مرز کارآمد و بدون دارایی بدون ریسک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مرز کارآمد

همچنین نگاه کنید به: بهینه سازی نمونه کارها

مرز کارآمد این سهمی که گاهی اوقات "گلوله مارکوویتس" نامیده می شود ، در صورت در دسترس نبودن دارایی بدون ریسک ، مرز کارآمد است. با دارایی بدون ریسک ، خط مستقیم مرز کارآمد است. توجه داشته باشید که محور افقی باید دارای واریانس باشد ، نه نوسان.

MPT یک تئوری واریانس متوسط ​​است و بازده مورد انتظار (میانگین) یک نمونه کارها را با واریانس همان نمونه کارها مقایسه می کند. تصویر بازده مورد انتظار در محور عمودی را نشان می دهد و محور افقی به جای انحراف استاندارد (نوسان) باید دارای واریانس باشد. واریانس مربع نوسان است. فضای واریانس بازگشت - گاهی اوقات فضای "بازگشت انتظار در مقابل خطر" نامیده می شود. هر ترکیب احتمالی دارایی پرخطر را می توان در این فضای بازده مورد انتظار ریسک ترسیم کرد و مجموعه همه نمونه کارهای ممکن منطقه ای را در این فضا تعریف می کند. مرز چپ این منطقه سهمی است [3] و قسمت بالای مرز سهمی مرز کارآمد استدر غیاب دارایی بدون ریسک (که بعضا "گلوله مارکوویتس" نامیده می شود). ترکیبات در امتداد این لبه فوقانی نشان دهنده نمونه کارها (شامل عدم دارایی دارایی بدون ریسک) است که کمترین خطر برای سطح معینی از بازده مورد انتظار وجود دارد. به طور معادل ، پورتفولیویی که در مرز کارآمد قرار دارد نمایانگر ترکیبی است که بهترین بازده مورد انتظار را برای سطح ریسک داده شده ارائه می دهد. مماس قسمت فوقانی مرز هذلولی خط اختصاص سرمایه (CAL) است .

ماتریس ها برای محاسبات مرز کارآمد ترجیح داده می شوند.

به صورت ماتریس ، برای یک "تحمل خطر" مشخصq \ در [0 ، \ ناکافی]، مرز کارآمد با به حداقل رساندن عبارت زیر پیدا می شود:

w ^ {T} \ Sigma wq * R ^ {T} w

جایی که

  • w بردار وزن نمونه کارها است و\ sum _ {i} w_ {i} = 1.(وزن می تواند منفی باشد ، این بدان معناست که سرمایه گذاران می توانند ضمانت نامه کوتاه کنند)
  • \ سیگما است ماتریس کوواریانس برای بازده دارایی در پرتفوی؛
  • q \ geq 0 یک عامل "تحمل ریسک" است ، جایی که 0 نتیجه در پرتفوی با حداقل خطر و \ بی فایده نتایج در پرتفوی بی نهایت بسیار دور از مرز با بازده مورد انتظار و ریسک بی حد و حصر است. و
  • R بردار بازده مورد انتظار است.
  • w ^ {T} \ Sigma w واریانس بازده سبد سهام است.
  • R ^ {T} w بازده مورد انتظار برای نمونه کارها است.

بهینه سازی بالاتر از نقطه در مرز که در آن معکوس شیب مرز خواهد بود را پیدا می کند Q اگر واریانس بازده پرتفوی به جای انحراف استاندارد به صورت افقی رسم شدند. مرز به طور کامل بر روی q پارامتری است .

هری مارکوویتز روش خاصی را برای حل مسئله فوق ایجاد کرد ، الگوریتم خط بحرانی نامیده می شود ، [4] که می تواند محدودیت های خطی اضافی ، مرزهای بالا و پایین دارایی ها را کنترل کند و ثابت شده است که با یک ماتریس کوواریانس قطعی نیمه مثبت کار می کند. نمونه هایی از اجرای الگوریتم خط بحرانی در Visual Basic برای برنامه ها ، [5] در JavaScript [6] و به چند زبان دیگر وجود دارد.

همچنین ، بسیاری از بسته های نرم افزاری ، از جمله MATLAB ، Microsoft Excel ، Mathematica و R ، روال های بهینه سازی عمومی را ارائه می دهند تا استفاده از این موارد برای حل مسئله فوق با توجه به هشدارهای احتمالی (دقت عددی ضعیف ، نیاز به قطعیت مثبت ماتریس کوواریانس) امکان پذیر باشد. .)

یک روش جایگزین برای تعیین مرز کارآمد ، انجام این کار به صورت پارامتر در بازده مورد انتظار پرتفوی است R ^ {T} w این نسخه از مشکل نیاز به این دارد که ما به حداقل برسانیم

{\ displaystyle w ^ {T} \ Sigma w}w ^ {T} \ Sigma w

منوط به

R ^ {T} w = \ mu

برای پارامتر\ mu . این مسئله به راحتی با استفاده از ضریب لاگرانژ حل می شود که منجر به سیستم خطی معادلات زیر می شود:

{\ displaystyle {\ start {bmatrix} 2 \ Sigma & -R \\ R ^ {T} & 0 \ end {bmatrix}} * {\ start {bmatrix} w \\\ lambda \ end {bmatrix}} = {\ شروع {bmatrix} 0 \\\ mu \ end {bmatrix}}}

قضیه دو صندوق سرمایه گذاری مشترک [ ویرایش ]

یک نتیجه اصلی تحلیل فوق قضیه دو صندوق سرمایه گذاری مشترک است . [7] [8] این قضیه بیان می کند که هر نمونه کار در مرز کارآمد را می توان با نگه داشتن ترکیبی از هر دو نمونه کار داده شده در مرز ایجاد کرد. دو نمونه کاره اخیر "صندوق های سرمایه گذاری مشترک" به نام قضیه هستند. بنابراین در غیاب دارایی بدون ریسک ، یک سرمایه گذار می تواند به هر نمونه کارایی مطلوب دلخواه دست یابد ، حتی اگر همه آنچه در دسترس است یک جفت صندوق سرمایه گذاری کارآمد باشد. اگر محل نمونه کارهای مورد نظر در مرز بین مکانهای دو صندوق سرمایه گذاری مشترک باشد ، هر دو صندوق سرمایه گذاری با مقادیر مثبت برگزار می شود. اگر نمونه کارهای مورد نظر خارج از محدوده دو صندوق سرمایه گذاری مشترک باشد ،

دارایی بدون ریسک و خط تخصیص سرمایه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: خط تخصیص سرمایه

دارایی بدون ریسک ، دارایی (فرضی) است که نرخ بدون ریسکی را پرداخت می کند . در عمل ، اوراق بهادار کوتاه مدت دولتی (مانند اسناد خزانه داری آمریکا ) به عنوان یک دارایی بدون ریسک استفاده می شود ، زیرا آنها نرخ بهره ثابت را پرداخت می کنند و ریسک پیش فرض کمتری دارند. دارایی بدون ریسک واریانس صفر در بازده دارد (بنابراین بدون ریسک است). همچنین با دارایی دیگری همبستگی ندارد (طبق تعریف ، از آنجا که واریانس آن صفر است). در نتیجه ، وقتی با هر دارایی یا پرتفوی دارایی دیگری ترکیب شود ، تغییر بازده به طور خطی به تغییر ریسک مربوط می شود زیرا تناسبات در ترکیب متفاوت است.

هنگامی که یک دارایی بدون ریسک معرفی می شود ، نیمه خط نشان داده شده در شکل ، مرز جدید کارآمد است. این ماده در کارنامه خطرناک خالص با بالاترین نسبت شارپ مملو از سهمی است . رهگیری عمودی آن نمونه کارها با 100٪ سهام دارایی بدون ریسک است. مماس بودن با سهمی نشان دهنده نمونه کارهائی است که هیچ دارایی بدون ریسکی در اختیار ندارد و 100٪ دارایی های نگهداری شده در این نمونه کارها در مرحله ممرز اتفاق می افتد. امتیازات بین این امتیازها پرتفویهایی است که حاوی مقادیر مثبتی از پرتفوی مماس خطرناک و دارایی بدون ریسک است. و نقاط روی خط نیمه فراتر از نقطه مماس اهرم می شوندپرتفوی شامل دارایی های منفی دارایی بدون ریسک (دارایی کوتاه فروخته شده است - به عبارت دیگر سرمایه گذار با نرخ بدون ریسک وام گرفته است) و مبلغی که در پرتفوی مماس سرمایه گذاری شده معادل بیش از 100٪ سرمایه گذار سرمایه اولیه. این نیمه خط کارآمد را خط تخصیص سرمایه (CAL) می نامند و فرمول آن را می توان نشان داد

E (R_ {C}) = R_ {F} + \ sigma _ {C} {\ frac {E (R_ {P}) - R_ {F}} {\ sigma _ {P}}}.

در این فرمول P زیرمجموعه دارایی های پرخطر در معرض خطر با گلوله مارکوویتز است ، F دارایی بدون ریسک است و C ترکیبی از پرتفوی P و F است .

با استفاده از نمودار ، معرفی دارایی بدون ریسک به عنوان یک جز possible احتمالی پرتفوی ، دامنه ترکیبات بازده مورد انتظار برای ریسک را بهبود بخشیده است ، زیرا در همه جا به جز در پرتفوی مماس ، نیمه خط بازده مورد انتظار بالاتر از هذلولی است. در هر سطح خطر احتمالی انجام می دهد. واقعیت این است که همه نقاط روی منبع کارآمد خطی را می توان با ترکیبی از منابع از دارایی بدون ریسک و نمونه کارها حالت مماس به عنوان شناخته شده به دست آورد قضیه یک صندوق سرمایهگذاری مشترک ، [7] که در آن سرمایه گذاری متقابل با اشاره به نمونه کارها مماس است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory