سایر خصوصیات [ ویرایش ]

اجازه دهیدم n \ n n ماتریس هرمیتی . خواص زیر معادل می باشدم مثبت بودن قطعی:

فرم کنجکاوی مرتبط یک محصول داخلی است

فرم sesquilinear تعریف شده توسطم این عملکرد است\ displaystyle \ langle \ cdot، \ cdot \ rangle از جانب \ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ بار \ mathbb {C} ^ {n} به \ mathbb {C} ^ {n به طوری که\ displaystyle \ langle x، y \ rangle: = y ^ {*} Mx برای همه ایکس و ی که در\ mathbb {C} ^ {n، جایی کهy ^ {* پیوند مزدوج است ی. برای هر ماتریس پیچیدهم، این فرم به صورت خطی است ایکس و نیمه تمام در ی. بنابراین، فرم است محصول داخلی در\ mathbb {C} ^ {n اگر و تنها اگر \ displaystyle \ langle z، z \ rangle برای همه غیروزارها واقعی و مثبت است z؛ این در صورتی است که فقط و فقط اگرمقطعی مثبت است (در واقع ، هر محصول درونی در\ mathbb {C} ^ {n در این مد از یک ماتریس مشخص مثبت هرمیتی ناشی می شود.)

خردسالان اصلی آن همه مثبت هستند

K هفتم منجر جزئی اصلی از یک ماتریسماست تعیین از آن بالا سمت چپk \ بار kماتریس فرعی به نظر می رسد که اگر همه این عوامل تعیین کننده مثبت باشند ، یک ماتریس مثبت است. این شرط به عنوان معیار سیلوستر شناخته می شود و یک آزمایش کارآمد از قطعیت مثبت یک ماتریس واقعی متقارن را فراهم می کند. یعنی ، با استفاده از عملیات ردیف مقدماتی ، ماتریس به یک ماتریس مثلثی فوقانی کاهش می یابد ، همانطور که در قسمت اول روش حذف گاوسی ، با مراقبت از حفظ نشانه تعیین کننده آن در طی فرآیند چرخش . از آنجا که ک هفتم منجر جزئی اصلی یک ماتریس مثلثی کالا از عناصر مورب تا آن را به ردیف استکمعیار سیلوستر معادل بررسی اینکه آیا عناصر مورب آن همه مثبت هستند یا خیر. این وضعیت را می توان هر بار که یک ردیف جدید بررسی کردک از ماتریس مثلث به دست می آید.

اگر و فقط اگر غیرقابل برگشت باشد ، یک ماتریس نیممشخص مثبت است . [7] یک ماتریسم منفی (نیمه) قطعی است اگر و فقط اگر {\ displaystyle -M مثبت (نیمه) قطعی است.

فرم های درجه دوم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرم درجه چهار قطعی

(کاملاً) شکل درجه دوم که مربوط به یک واقعیت استn \ n n ماتریس م این عملکرد است\ displaystyle Q: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} به طوری که \ displaystyle Q (x) = x ^ {\ Texff {T}} Mx برای همهایکس. م{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (M + M ^ {\ textf {T}} \ Right).

یک ماتریس متقارن ممثبت است اگر تنها و فقط اگر فرم درجه دوم آن یک تابع محدب است .

به طور کلی ، هر عملکرد درجه دوم از\ mathbb {R} ^ {n به \ mathbb {R}  می تواند به عنوان نوشته شود \ displaystyle x ^ {\ Texff {T}} Mx + x ^ {\ Texff {T}} b + c جایی که م متقارن استn \ n n ماتریس ، ب واقعی استن-وکتور ، و جیک ثابت واقعی این عملکرد درجه دوم کاملاً محدب است و از این رو حداقل و در صورت محدود بودن حداقل جهانی منحصر به فرد داردمقطعی مثبت است به همین دلیل ، ماتریس های مثبت مثبت نقش مهمی در مشکلات بهینه سازی بازی می کنند.

قطر همزمان [ ویرایش ]

یک ماتریس متقارن و یک ماتریس قطعی مثبت و متقارن می تواند به طور همزمان مورب باشد ، اگرچه لزوماً از طریق یک تغییر شباهت نیست . این نتیجه در مورد سه یا چند ماتریس گسترش نمی یابد. در این بخش برای پرونده واقعی می نویسیم. گسترش به مورد پیچیده فوری است.

اجازه دهید م متقارن باشد و نیک ماتریس مشخص و متقارن و مثبت. معادله ویژه مقدماتی عمومی را بنویسید\ displaystyle (M- \ lambda N) x = 0 جایی که ما آن را تحمیل می کنیم ایکس عادی شود ، یعنی\ displaystyle x ^ {\ textf {T}} Nx = 1. اکنون ما برای تجزیه و تحلیل معکوس از تجزیه چولسکی   استفاده می کنیمن مانند \ displaystyle Q ^ {\ textf {T}} Q. ضرب توسطس و اجازه دادن\ displaystyle x = Q ^ {\ textf T}} y}، ما گرفتیم\ displaystyle Q (M- \ lambda N) Q ^ {\ Texff {T}} y = 0، که می تواند بازنویسی به عنوان {\ نمایشگر \ چپ (QMQ ^ {\ Texf {T}} \ راست) y = \ lambda y جایی که \ displaystyle y ^ {\ textf {T}} y = 1. دستکاری اکنون بازده است\ displaystyle MX = NX \ لامبدا جایی که ایکس یک ماتریس است که به عنوان ستون های ویژه مجرای عمومی و\ لامبدا یک ماتریس مورب از مقادیر ویژه ای تعمیم یافته است. در حال حاضر نسخه آزمایشی با\\ displaystyle X ^ {\ textf {T}} نتیجه نهایی را می دهد: \ displaystyle X ^ {\ textf {T}} MX = \ Lambda و\ displaystyle X ^ {\ textf {T}} NX = Iاما توجه داشته باشید که این دیگر یک مورب شدن متعامد با توجه به کالای داخلی است که در آن وجود ندارد \ displaystyle y ^ {\ textf {T}} y = 1. در حقیقت ، ما مورب هستیمم با توجه به محصول داخلی ناشی از  ن. [8]

توجه داشته باشید که این نتیجه با آنچه گفته می شود در مورد مورب مورب همزمان در مقاله ماتریس Diagonalizable گفته شده است ، که اشاره به مورب همزمان با یک تغییر شباهت دارد ، مغایرت ندارد . نتیجه ما در اینجا بیشتر شبیه به مورب مشخص همزمان دو شکل درجه چهار است و برای بهینه سازی یک فرم تحت شرایط از طرف دیگر مفید است.