خواص [ ویرایش ]

سفارش جزئی ناشی از [ ویرایش ]

برای ماتریس مربع دلخواه م، ن ما نوشتیم\ displaystyle M \ geq N اگر\ displaystyle MN \ geq 0 یعنیdisplay \ displaystyle MNنیمه قطعی مثبت است این یک سفارش جزئی در مجموعه کلیه ماتریس های مربع را تعریف می کند . به طور مشابه می توان یک سفارش جزئی جزئی را تعریف کرد\ displaystyle M> N. سفارش را سفارش Loewner می نامند .

معکوس از ماتریس قطعی مثبت [ ویرایش ]

هر ماتریس قطعی مثبت غیرقابل برگشت است و معکوس آن نیز قطعی مثبت است. [9] اگر\ displaystyle M \ geq N> 0 سپس\ displaystyle N ^ {- 1} \ geq M ^ {- 1> 0. [10] علاوه بر این ، با قضیه حداقل حداکثر ، k بزرگترین ارزش ویژه ای ازمبزرگتر از k بزرگترین مقدمه ویژه ای استن.

مقیاس گذاری [ ویرایش ]

اگر م قطعی مثبت است وr> 0 یک عدد واقعی است ، پس {\ displaystyle rMقطعی مثبت است [11]

افزودنی [ ویرایش ]

اگر م و ن مثبت مثبت هستند ، پس جمع م + نهمچنین قطعی مثبت است. [11]

ضرب [ ویرایش ]

  • اگر م و ن مثبت هستند ، پس از آن محصولات MNM و NMNهمچنین قطعی مثبت هستند. اگر\ displaystyle MN = NM، سپس MN همچنین قطعی مثبت است.
  • اگر م پس از آن semidefinite مثبت است  \ displaystyle A ^ {*} MA semidefinite مثبت برای هر ماتریس (احتمالاً مستطیلی) است آ. اگرم قطعی مثبت است و س دارای رتبه ستون کامل ، پس از آن\ displaystyle A ^ {*} MAقطعی مثبت است [12]

فرعی [ ویرایش ]

هر زیرمجاز اصلی یک ماتریس مشخص مثبت قطعی مثبت است.

ردیابی [ ویرایش ]

مدخل های مورب {\ displaystyle m_ {ii}}یک ماتریس قطعی مثبت واقعی و غیر منفی است. در نتیجه اثری ،\ displaystyle \ operatorname {tr} (M) \ geq 0. علاوه بر این ، [13] از آنجا که هر زیر ماتریس اصلی (به ویژه ، 2 بر 2) قطعی مثبت است ،

\ displaystyle \ left | m_ {ij} \ Right | \ leq {\ sqrt {m_ {ii} m_ {jj}}} \ leq {\ frac {m_ {ii} + m_ {jj}} {2}} \ چهارم \ من همه ، j}

و بنابراین

\ displaystyle \ max_ {i، j} \ left | m_ {ij} \ Right | \ leq \ max _ {i} \ left | m_ {ii} \ Right |

یک n \ n n ماتریس هرمیتی مدر صورت برابری نابرابری های زیر ، قطعی مثبت است: [14]

\ displaystyle \ operatorname {tr} (M)> 0 \ quad \ mathrm {و} \ quad {\ frac {(\ operatorname {tr} (M)) ^ {2}} {\ operatorname {tr} (M ^ {2})}}> n-1.

ضرب هادامار [ ویرایش ]

اگر \ displaystyle M ، N \ geq 0، با اينكه MNنیمه ضروری مثبت نیست ، ضرب هادامار است ،\ displaystyle M \ Circ N \ geq 0(این نتیجه اغلب قضیه محصول Schur نامیده می شود ). [15]

با توجه به ضرب هادامار از دو ماتریس نیم مشخص مثبت 0\ displaystyle M = (m_ {ij}) \ geq 0، N \ geq 0، دو نابرابری قابل توجه وجود دارد:

  • نابرابری اوپنهایم:\ displaystyle \ det (M \ Circ N) \ geq \ det (N) \ prod \ nolimits _ {i} m_ {ii}.}[16]
  •  \ displaystyle \ det (M \ Circ N) \ geq \ det (M) \ det (N). [17]

  ضربکرونکر [ ویرایش ]

اگر \ displaystyle M ، N \ geq 0، با اينكهMNلازم نیست نیمه مثبت نهایی ،  ضرب کرونکر باشد\ displaystyle M \ otimes N \ geq 0.

ضرب فروبنیوس [ ویرایش ]

اگر \ displaystyle M ، N \ geq 0، با اينكه MNلازم نیست نیمه مثبت نهایی ،   ضرب فروبنیوس باشد\ displaystyle M: ​​N \ geq 0(لنکستر - تیزمنتسکی ، تئوری ماتریس ، ص 218).