ادامه توزیع ویشارت

قضیه [ ویرایش ]

اگر P × ص ماتریس تصادفی X دارای توزیع Wishart با متر درجه آزادی و ماتریس واریانس V - نوشتن $\ mathbf {X} \ sim \ mathcal {W} _p ({\ mathbf V} ، متر)$ - و C یک ماتریس q × p از رتبه q است ، سپس [11]

$\ mathbf {C} \ mathbf {X} {\ mathbf C} ^ T \ sim \ mathcal {W} _q \ سمت چپ ({\ mathbf C} {\ mathbf V} {\ mathbf C} ^ T ، m \ راست) .$

نتیجه 1 [ ویرایش ]

اگر z یک بردار ثابت p × 1 غیر صفر است ، پس: [11]

${\ mathbf z} ^ T \ mathbf {X} {\ mathbf z} \ sim \ sigma_z ^ 2 \ chi_m ^ 2.$

در این مورد، $\ chi_m ^ 2$ است توزیع چی مربع و $\ sigma_z ^ 2 = {\ mathbf z} ^ T {\ mathbf V} {\ mathbf z}$ (توجه داشته باشید که $\ sigma_z ^ 2$ یک ثابت است؛ مثبت است زیرا V قطعی است)

نتیجه گیری 2 [ ویرایش ]

حالتی را در نظر بگیرید که z T = (0 ، ... ، 0 ، 1 ، 0 ، ... ، 0) (یعنی عنصر j -th یک است و بقیه صفر است). سپس نتیجه گیری 1 در بالا نشان می دهد که

$w_ {jj} \ sim \ sigma_ {jj} \ chi ^ 2_m$

توزیع حاشیه ای هر یک از عناصر مورب ماتریس را می دهد.

جورج سبر خاطرنشان می کند که توزیع ویشرت "توزیع مجذور چند متغیره" نامیده نمی شود زیرا توزیع حاشیه ای عناصر خارج از مورب مربع مجذور کای نیست. سبر ترجیح می دهد اصطلاح چند متغیره را برای مواردی که همه حاشیه های تک متغیره به یک خانواده تعلق دارند ، رزرو کند. [12]

برآورد توزیع نرمال چند متغیره [ ویرایش ]

توزیع Wishart است توزیع نمونه گیری از برآوردگر حداکثر احتمال (MLE) از ماتریس کوواریانس یک توزیع نرمال چند متغیره . [13] اشتقاق از MLE با استفاده از قضیه طیفی .

تجزیه بارلت [ ویرایش ]

تجزیه بارتلت یک ماتریس X از یک ص توزیع Wishart -variate با ماتریس مقیاس V و N درجه آزادی فاکتور است:

$\ mathbf {X} = {\ textbf L} {\ textbf A} {\ textbf A} ^ T {\ textbf L} ^ T ،$

که در آن L است عامل Cholesky از V و:

$\ mathbf A = \ start {pmatrix} c_1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ n_ {21} & c_2 & 0 & \ cdots & 0 \\ n_ {31} & n_ {32} & c_3 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ n_ {p1} & n_ {p2} & n_ {p3} & \ cdots & c_p \ end {pmatrix}$

جایی که $c_i ^ 2 \ sim \ chi ^ 2_ {n-i + 1}$ و n ij ~ N (0 ، 1) به طور مستقل. [14] این روش مفیدی را برای بدست آوردن نمونه های تصادفی از توزیع ویشارت فراهم می کند. [15]

توزیع حاشیه ای عناصر ماتریس [ ویرایش ]

بگذارید V یک ماتریس واریانس 2 × 2 باشد که با ضریب همبستگی − 1 < ρ <1 و L عامل Cholesky پایین تر آن مشخص می شود:

$\ mathbf {V} = \ start {pmatrix} \ sigma_1 ^ 2 & \ rho \ sigma_1 \ sigma_2 \\ \ rho \ sigma_1 \ sigma_2 & \ sigma_2 ^ 2 \ end {pmatrix} ، \ qquad \ mathbf {L} = \ شروع {pmatrix} \ sigma_1 & 0 \\ \ rho \ sigma_2 & \ sqrt {1- \ rho ^ 2} \ sigma_2 \ end {pmatrix}$

با ضرب تجزیه بارلت در بالا ، در می یابیم که یک نمونه تصادفی از توزیع Wishart 2 × 2 است

$\ mathbf {X} = \ start {pmatrix} \ sigma_1 ^ 2 c_1 ^ 2 & \ sigma_1 \ sigma_2 \ سمت چپ (\ rho c_1 ^ 2 + \ sqrt {1- \ rho ^ 2} c_1 n_ {21} \ right) \\ \ sigma_1 \ sigma_2 \ چپ (\ rho c_1 ^ 2 + \ sqrt {1- \ rho ^ 2} c_1 n_ {21} \ right) & \ sigma_2 ^ 2 \ چپ (\ چپ (1- \ rho ^ 2) \ راست) c_2 ^ 2 + \ چپ (\ sqrt {1- \ rho ^ 2} n_ {21} + \ rho c_1 \ right) ^ 2 \ right) \ end {pmatrix}$

عناصر مورب ، به وضوح در اولین عنصر ، همانطور که انتظار می رود توزیع χ 2 را با n درجه آزادی دنبال می کنند (با σ 2 مقیاس بندی می شود ). عنصر خارج از مورب کمتر شناخته شده است اما می تواند به عنوان یک مخلوط متوسط واریانس طبیعی شناخته شود که در آن تراکم مخلوط یک توزیع χ 2 باشد. بنابراین چگالی احتمال حاشیه مربوط به عنصر خارج مورب توزیع واریانس گاما است

$f (x_ {12}) = \ frac {\ سمت چپ | x_ {12} \ راست | ^ {\ frac {n-1} {2}}} {\ گاما \ چپ (\ frac {n} {2} \ راست) \ sqrt {2 ^ {n-1} \ pi \ چپ (1- \ rho ^ 2 \ راست) \ چپ (\ sigma_1 \ sigma_2 \ راست) ^ {n + 1}}} \ cdot K _ {\ frac {n-1} {2}} \ چپ (\ frac {\ چپ | x_ {12} \ راست |} {\ sigma_1 \ sigma_2 \ چپ (1- \ rho ^ 2 \ راست)} \ راست) \ exp {\ چپ (\ frac {\ rho x_ {12}} { \ sigma_1 \ sigma_2 (1- \ rho ^ 2)} \ راست)}$

که در آن K ν ( Z ) است تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم . [16] نتایج مشابهی را می توان برای ابعاد بالاتر یافت ، اما وابستگی متقابل همبستگی های خارج مورب به طور فزاینده ای پیچیده می شود. همچنین می توان تابع مولد لحظه را حتی در حالت غیر متمرکز نیز نوشت (اساساً توان N قدرت معادله 10 کریگ (1936) [17] ) اگرچه تراکم احتمال به یک مجموعه بی نهایت از توابع بسل تبدیل می شود.

دامنه پارامتر شکل [ ویرایش ]

می توان نشان داد [18] که توزیع Wishart را می توان تعریف کرد در صورتی که فقط پارامتر شکل n به مجموعه تعلق داشته باشد

${\ displaystyle \ Lambda _ {p}: = \ {0، \ ldots، p-1 \} \ cup \ left (p-1، \ infty \ right).}$

این مجموعه به نام Gindikin نامگذاری شده است ، كه آن را در دهه هفتاد در زمینه توزیع گاما بر روی مخروطهای همگن معرفی كرد [19] . با این حال ، برای پارامترهای جدید در طیف گسسته گروه Gindikin ، یعنی ،

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} ^ {*}: = \ {0، \ ldots، p-1 \}،}$

توزیع Wishart مربوطه فاقد تراکم Lebesgue است.

روابط با توزیع های دیگر [ ویرایش ]

توزیع ویشارت مربوط به توزیع معکوس ویشارت است که با نشان داده می شود $W_p ^ {- 1}$ به شرح زیر است: اگر X ~ W p ( V ، n ) و اگر تغییر متغیرها را انجام دهیم C = X −1 ، پس $\ mathbf {C} \ sim W_p ^ {- 1} (\ mathbf {V} ^ {- 1} ، n)$ . این رابطه ممکن است با توجه به این نکته حاصل شود که مقدار مطلق تعیین کننده یعقوبی این تغییر متغیرها | است C | p +1 ، به عنوان مثال به معادله (15.15) در مراجعه کنید. [20]
در آمار بیزی ، توزیع Wishart است قبل مزدوج برای پارامتر دقت از توزیع نرمال چند متغیره ، زمانی که متوسط پارامتر شناخته شده است. [10]
تعمیم ، توزیع گامای چند متغیره است .
نوع متفاوتی از توزیع ، توزیع نرمال ویشارت است که اساساً محصول توزیع نرمال چند متغیره با توزیع ویشارت است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Wishart_distribution

+ نوشته شده در پنجشنبه سیزدهم شهریور ۱۳۹۹ ساعت 12:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی