بخشی از مجموعه آمار
همبستگی و کواریانس
CorrelationIcon.svg

همبستگی و کواریانس بردارهای تصادفی

  • ماتریس خودکار کوواریانس

همبستگی و کواریانس فرایندهای تصادفی

همبستگی و کواریانس سیگنال های قطعی

  • عملکرد خودکار
  • عملکرد متقاطع کواریانس

با ماتریس کراواریس اشتباه گرفته نشود .

تابع چگالی احتمال گوسی دو متغیره محور (0، 0)، با ماتریس کوواریانس داده شده توسط\ displaystyle {\ fill {bmatrix 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \ end {bmatrix}}

نمونه‌های نمونه از توزیع گاوزی دو متغیره با انحراف استاندارد 3 در جهت راست سمت چپ بالا و سمت راست و 1 در جهت متعامد. از آنجا که مؤلفه های x و y با همدیگر متفاوت هستند ، واریانس ها ازایکس و یتوزیع را کاملاً توصیف نکنید. آ2 \ بار 2ماتریس کوواریانس مورد نیاز است. جهت فلش با مجرای نوری این ماتریس کواریانس و طول آنها تا ریشه های مربع مقادیر ویژه مطابقت دارد .

در نظریه احتمال و آمار ، یک کوواریانس ماتریس (همچنین به عنوان شناخته شده ماتریس کوواریانس خودکار ، ماتریس پراکندگی ، ماتریس واریانس ، و یا ماتریس واریانس-کوواریانس ) یک مربع است ماتریس دادن کوواریانس بین هر جفت از عناصر یک داده بردار تصادفی . در ماتریس قطری وجود دارد واریانس ، یعنی کواریانس هر عنصر را با خود دارد.

بصری ، ماتریس کواریانس مفهوم واریانس را به ابعاد متعدد تعمیم می دهد. به عنوان نمونه ، تغییر در مجموعه ای از نقاط تصادفی در فضای دو بعدی نمی تواند کاملاً توسط یک عدد مشخص شود و همچنین واریانس درایکس و یدستورالعمل ها حاوی تمام اطلاعات لازم است. آ2 \ بار 2 ماتریس لازم است برای توصیف کامل تغییرات دو بعدی.

از آنجا که متغیر متغیر تصادفی i -th با خودش ، فقط واریانس متغیر تصادفی است ، هر عنصر در مورب اصلی ماتریس کوواریانس ، واریانس یکی از متغیرهای تصادفی است. از آنجا که کوواریانس متغیر تصادفی i -th با j -th یکسان است همانند کواریانس متغیر تصادفی j -th با متغیر تصادفی i -th ، هر ماتریس کواریانس متقارن است . همچنین ، هر ماتریس کوواریانس نیمه قطعی مثبت است .

ماتریس کواریانس از یک بردار تصادفی\ mathbf {X}  معمولاً توسط \ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}} یا \ سیگما .

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

در طول این مقاله ، چاپ های جسورانه چاپ نشده است \ mathbf {X}  و\ mathbf {Y  برای ارجاع به بردارهای تصادفی و اشتراکهای بدون جفت استفاده می شود X_ {من و Y_ {من برای ارجاع به متغیرهای تصادفی مقیاس استفاده می شود.

اگر مدخل ها در وکتور ستون باشد

\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}، X_ {2}، ...، X_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}

هستند متغیرهای تصادفی ، هر کدام با محدود واریانس و ارزش مورد انتظار ، و سپس ماتریس کوواریانس\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}} ماتریسی است که (من ، ج)ورود کواریانس [1] است : ص. 177

\ displaystyle \ operatorname {K} _ {X_ {i} X_ {j}} = \ operatorname {cov} [X_ {i}، X_ {j}] = \ operatorname {E} [(X_ {i} - \) operatorname {E} [X_ {i}]) (X_ {j - \ operatorname {E} [X_ {j}])]}

جایی که اپراتور \ operatorname {E  مقدار مورد انتظار (میانگین) استدلال خود را بیان می کند.

به عبارت دیگر،

\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = {\ آغاز {bmatrix} \ mathrm {E} [(X_ {1 - \ operatorname {E} [X_ {1} ]) (X_ {1} - \ operatorname {E} [X_ {1}])] & \ mathrm {E} [(X_ {1} - \ operatorname {E} [X_ {1}]) (X_ {2 } - \ operatorname {E} [X_ {2}])] & cdots & \ mathrm {E} [(X_ {1} - \ operatorname {E} [X_ {1}]) (X_ {n} - \) operatorname {E} [X_ {n}])] \**** mathrm {E} [(X_ {2} - \ operatorname {E} [X_ {2}]) (X_ {1 - \ operatorname {E } [X_ {1}])] & \ mathrm {E} [(X_ {2} - \ operatorname {E} [X_ {2}]) (X_ {2 - \ operatorname {E} [X_ {2} ])] & \ cdots & \ mathrm {E} [(X_ {2} - \ operatorname {E} [X_ {2}]) (X_ {n} - \ operatorname {E} [X_ {n}])] \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \**** mathrm {E} [(X_ {n} - \ operatorname {E} [X_ {n}]) (X_ {1} - \ operatorname {E} [X_ {1}])] & \ mathrm {E} [(X_ {n} - \ operatorname {E} [X_ {n}]) (X_ {2} - \ operatorname {E} [X_ {2}])] & cdots &\ mathrm {E} [(X_ {n} - \ operatorname {E} [X_ {n}]) (X_ {n} - \ operatorname {E} [X_ {n}])] \ end {bmatrix}}}

تعریف فوق با برابری ماتریس معادل است

\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = \ operatorname {cov} [\ mathbf {X}، \ mathbf {X}] = \ operatorname {E} [(\ mathbf X} - \ mathbf {\ mu _ {X} () (\ mathbf {X} - \ mathbf {\ mu _ {X}}) ^ {\ rm {T}}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ {T}] - \ mathbf {\ mu _ {X}} \ mathbf {\ mu _ {X}} ^ {T}}

 

 

 

 

( Eq.1 )

جایی که \ displaystyle \ mathbf {\ mu _ {X}} = \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]}.

تعمیم واریانس [ ویرایش ]

این فرم ( Eq.1 ) را می توان کلیه واریانس مقیاس سنج با ابعاد بالاتر دانست. به یاد داشته باشید که برای یک متغیر تصادفی دارای مقیاس ارزشمند استایکس

\ displaystyle \ sigma _ {X} ^ {2} = \ operatorname {var} (X) = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} [X]) ^ {2}] = \ operatorname { E} [(X- \ operatorname {E} [X]) \ cdot (X- \ operatorname {E} [X])].

در واقع ، ورودی های مورب ماتریس خودکار کوواریانس\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}} واریانسهای هر عنصر بردار هستند\ mathbf {X} .

نامگذاری ها و نمادهای متناقض [ ویرایش ]

نامگذاری ها متفاوت است. برخی از آمار شناسان ، به دنبال احتمال ویلیام فلر در کتاب دو جلدی خود "مقدمه ای بر تئوری احتمال و کاربردهای آن" ، [2] ماتریس می نامند.\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}واریانس بردار تصادفی\ mathbf {X} ، زیرا این تعمیم طبیعی به ابعاد بالاتر از واریانس 1 بعدی است. برخی دیگر آن را ماتریس کوواریانس می نامند ، زیرا این ماتریس کواریانس ها بین اجزای مقیاس بردار است\ mathbf {X} .

\ displaystyle \ operatorname {var} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {cov (\ mathbf {X}) = \ operatorname {E} سمت چپ [(\ mathbf {X} - \ operatorname {E}] \ mathbf {X}]) (\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) ^ {\ rm {T}} \ درست].

هر دو شکل کاملاً استاندارد هستند و هیچ ابهامی بین آنها وجود ندارد. ماتریکس\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}همچنین غالباً ماتریس واریانس کوواریانس نامیده می شود ، زیرا اصطلاحات مورب در واقع واریانس هستند.

با مقایسه ، علامت گذاری برای ماتریس کوواریانس بین دو بردار است

\ displaystyle \ operatorname {cov (\ mathbf {X}، \ mathbf {Y}) = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} = \ operatorname {E} \ left [( \ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) (\ mathbf {Y} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Y}]) ^ {\ rm {T}} \ Right] }

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix