در آمار ، انتشار از عدم قطعیت (یا انتشار خطا ) اثر است متغیر ، عدم قطعیت (یا اشتباهات ، به طور خاص خطاهای تصادفی ) بر روی عدم اطمینان از عملکرد مبتنی بر آنها. هنگامی که متغیرها مقادیر اندازه گیری های آزمایشی هستند ، عدم اطمینان به دلیل محدودیت های اندازه گیری (به عنوان مثال ، دقت ابزار ) که به دلیل ترکیب متغیرها در عملکرد منتشر می شوند ، وجود دارد.

عدم اطمینان شما را می توان به روشهای مختلف بیان کرد. ممکن است با خطای مطلق Δ x تعریف شود . عدم قطعیت ها را می توان با خطای نسبی (Δ x ) / x نیز تعریف کرد که معمولاً به صورت درصد نوشته می شود. معمولاً عدم قطعیت در یک مقدار از نظر انحراف معیار ، σ ، که ریشه مربع مثبت واریانس است ، کمی می شود . سپس مقدار یک مقدار و خطای آن به صورت فاصله x ± u بیان می شود . در صورت توزیع احتمال آماریاز متغیر شناخته شده است یا می توان آن را فرض کرد ، می توان محدودیت اطمینان برای توصیف منطقه ای که مقدار واقعی متغیر در آن یافت می شود ، استخراج کرد. به عنوان مثال ، محدودیت اطمینان 68٪ برای یک متغیر یک بعدی متعلق به یک توزیع طبیعی تقریباً یک انحراف استاندارد σ از مقدار مرکزی x است ، به این معنی که منطقه x ± σ مقدار واقعی را تقریباً در 68٪ از پوشش می دهد موارد

اگر عدم قطعیت ها در ارتباط سپس کوواریانس باید در نظر گرفته شود. همبستگی می تواند از دو منبع مختلف ناشی شود. اول ، ممکن است خطاهای اندازه گیری با هم مرتبط باشند. ثانیاً ، هنگامی که مقادیر اساسی در یک جمعیت همبستگی داشته باشد ، عدم قطعیت های میانگین گروه با هم ارتباط خواهند داشت. [1]

 

فهرست

ترکیبات خطی [ ویرایش ]

اجازه دهید \ {f_ {k} (x_ {1} ، x_ {2} ، \ نقطه ، x_ {n}) \}مجموعه ای از توابع m باشد که ترکیبی خطی از آنها باشدn متغیرهاx_ {1} ، x_ {2} ، \ نقطه ، x_ {n} با ضرایب ترکیبی 

{\ displaystyle A_ {k1}، A_ {k2}، \ dots، A_ {kn}، (k = 1، \ dots، m)}:

{\ displaystyle f_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ki} x_ {i} {\ text {or}} \ mathrm {f} = \ mathrm {Ax} \.}

همچنین اجازه ماتریس واریانس-کوواریانس از X  = ( X 1 ، ...،  X N ) نشان داده شود{\ displaystyle \ Sigma ^ {x} \،}.

{\ displaystyle \ Sigma ^ {x} = {\ start {pmatrix} \ sigma _ {1} ^ {2} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} & \ cdots \\\ sigma _ {12 } & \ sigma _ {2} ^ {2} & \ sigma _ {23} & \ cdots \\\ sigma _ {13} & \ sigma _ {23} & \ sigma _ {3} ^ {2} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = {\ start {pmatrix} {\ Sigma} _ {11} ^ {x} & {\ Sigma} _ {12} ^ { x} & {\ Sigma} _ {13} ^ {x} & \ cdots \\ {\ Sigma} _ {12} ^ {x} & {\ Sigma} _ {22} ^ {x} & {\ Sigma} _ {23} ^ {x} & \ cdots \\ {\ Sigma} _ {13} ^ {x} & {\ Sigma} _ {23} ^ {x} & {\ Sigma} _ {33} ^ {x } & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

سپس ، ماتریس واریانس- کوواریانس{\ displaystyle \ Sigma ^ {f} \،}از f توسط داده شده است

{\ displaystyle {\ Sigma} _ {ij} ^ {f} = \ sum _ {k} ^ {n} \ sum _ {\ ell} ^ {n} A_ {ik} {\ Sigma} _ {k \ ell } ^ {x} A_ {j \ ell} ،}

یا ، در علامت گذاری ماتریس:

{\ displaystyle \ Sigma ^ {f} = \ mathrm {A} \ Sigma ^ {x} \ mathrm {A} ^ {\ top}.}

این عبارت عمومی ترین عبارت برای انتشار خطا از یک مجموعه متغیرها به مجموعه دیگر است. وقتی خطاها روی x ناهماهنگ باشند ، عبارت عمومی ساده می شود

{\ displaystyle {\ Sigma} _ {ij} ^ {f} = \ sum _ {k} ^ {n} A_ {ik} {\ Sigma} _ {k} ^ {x} A_ {jk}.}

جایی که {\ displaystyle {\ Sigma} _ {k} ^ {x} = \ sigma _ {x_ {k}} ^ {2}}واریانس عنصر k -th بردار x است. توجه داشته باشید که حتی اگر خطاهای x با هم ارتباطی نداشته باشند ، خطاهای f به طور کلی با هم ارتباط دارند. به عبارت دیگر ، حتی اگر{\ mathrm {\ Sigma ^ {x}}} یک ماتریس مورب است ، {\ mathrm {\ Sigma ^ {f}}} به طور کلی یک ماتریس کامل است.

عبارات کلی برای یک تابع با ارزش مقیاس ، f ، کمی ساده ترند:

{\ displaystyle f = \ sum _ {i} ^ {n} a_ {i} x_ {i}: f = \ mathrm {a} x \،}

{\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {n} \ sum _ {j} ^ {n} a_ {i} {\ Sigma} _ {ij} ^ {x} a_ {j} = \ mathrm {a} \ Sigma ^ {x} \ mathrm {a} ^ {\ top}}

(که در آن a یک بردار ردیف است).

هر اصطلاح کوواریانس ، \ sigma _ {ij}می تواند از نظر ضریب همبستگی بیان شود \ rho _ {{ij}} \ ، توسط \ sigma _ {{ij}} = \ rho _ {{ij}} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ ،، به طوری که یک عبارت جایگزین برای واریانس f است

{\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} ^ {n} \ sum _ {j (j \ neq i)} ^ {n} a_ {i} a_ {j} \ rho _ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

درصورتی که متغیرهای x با هم مرتبط نباشند ، این ساده تر است

{\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2} = \ sum _ {i} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2}.}

در ساده ترین حالت ضرایب و واریانس های یکسان ، می یابیم

{\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {n}} a \ sigma.}

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty