تحولات هماهنگ [ ویرایش ]

اکنون فرض کنید که با اجازه دادن به u و v به یک جفت متغیر دیگر u ′ و v depend ، پارامتر سازی دیگری انتخاب شده است . سپس آنالوگ ( 2 ) برای متغیرهای جدید است

 

 

 

 

 

( 2 ' )

{\ displaystyle E '= {\ vec {r}} _ {u'} \ cdot {\ vec {r}} _ {u '} ، \ quad F' = {\ vec {r}} _ {u '} \ cdot {\ vec {r}} _ {v '} ، \ quad G' = {\ vec {r}} _ {v '} \ cdot {\ vec {r}} _ {v'}.}

قاعده زنجیره ای مربوط E ، ، F ، و G ، به E ، F ، و G از طریق ماتریس معادله

{\ displaystyle {\ start {bmatrix} E '& F' \\ F '& G' \ end {bmatrix}} = {\ start {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix }} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix }}}

 

 

 

 

( 3 )

که در آن حرف T نشان دهنده ماتریس است . ماتریس با ضرایب E ، F و G به این ترتیب مرتب شده بنابراین توسط ماتریس یاکوبین تغییر مختصات تبدیل می شود

{\ displaystyle J = {\ start {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v'}} \ end {bmatrix}} \،.}

ماتریسی که از این طریق تغییر شکل می دهد ، نوعی از آن است که تانسور نامیده می شود . ماتریکس

{\ displaystyle {\ start {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}

با قانون تبدیل ( 3 ) به عنوان سنسور متریک سطح شناخته می شود.

عدم تغییر طول دایره تحت تغییرات مختصات [ ویرایش ]

Ricci-Curbastro و Levi-Civita (1900) برای اولین بار اهمیت یک سیستم ضرایب E ، F و G را مشاهده کردند که با عبور از یک سیستم مختصات به سیستم دیگر از این طریق تغییر شکل می دهد. نتیجه آن است که اولین شکل اساسی ( 1 ) است ثابت تحت تغییرات در سیستم مختصات، و این به طور انحصاری زیر از خواص تحول E ، F ، و G . در واقع ، طبق قانون زنجیره ای ،

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} du \\ dv \ end {bmatrix}} = {\ start {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} {\ start { bmatrix} du '\\ dv' \ end {bmatrix}}}

به طوری که

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} ds ^ {2} & = {\ آغاز {bmatrix} du & dv \ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix } du \\ dv \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = {\ begin {bmatrix} du '& dv' \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u} {\ u partial u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ [6pt] {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u } {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ [6pt] {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ جزئی v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix} du' \\ dv '\ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = {\ start {bmatrix} du' & dv '\ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix} E' & F '\\ F' & G '\ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix} du '\\ dv' \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = (ds ') ^ {2} \،. \ end {تراز شده}}}

طول و زاویه [ ویرایش ]

تفسیر دیگر تانسور متریک ، که توسط گاوس نیز مورد توجه قرار گرفته است ، این است که روشی را برای محاسبه طول بردارهای مماس با سطح و همچنین زاویه بین دو بردار مماس فراهم می کند. در اصطلاح معاصر ، سنسور متریک به شخص اجازه می دهد تا محصول نقطه ای بردارهای مماس را به روشی مستقل از توصیف پارامتری سطح محاسبه کند. هر بردار مماس را در یک نقطه از سطح پارامتریک M می توان در فرم نوشت

{\ displaystyle \ mathbf {p} = p_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + p_ {2} {\ vec {r}} _ {v}}

برای اعداد واقعی مناسب p 1 و p 2 . اگر دو بردار مماس داده شود:

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ mathbf {a} & = a_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + a_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \\\ mathbf {b} & = b_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + b_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ end {تراز شده}}}

سپس با استفاده از دوشیمیایی محصول نقطه ،

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & = a_ {1} b_ {1} {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r} } _ {u} + a_ {1} b_ {2} {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} + b_ {1} a_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} + a_ {2} b_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \\ [8pt] & = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ {2} b_ {2} G \\ [8pt] & = {\ start {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ start {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {bmatrix}} \ ،. \ end {تراز شده}}}

این به طور مشخص تابعی از چهار متغیر a 1 ، b 1 ، a 2 و b 2 است . با این وجود سودآوری بیشتری به عنوان تابعی مشاهده می شود که یک جفت استدلال a = [ a 1 a 2 ] و b = [ b 1 b 2 ] را در بر می گیرد که بردارهایی در صفحه uv هستند . یعنی قرار دهید

{\ displaystyle g (\ mathbf {a}، \ mathbf {b}) = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ { 2} b_ {2} G \ ،.}

این یک تابع متقارن در a و b است ، به این معنی که

{\ displaystyle g (\ mathbf {a}، \ mathbf {b}) = g (\ mathbf {b}، \ mathbf {a}) \،.}

همچنین دو خطی است ، به این معنی که در هر متغیر a و b جداگانه خطی است . به این معنا که،

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} g \ چپ (\ lambda \ mathbf {a} + \ mu \ mathbf {a} '، \ mathbf {b} \ راست) & = \ lambda g (\ mathbf {a}، \ mathbf {b}) + \ mu g \ left (\ mathbf {a} '، \ mathbf {b} \ right) ، \ quad {\ text {and}} \\ g \ left (\ mathbf {a}، \ lambda \ mathbf {b} + \ mu \ mathbf {b} '\ right) & = \ lambda g (\ mathbf {a}، \ mathbf {b}) + \ mu g \ left (\ mathbf {a}، \ mathbf {b} '\ راست) \ end {تراز شده}}}

برای هر بردار a ، a ′ ، b و b ′ در صفحه uv و هر عدد واقعی μ و λ .

به طور خاص ، طول بردار مماس a توسط داده می شود

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {g (\ mathbf {a}، \ mathbf {a})}}}

و زاویه θ بین دو بردار a و b توسط محاسبه می شود

{\ displaystyle \ cos (\ theta) = {\ frac {g (\ mathbf {a}، \ mathbf {b})} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf { b} \ راست \ |}} \ ،.}

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor