مشتقات [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: واریانس § مجموع متغیرهای غیر همبسته (فرمول Bienaymé)

فرمول ممکن است از واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل حاصل شود. [4]

  • اگر{\ displaystyle x_ {1} ، x_ {2} ، \ ldots ، x_ {n}} هستندn مشاهدات مستقل از جمعیتی که میانگین دارند \ mu  و انحراف معیار \ سیگما ، سپس واریانس کل{\ displaystyle T = (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n})} است n \ sigma ^ {2}.
  • واریانس T / n (میانگین {\ bar {x}}) باید باشد {\ displaystyle n \ left ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}.} متناوبا، از سوی دیگر، {\ displaystyle \ operatorname {Var} \ چپ ({\ frac {T} {n}} \ راست) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ نام اپراتور {Var} (T) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} n \ sigma ^ {2} = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}.}
  • و انحراف معیار T / n باید باشد \ sigma / {\ sqrt {n}}

IId را با حجم نمونه تصادفی [ ویرایش ]

مواردی وجود دارد که یک نمونه گرفته می شود بدون اینکه بدانید از قبل ، طبق برخی از معیارها ، چند مشاهده قابل قبول است. در چنین مواردی ، اندازه نمونهن یک متغیر تصادفی است که تغییر آن به تغییر می یابد ایکس، به طوری که،

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (T) = \ operatorname {E} (N) \ operatorname {Var} (X) + \ operatorname {Var} (N) {\ big (} \ operatorname {E} (X) {\ بزرگ)} ^ {2}}[5]

اگرندارای توزیع پواسون ، و سپس{\ displaystyle \ operatorname {E} (N) = \ operatorname {Var} (N)} با برآوردگر{\ displaystyle N = n}. بنابراین ، برآوردگر از{\ displaystyle \ operatorname {Var} (T)} تبدیل می شود {\ displaystyle nS_ {X} ^ {2} + n {\ bar {X}} ^ {2}}دادن:

{\ displaystyle \ operatorname {Standard ~ Error} ({\ bar {X}}) = {\ sqrt {\ frac {S_ {X} ^ {2} + {\ bar {X}} ^ {2}} {n }}}} زیرا انحراف معیار ریشه مربع واریانس است.

تقریب دانشجو وقتی مقدار σ مجهول است [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: توزیع t دانش آموز § فواصل اطمینان

در بسیاری از کاربردهای عملی ، مقدار واقعی σ ناشناخته است. در نتیجه ، ما باید از توزیعی استفاده کنیم که گسترش احتمالی σ 'را در نظر بگیردs هنگامی که توزیع زمینه ای واقعی گاوسی شناخته شود ، اگرچه با σ ناشناخته است ، پس توزیع تخمینی حاصل از توزیع دانشجویی t پیروی می کند. خطای استاندارد انحراف معیار توزیع Student t است. توزیع T با Gaussian کمی متفاوت است و بسته به اندازه نمونه متفاوت است. نمونه های کوچک تا حدودی احتمال انحراف معیار جمعیت را دست کم می گیرند و دارای یک میانگین متفاوت از میانگین جمعیت واقعی هستند و توزیع t دانشجو احتمال این وقایع را با دم های تا حدودی سنگین تر نسبت به Gaussian حساب می کند. برای تخمین خطای استاندارد یک توزیع t دانشجویی کافی است که به جای σ از انحراف معیار استاندارد "s" استفاده شود و ما می توانیم از این مقدار برای محاسبه فواصل اطمینان استفاده کنیم.

توجه: توزیع احتمال دانشجو به خوبی توسط توزیع گاوسی تقریب زمانی که حجم نمونه بیش از 100. برای چنین نمونه می توان توزیع دوم، استفاده شده است که بسیار ساده تر.

فرضیات و کاربرد [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: فاصله اطمینان

مثالی از نحوه استفاده از SE ، ایجاد میانگین فواصل اطمینان از جمعیت ناشناخته است. اگر توزیع نمونه است به طور معمول توزیع ، از میانگین نمونه، خطای استاندارد و مقادیر توزیع نرمال را می توان به فواصل اعتماد به نفس را محاسبه میانگین واقعی جامعه استفاده می شود. از عبارات زیر می توان برای محاسبه حد اطمینان بالا و پایین 95٪ استفاده کرد{\ bar {x}} برابر است با میانگین نمونه ، SEبرابر است با خطای استاندارد برای میانگین نمونه ، و 1.96 مقدار تقریبی نقطه صدک 97.5 توزیع نرمال است :

حد بالای 95٪ {\ displaystyle = {\ bar {x}} + (\ operatorname {SE} \ زمان 1.96) ،} و

حد 95٪ پایین تر {\ displaystyle = {\ bar {x}} - (\ operatorname {SE} \ زمان 1.96).}

به طور خاص ، خطای استاندارد آماری نمونه (مانند میانگین نمونه ) انحراف معیار واقعی یا تخمینی خطای فرآیندی است که توسط آن ایجاد شده است. به عبارت دیگر ، این انحراف معیار واقعی یا برآورد شده از توزیع نمونه آماری نمونه است. علامت خطای استاندارد می تواند هر یک از SE ، SEM (برای خطای استاندارد اندازه گیری یا میانگین ) یا S E باشد.

خطاهای استاندارد معیارهای ساده عدم اطمینان در یک مقدار را فراهم می کنند و اغلب به دلیل موارد زیر استفاده می شوند: