هندسه و توپولوژی [ ویرایش ]

یک شیء که در یک جهان نوار موبیوس وجود داشته باشد ، از تصویر آینه خود قابل تشخیص نیست - پنجه بزرگتر این خرچنگ کولر در بین چپ به راست و با هر گردش تغییر می کند. غیرممکن نیست که جهان ممکن است این خاصیت را داشته باشد ، به کرم دریچه غیر جهت دار مراجعه کنید

یکی از راه های نمایش نوار Möbius تعبیه شده در فضای سه بعدی اقلیدسی توسط پارامتری است:

x (u، v) = \ left (1 + {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ Right) \ cos u

y (u، v) = \ left (1 + {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ Right) \ sin u

z (u، v) = {\ frac {v} {2}} \ sin {\ frac {u} {2}

برای\ displaystyle 0 \ leq u <2 \ pi و\ displaystyle -1 \ leq v \ leq 1. این یک نوار Möbius از عرض 1 ایجاد می کند ، که دایره مرکزی آن شعاع 1 دارد ، در داخل قرار داردxyهواپیما و در مرکز قرار دارد (۰ ،0 ۰). پارامترتو در حالی که دور نوار می چرخد v از یک لبه به طرف دیگر حرکت می کند.

در مختصات قطبی استوانه ای(ر ، \ تتا ، ز)نسخه بدون محدوده نوار Möbius را می توان با این معادله نشان داد:

\ displaystyle \ log (r) \ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ theta \ Right) = z \ cos \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ theta \ Right) }

گسترده ترین تعبیه ایزومتریک در 3 فضا [ ویرایش ]

اگر یک نوار صاف Möbius در سه فضا یک مستطیل شکل باشد - یعنی از شناسایی دو طرف مقابل یک مستطیل هندسی با خم شدن اما کشش سطح آن ایجاد نمی شود - در صورت نسبت تصویر از چنین تعبیه ای امکان پذیر است. مستطیل بزرگتر از {\ sqrt 3با شناسایی طرف های کوتاه تر (برای یک نسبت ابعاد کوچکتر ، مشخص نیست که آیا جاسازی صاف امکان پذیر است.) از آنجا که نسبت ابعاد به سمت آن کاهش می یاب{\ sqrt 3، به نظر می رسد هرگونه تعبیه چنین شکلی به شکلی نزدیک می شود که می توان به عنوان نواری از سه مثلث مساوی ، که در بالای یکدیگر قرار گرفته اند تا یک مثلث مساوی را اشغال کنید.

اگر نوار Möbius در سه فضا فقط یک بار متمایز شود (کلاس C 1 ) ، اما قضیه نش-کوپر نشان می دهد که هیچ حد پایین وجود ندارد.

روش ساخت نوار Möbius از یک نوار مستطیل شکل بسیار گسترده برای پیچاندن و پیوستن (به عنوان مثال ، یک مستطیل فقط یک واحد طول و یک واحد عرض) این است که ابتدا جهت گسترده را به جلو و عقب با استفاده از تعداد یکسان برابر برابر کنید. "آکاردئون برابر" - به این صورت که نوار تاشو به اندازه کافی باریک شود که بتوان آن را پیچانده و به هم پیوست ، به همان اندازه که می توان به یک نوار به اندازه کافی طولانی پیوست. [9] با دو برابر، برای مثال، یک 1 × 1 نوار را تبدیل به یک ⅓ 1 × نوار خورده که سطح مقطعبه شکل "N" است و پس از نیم پیچش "N" باقی می ماند. این نوار تاشو ، سه برابر طول آن ، به اندازه کافی طولانی است تا در انتهای آن بپیوندید. در صورت استفاده از کاغذ ، این روش به صورت اصولی کار می کند ، اما پس از خیلی از برابر ها غیر عملی می شود. با استفاده از کاغذ معمولی ، این ساخت و ساز را می توان به صورت صاف تاشو ، با تمام لایه های کاغذ در یک صفحه واحد ، اما از نظر ریاضی ، این امکان وجود دارد بدون کشش سطح مستطیل مشخص نیست. [10]

توپولوژی [ ویرایش ]

برای تبدیل یک مستطیل به نوار Möbius ، به لبه هایی با برچسب A بپیوندید تا جهت های فلش مطابقت داشته باشند.

از نظر توپولوژیکی ، نوار Möbius را می توان به عنوان مربع تعریف کرد {\ displaystyle [0،1] \ بار [0،1]با طرف های بالا و پایین آن توسط رابطه مشخص می شود\ displaystyle (x، 0) \ sim (1-x، 1) برای0 \ le x \ le 1، همانطور که در نمودار است.

ارائه کمتر استفاده شده از نوار Möbius به عنوان قطب توپولوژیکی یک توروس است. [11] یک توروس می تواند به عنوان مربع ساخته شود{\ displaystyle [0،1] \ بار [0،1] با لبه های مشخص شده به عنوان {\ displaystyle (0 ، y) \ sim (1 ، y) (چسب چپ به راست) و \ displaystyle (x، 0) \ sim (x، 1)(چسب از پایین به بالا). اگر یکی از آن ( x ، y ) y ( y ، x ) نیز مشخص شود ، آنگاه نوار Möbius به دست می آید. مورب مربع (نقاط ( x ، x ) که هر دو مختصات با هم توافق دارند) به مرز نوار Möbius تبدیل می شود ، و یک ساختار مداری را حمل می کند ، که از نظر هندسی با "بازتاب" مطابقت دارد - ژئودزیک (خطوط مستقیم) در نوار Möbius را منعکس می کند. لبه را به نوار برگردانید از نظر عرفانی ، این به صورت T 2 / S 2 نوشته شده است - قطعه 2-torus با عملکرد گروهی از گروه متقارنروی دو حرف (مختصات سوئیچینگ) ، و می توان آن را به عنوان فضای پیکربندی دو نقطه مرتب نشده بر روی دایره ، احتمالاً یکسان (لبه مطابق با نقاط یکسان دانست) ، با torus مطابق با دو نقطه مرتب شده در نظر گرفت. دایره.

نوار Möbius یک منیفولد جمع و جور دو بعدی (یعنی یک سطح ) با مرز است. این یک نمونه استاندارد از یک سطح است که قابل جهت گیری نیست . در حقیقت ، نوار Möbius مظهر پدیده توپولوژیکی غیر قابل کنترل بودن است . دلیل این امر این است که اشکال دو بعدی (سطوح) پایین ترین شکل برای شکل گیری غیرقابل نفوذ بودن هستند و نوار Möbius تنها سطحی است که از نظر توپولوژیکی یک فضای فرعی از هر سطح غیر قابل تشخیص است. در نتیجه ، در صورت وجود یک باند Möbius به عنوان یک فضای فرعی ، هیچ سطحی غیرقابل مراقبت است.

نوار Möbius همچنین یک نمونه استاندارد است که برای نشان دادن مفهوم ریاضی یک بسته فیبر استفاده می شود . به طور خاص ، این یک بسته نرم افزاری غیرقابل تردد بر روی دایره S 1 است که فیبر آن برابر با فاصله واحد است ، I = [0 ، 1] . نگاه کردن فقط به لبه نوار Möbius ، بسته ای از S 1 را به یک امتیاز دو نقطه (یا Z 2 ) می دهد .

گرافیک رایانه [ ویرایش ]

یک ساخت ساده از نوار Möbius که می تواند برای تصویر کردن آن در گرافیک های رایانه ای یا بسته های مدل سازی استفاده شود:

  • یک نوار مستطیل بگیرید. آن را به دور یک نقطه ثابت در صفحه خود بچرخانید در هر مرحله ، همچنین نوار را در امتداد یک خط در صفحه خود بچرخانید (خطی که نوار را به دو قسمت تقسیم می کند) و عمود بر شعاع مداری اصلی باشد. سطح ایجاد شده در یک انقلاب کامل ، نوار مبیوس است.
  • یک نوار Möbius بگیرید و آن را در وسط نوار برش دهید. این یک نوار جدید را تشکیل می دهد ، که یک مستطیل است که با چرخاندن یک سر در کل به هم متصل می شود. با بریدن دوباره وسط ، این دو نوار به هم پیوسته به هم متصل می شود.

هندسه باند Möbius باز [ ویرایش ]

گروه Möbius باز است با حذف تشکیل مرزی از گروه استاندارد موبیوس. از مجموعه S = {( x ، y ) ∈ R 2  : 0 ≤ x ≤ 1 و 0 < y <1} با مشخص کردن (چسباندن) نقاط (0 ، y ) و (1 ، 1 - y ) ساخته می شود. برای همه 0 < y <1 .

ممکن است به عنوان سطحی از انحنای ثابت ، منفی یا صفر ثابت (گاوسی) ساخته شود . در موارد انحنای منفی و صفر ، باند Möbius می تواند به عنوان یک سطح کامل (از نظر ژئودزیکی) ساخته شود ، به این معنی که همه ژئودزیک ها ("خطوط مستقیم" روی سطح) ممکن است به طور نامحدود در هر دو طرف گسترش یابد.

انحنای منفی ثابت: مانند هواپیما و سیلندر باز ، گروه باز Möbius نه تنها یک متریک کامل از انحنای ثابت 0 ، بلکه یک متریک کامل از انحنای منفی ثابت را می پذیرد. یک راه برای دیدن این کار این است که با استفاده از مدل نیمه بالایی (Poincaré) مدل هواپیمای چربی - یعنی ℍ = {( x ، y ) ∈ ℝ 2 | y > 0} با متریک ریمانیایی داده شده توسط ( dx 2 + dy 2 ) / y 2 . ایزومتری های جهت یابی جهت یابی این متریک ، تمام نقشه های f هستند : ℍ → ℍ از فرم F ( Z ): = ( AZ + ب ) / ( CZ + D ) ، که در آن ، ب ، ج ، د اعداد حقیقی رضایت می آگهی - قبل از میلاد = 1 . در اینجا z عدد پیچیده ای با Im ( z )> 0 دارد و ما ℍ با { z ∈ identified را شناسایی کرده ایم | Im ( z )> 0} وقف متریک ریمانیایی است که ذکر شد. سپس یک ایزومتری معکوس گرایش . gاز ℍ توسط g ( z ) داده شده است: {\ overline {z}}، جایی که {\ overline {z}}نشان دهنده ترکیب پیچیده z است . این حقایق نشان می دهد که نقشه برداری h  : ℍ → ℍ توسط h ( z ) داده شده:

= :2⋅{\ overline {z}}یک ایزومتری معکوس گرایش از ℍ است که یک گروه چرخه ای نامحدود G از ایزومتری تولید می کند. (می تواند به صورت h ( z ) = ( √2i ) بیان شو\ z}}{\ overline {z}}}{\ overline {z}}- i / √2 ) ، و مربع آن ایزومتری h ( h ( z )) است: = 4⋅z ، که می تواند به صورت ( 2z + 0 ) / ( 0z + 1/2 ) بیان شود .) مقدار ℍ / G از عملکرد این گروه را می توان به راحتی بصورت توپولوژیکی باند Möbius دانست. اما همچنین می توان به راحتی تأیید کرد که کامل و غیر فشرده است و انحنای منفی ثابت برابر با 1 پوند است.

گروه ایزومتری های این باند Möbius 1 بعدی است و برای گروه ویژه متعامد SO (2) ایزومورفیک است.

(انحنای ثابت) انحنای صفر: با شروع با بخشی از هواپیما R 2 که با 0 and y and 1 تعریف شده و شناسایی ( x ، 0) با (- x ، 1) برای همه x در شکل می گیرد ، می توان آن را به عنوان یک سطح کامل نیز ساخت. R (واقعیات). متریک حاصل ، باند Möbius باز را به یک سطح مسطح (از لحاظ ژئودزیکی) کاملاً مسطح تبدیل می کند (یعنی داشتن انحنای گاوسی برابر با 0 در همه جا). این تنها متریک در گروه Möbius است ، تا مقیاس پذیری یکنواخت ، هم مسطح و هم کامل.

گروه ایزومتری های این باند Möbius 1 بعدی است و از نظر گروه متعامد SO (2) از نظر همتایی است.

انحنای مثبت ثابت: باند Möbius از انحنای مثبت مثبت نمی تواند کامل باشد ، زیرا مشخص شده است که تنها سطوح کامل انحنای مثبت ثابت کره و صفحه پیش بینی شده است . هواپیمای پروژکتور P 2 از انحنای ثابت 1 می تواند به عنوان مقدار قطعه واحد S 2 در R 3 توسط نقشه پادتن A : S 2 → S 2 تعریف شده توسط A ( x ، y ، z ) = (- x ، - y ، - z ). باند باز Möbius به صفحه پیش بینی شده یک بار سوراخ شده ، یعنی P 2 با هر یک از نقاط حذف شده ، هومومورف است . این ممکن است به عنوان نزدیکترین فکر شود که یک باند Möbius از انحنای مثبت مثبت می تواند به یک سطح کامل برسد: فقط یک نقطه از آن فاصله بگیرید.

گروه ایزومتریهای این باند Möbius نیز به صورت گروهی 1 بعدی و ایزومورفیک برای گروه متعامد O (2) است.

فضای خطوط unoriented در هواپیما diffeomorphic به گروه Möbius باز است. [12] برای دیدن دلیل ، اجازه دهید L ( θ ) خط را از طریق مبدا در زاویه θ به محور x مثبت نشان دهد. برای هر L ( θ ) خانواده P ( θ ) تمام خطوط موجود در هواپیما که عمود بر L ( θ ) هستند وجود دارد. از نظر توپولوژیکی ، خانواده P ( θ ) فقط یک خط هستند (زیرا هر خط در P ( θ ) از خط L عبور می کند ( θ) فقط در یک نقطه). به این ترتیب ، با افزایش θ در دامنه 0 ° ≤ θ <180 ° ، خط L ( θ ) مقدار خطوط مشخص در خط را نشان می دهد. اما وقتی θ به 180 درجه برسد ، L (180 درجه) با L (0) یکسان است ، بنابراین خانواده های P (0 °) و P (180 °) خطوط عمود بر هم خانواده های یکسان هستند. خط L (0 درجه) اما ، به عنوان L (180 درجه) در جهت مخالف اشاره کرد به خود بازگشت . هر خط در هواپیما دقیقاً با یک خط در بعضی خانواده P ( θ) مطابقت دارد) ، برای دقیقاً یک θ ، برای 0 ° ≤ θ <180 ° و P (180 °) با P (0 °) یکسان است اما بازگردد در جهت مخالف. این تضمین می کند که فضای خطوط موجود در هواپیما - اتحاد تمام L ( θ ) برای 0 ° ° θ ≤ 180 درجه - یک باند Möbius باز است.

گروه تحولات خطی بیولوژیکی GL (2 ، R ) هواپیما به خود ( ماتریس واقعی 2 × 2 با تعیین کننده غیر صفر) به طور طبیعی باعث ایجاد فضاهای خطوط هواپیما به خود می شود که گروهی از خود را تشکیل می دهند. هومومورفیسم فضای خطوط. از این رو ، همین گروه ، گروهی از خود همبستگی های گروه باند Möbius را که در پاراگراف قبلی شرح داده شده است ، تشکیل می دهند. اما هیچ اندازه ای از فضای خطوط موجود در هواپیما وجود ندارد که تحت عمل این گروه از هومومورفیسم ها ثابت باشد. به این معنا ، فضای خطوط موجود در هواپیما هیچ اندازه گیری طبیعی روی آن ندارد.

این بدان معنی است که باند Möbius دارای یک گروه 4 بعدی طبیعی Lie از خود هومومورفیسم خود است که توسط GL (2 ، R ) داده شده است ، اما این درجه بالایی از تقارن را نمی توان به عنوان گروه ایزومترهای هر متریک به نمایش گذاشت.