ترکیبات غیرخطی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: توسعه تیلور برای لحظات توابع متغیرهای تصادفی

وقتی f مجموعه ای از ترکیب غیر خطی متغیرهای x باشد ، می توان برای محاسبه بازه هایی که شامل تمام مقادیر ثابت برای متغیرها است ، یک بازه زمانی انجام داد. در یک رویکرد احتمالی ، تابع f معمولاً باید با تقریب نسبت به گسترش سری تیلور مرتبه اول خطی شود ، اگرچه در بعضی موارد ، فرمول های دقیق می توان استخراج کرد که به انبساط بستگی ندارد ، همانطور که در مورد واریانس دقیق محصولات وجود دارد. . [2] گسترش تیلور:

f_ {k} \ تقریبی f_ {k} ^ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} {\ frac {\ جزئی f_ {k}} {\ جزئی {x_ {i}}}} x_ {i }

جایی که \ جزئی f_ {k} / \ جزئی x_ {i}نشان دهنده مشتق جزئی از F K با توجه به من متغیر هفتم، در مقدار متوسط از همه اجزای بردار ارزیابی X . یا در نماد ماتریس ،

{\ mathrm {f}} \ تقریبی {\ mathrm {f}} ^ {0} + {\ mathrm {J}} {\ mathrm {x}} \ ،

جایی که J ماتریس یعقوبی است . از آنجا که f 0 ثابت است در خطای f نقش ندارد. بنابراین ، انتشار خطا از حالت خطی در بالا پیروی می کند ، اما ضرایب خطی ، A ki و A kj را با مشتقات جزئی جایگزین می کند ،{\ frac {\ partial f_ {k}} {\ partial x_ {i}}} و {\ frac {\ جزئی f_ {k}} {\ جزئی x_ {j}}}. در علامت گذاری ماتریس ، [3]

{\ displaystyle \ mathrm {\ Sigma} ^ {\ mathrm {f}} = \ mathrm {J} \ mathrm {\ Sigma} ^ {\ mathrm {x}} \ mathrm {J} ^ {\ top}.}

یعنی از Jacobian تابع برای تبدیل سطرها و ستون های ماتریس واریانس-کوواریانس آرگومان استفاده می شود. توجه داشته باشید این معادل عبارت ماتریس برای حالت خطی با است\ mathrm {J = A}.

ساده سازی [ ویرایش ]

با نادیده گرفتن همبستگی ها یا فرض متغیرهای مستقل ، فرمول مشترکی بین مهندسان و دانشمندان تجربی برای محاسبه انتشار خطا ، فرمول واریانس ارائه می شود: [4]

{\ displaystyle s_ {f} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) ^ {2} s_ {x} ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) ^ {2} s_ {y} ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ right) ^ { 2} s_ {z} ^ {2} + \ cdots}}}

جایی که s_ {f} انحراف معیار عملکرد را نشان می دهد f،s_ {x} نشان دهنده انحراف معیار است ایکس، s_ {y} نشان دهنده انحراف معیار است y، و غیره

توجه به این نکته مهم است که این فرمول بر اساس مشخصات خطی گرادیان ساخته شده است f و بنابراین تخمین خوبی برای انحراف معیار است f تا زمانیکه {\ displaystyle s_ {x} ، s_ {y} ، s_ {z} ، \ ldots}به اندازه کافی کوچک هستند به طور خاص ، تقریب خطی از f باید نزدیک باشد f داخل یک محله شعاع {\ displaystyle s_ {x} ، s_ {y} ، s_ {z} ، \ ldots}. [5]

مثال [ ویرایش ]

هر تابع غیر خطی قابل تفکیک ، f (a، b)، از دو متغیر ، آ و ب، می تواند به عنوان گسترش یابد

f \ تقریبی f ^ {0} + {\ frac {\ جزئی f} {\ جزئی a}} a + {\ frac {\ جزئی f} {\ جزئی b}} b

از این رو:

{\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} \ تقریبی \ چپ | {\ frac {\ جزئی f} {\ جزئی a}} \ راست | ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + \ left | {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} \ right | ^ {2} \ sigma _ {b} ^ {2} +2 {\ frac {\ partial f} {\ partial a}} {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} \ sigma _ {ab}}

جایی که{\ displaystyle \ sigma _ {f}} انحراف استاندارد عملکرد است f، {\ displaystyle \ sigma _ {a}} انحراف معیار است آ، {\ displaystyle \ sigma _ {b}} انحراف معیار است ب و \ sigma_ {ab} کوواریانس بین است آ و ب.

در مورد خاص که {\ displaystyle f = ab}، {\ frac {\ partial f} {\ partial a}} = b ، {\ frac {\ partial f} {\ partial b}} = a. سپس

\ sigma _ {f} ^ {2} \ تقریبی b ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + a ^ {2} \ sigma _ {b} ^ {2} + 2ab \ ، \ sigma _ {{ab}}

یا

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sigma _ {f}} {f}} \ right) ^ {2} \ تقریبی \ چپ ({\ frac {\ sigma _ {a}} {a}} \ راست ) ^ {2} + \ چپ ({\ frac {\ sigma _ {b}} {b}} \ راست) ^ {2} +2 \ چپ ({\ frac {\ sigma _ {a}} {a} } \ راست) \ چپ ({\ frac {\ sigma _ {b}} {b}} \ راست) \ rho _ {ab}}

جایی که {\ displaystyle \ rho _ {ab}} همبستگی بین است آ و ب.

وقتی متغیرها آ و ب بی ارتباط هستند ، {\ displaystyle \ rho _ {ab} = 0}. سپس

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sigma _ {f}} {f}} \ right) ^ {2} \ تقریبی \ چپ ({\ frac {\ sigma _ {a}} {a}} \ راست ) ^ {2} + \ چپ ({\ frac {\ sigma _ {b}} {b}} \ راست) ^ {2}.}

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty