بخشی از مجموعه آمار
نظریه احتمال
برنامه های Nuvola atlantik.png

در احتمال و آمار ، یک متغیر تصادفی چند متغیره یا بردار تصادفی لیستی از متغیرهای ریاضی است که ارزش هر یک از آنها ناشناخته است ، یا به این دلیل که مقدار هنوز اتفاق نیفتاده است یا به دلیل اینکه دانش ناقصی از مقدار آن وجود دارد. متغیرهای منفرد در یک بردار تصادفی با هم دسته بندی می شوند زیرا همه آنها بخشی از یک سیستم ریاضی واحد هستند - اغلب آنها نمایانگر خصوصیات مختلف یک واحد آماری منفرد هستند . به عنوان مثال ، در حالی که یک فرد معین دارای سن ، قد و وزن مشخص است ، نمایانگر این ویژگی ها از یک فرد نامشخص استاز درون یک گروه یک بردار تصادفی خواهد بود. به طور معمول هر عنصر بردار تصادفی یک عدد واقعی است .

بردار تصادفی اغلب به عنوان زمینه پیاده سازی انواع مختلف دانه مورد استفاده قرار متغیرهای تصادفی ، به عنوان مثال ماتریس تصادفی ، درخت تصادفی ، دنباله تصادفی ، فرایند تصادفی ، و غیره

به طور رسمی ، یک متغیر تصادفی چند متغیره یک بردار ستون است\ mathbf {X} = (X_ {1} ، ... ، X_ {n}) ^ {T}(و یا آن ترانهاده است، که یک بردار ردیف ) که اجزای هستند اسکالر -valued متغیرهای تصادفی در همان فضای احتمال به عنوان یکدیگر(\ امگا ، {\ mathcal {F}} ، P)، جایی که \ امگا است فضای نمونه ،{\ mathcal {F}}است جبر سیگما (مجموعه ای از تمام حوادث)، وپاست اندازه احتمال (تابعی هر رویداد احتمال ).

 

فهرست

توزیع احتمال [ ویرایش ]

هر بردار تصادفی یک اندازه گیری احتمال را در \ mathbb {R} ^ {n}با جبر بورل به عنوان جبر اساسی سیگما. این معیار همچنین به عنوان توزیع احتمال مشترک ، توزیع مشترک یا توزیع چند متغیره بردار تصادفی شناخته می شود.

توزیع هر یک از جزء متغیرهای تصادفیX_ {i}توزیع های حاشیه ای نامیده می شوند . توزیع احتمال شرطی ازX_ {i} داده شده X_ {j} توزیع احتمال استX_ {i} چه زمانیX_ {j} شناخته شده است که یک مقدار خاص است.

تابع توزیع تجمعی {\ displaystyle F _ {\ mathbf {X}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ mapsto [0،1]} از یک بردار تصادفی \ mathbf {X} = (X_ {1} ، ... ، X_ {n}) ^ {T}به صورت [1] تعریف می شود : p.15

{\ displaystyle F _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x}) = \ operatorname {P} (X_ {1} \ leq x_ {1} ، \ ldots ، X_ {n} \ leq x_ {n}) }

 

 

 

 

( معادله 1 )

جایی که {\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1} ، ... ، x_ {n}) ^ {T}}.

عملیات بردارهای تصادفی [ ویرایش ]

بردارهای تصادفی همانند بردارهای غیر تصادفی را می توان تحت همان اعمال جبری قرار داد : جمع ، تفریق ، ضرب با اسکالر و گرفتن محصولات درونی .

تحولات شیب [ ویرایش ]

به طور مشابه ، یک بردار تصادفی جدید\ mathbf {Y} می توان با استفاده از تحول آیفین تعریف کرد g \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ به \ mathbb {R} ^ {n} به یک بردار تصادفی\ mathbf {X} :\ mathbf {Y} = {\ mathcal {A}} \ mathbf {X} + b، جایی که{\ mathcal {A}} هست یک n \ n بار ماتریس وب هست یک n \ بار 1 بردار ستون.

اگر {\ mathcal {A}} یک ماتریس برگشت پذیر است و\ textstyle \ mathbf {X}  یک تابع چگالی احتمال دارد f _ {\ mathbf {X}}، سپس چگالی احتمال\ mathbf {Y}  است

f _ {\ mathbf {Y}} (y) = {\ frac {f _ {\ mathbf {X}} ({\ mathcal {A}} ^ {- 1} (yb))}} {| \ det {\ mathcal { A}} |}}.

نگاشت های غیر قابل برگشت [ ویرایش ]

به طور کلی ما می توانیم نگاشت های برگشت پذیر بردارهای تصادفی را مطالعه کنیم. [2] : ص 290–291

اجازه دهید g از زیرمجموعه باز نگاشت یک به یک باشد {\ mathcal {D}} از \ mathbb {R} ^ {n} به زیرمجموعه{\ mathcal {R}} از \ mathbb {R} ^ {n}، اجازه دهید g مشتقات جزئی مداوم در{\ mathcal {D}}و اجازه دهید تعیین کننده یعقوبی ازg در هیچ نقطه ای صفر باشید {\ mathcal {D}}. فرض کنید بردار تصادفی واقعی است\ mathbf {X}  یک تابع چگالی احتمال دارد{\ displaystyle f _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})} و راضی می کند{\ displaystyle P (\ mathbf {X} \ in {\ mathcal {D}}) = 1}. سپس بردار تصادفی{\ displaystyle \ mathbf {Y} = g (\ mathbf {X})} از چگالی احتمال است

{\ displaystyle \ left.f _ {\ mathbf {Y}} (\ mathbf {y}) = {\ frac {f _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})} {\ left | \ det {\ frac {\ partial g (\ mathbf {x})} {\ partial \ mathbf {x}}} \ right |}} \ right | _ {\ mathbf {x} = g ^ {- 1} (\ mathbf {y })} \ mathbf {1} (\ mathbf {y} \ in R _ {\ mathbf {Y}})}

جایی که\ mathbf {1} نشان دهنده عملکرد شاخص و مجموعه ای{\ displaystyle R _ {\ mathbf {Y}} = \ {\ mathbf {y} = g (\ mathbf {x}): f _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})> 0 \} \ subseteq {\ mathcal {R}}} نشانگر پشتیبانی از\ mathbf {Y} .

مقدار مورد انتظار [ ویرایش ]

مقدار مورد انتظار یا میانگین یک بردار تصادفی\ mathbf {X}  یک بردار ثابت است \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]که عناصر آنها مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی مربوطه هستند. [3] : ص 333

{\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] = (\ operatorname {E} [X_ {1}] ، ... ، \ operatorname {E} [X_ {n}]) ^ {\ mathrm { T}}}

 

 

 

 

( معادله 2 )

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_random_variable