} ^ {*} M ،}

به طوری که گرم ⊗ نیز به عنوان یک بخش از بسته نرم افزاری در نظر گرفته T * M ⊗ T * M از کتانژانت بسته نرم افزاری T * M با خود. از آنجا که g به عنوان یک نقشه دو خطی متقارن است ، از این رو g ⊗ یک سنسور متقارن است .

متریک در یک بسته نرم افزاری برداری [ ویرایش ]

به طور کلی ، ممکن است از یک متریک در یک بسته نرم افزاری بردار صحبت شود . اگر E یک بسته نرم افزاری بردار روی یک منیفولد M باشد ، یک معیار یک نقشه است

g: E \ times_M E \ to \ mathbf {R}

از محصول فیبر از E به R است که دارای دو خط مستقیم در هر فیبر:

g_p: E_p \ بار E_p \ تا \ mathbf {R}.

با استفاده از دوگانگی در بالا ، متریک اغلب با بخشی از بسته محصول tensor E * ⊗ E * مشخص می شود . (به متریک (بسته نرم افزاری بردار) مراجعه کنید .)

ایزومورفیسم تانژانت - لخته [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: یکنواختی موسیقی

تنسور متریک یک انحراف طبیعی از بسته مماس به بسته نرم افزاری می دهد که گاهی اوقات همسان سازی موسیقی نامیده می شود . [6] این ریختی است که با تنظیم به دست آمده، برای هر مماس بردار X ص ∈ T ص M ،

{\ displaystyle S_ {g} X_ {p} \، {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \، g (X_ {p}، -)،}

خطی کاربردی در T ص M که می فرستد یک بردار مماس Y ص در ص به گرم ص ( X ص ، Y ص ) . یعنی از نظر جفت شدن [- ، -] بین T p M و فضای دوتایی آن T*
صم ،

{\ displaystyle [S_ {g} X_ {p}، Y_ {p}] = g_ {p} (X_ {p}، Y_ {p})}

برای همه بردارهای مماس X p و Y p . نقشه برداری S g یک تغییر شکل خطی از T p M به T است*
صM . آن را از تعریف غیر انحطاط شرح زیر است که هسته از S گرم به صفر کاهش می یابد، و این کار را با قضیه رتبه بطلان ، S گرم است ریختی خطی . بعلاوه ، S g یک تغییر شکل خطی متقارن است به این معنا که

{\ displaystyle [S_ {g} X_ {p}، Y_ {p}] = [S_ {g} Y_ {p}، X_ {p}]}

برای همه بردارهای مماس X p و Y p .

برعکس ، هر ایزومورفیسم خطی S  : T p M → T*
صM یک فرم دو خطی غیر خراب را بر روی T p M با استفاده از تعریف می کند

{\ displaystyle g_ {S} (X_ {p}، Y_ {p}) = [SX_ {p}، Y_ {p}] \،.}

این فرم دو خطی متقارن است اگر و فقط اگر S متقارن باشد. بنابراین یک مکالمه طبیعی یک به یک بین اشکال دو خطی متقارن در T p M و ایزومورفیسم های خطی متقارن T p M با T دو*
صM .

از آنجا که p در M متفاوت است ، S g بخشی از بسته نرم افزاری Hom (T M ، T * M ) از ایزومورفیسم های بسته نرم افزاری بردار بسته نرم افزاری مماس به بسته نرم افزاری را تعریف می کند. این بخش صافی g را دارد : با توجه به g مداوم ، قابل تغییر ، صاف یا واقعی است . نقشه برداری S g ، که به هر فیلد بردار در M مربوط می شود ، یک میدان پوششی روی M یک فرمول انتزاعی از "پایین آوردن شاخص" در یک زمینه بردار ارائه می دهد. وارون S g نقشه برداری T * استM → T M که به طور مشابه ، یک فرمول انتزاعی از "بالا بردن شاخص" در یک زمینه پوششی ارائه می دهد.

معکوس S− 1
گرم نگاشت خطی را تعریف می کند

{\ displaystyle S_ {g} ^ {- 1}: \ mathrm {T} ^ {*} M \ to \ mathrm {T} M}

که غیر معنایی و متقارن است به این معنا که

{\ displaystyle \ left [S_ {g} ^ {- 1} \ alpha، \ beta \ right] = \ left [S_ {g} ^ {- 1} \ beta، \ alpha \ right]}

برای همه پنهانکاران α ، β . چنین نقشه متقارن غیر زاویه ای باعث بوجود آمدن یک نقشه می شود (با اضافه شدن tensor-hom )

{\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M \ otimes \ mathrm {T} ^ {*} M \ to \ mathbf {R}}

یا با همسان سازی دوتایی دوتایی به بخشی از محصول تنسور

{\ displaystyle \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M.}