تصویری بصری از یک بردار X در یک دامنه که توسط یک عدد پیچیده z ضرب می شود ، سپس با f ترسیم می شود ، در مقابل توسط نقشه برداری شده توسط f و سپس با Z ضرب می شود. اگر هر دو نتیجه منجر به پایان نقطه در یک مکان برای همه X و z شوند ، f آن شرط کوشی-ریمان را برآورده می کند

تجزیه و تحلیل ریاضی → تجزیه و تحلیل مجتمع
تجزیه و تحلیل پیچیده
گاما abs 3D.png
اعداد مختلط
توابع پیچیده
تئوری اساسی
نظریه عملکرد هندسی
مردم

در زمینه تجزیه و تحلیل پیچیده در ریاضیات ، معادلات كوشی-ریمان با نام های آگوستین كوشی و برنارد ریمان از سیستمی از دو معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تشکیل شده است كه همراه با معیارهای خاص پیوستگی و تفاوت پذیری خاص شرط لازم و كافی را برای عملکرد پیچیده برای پیچیده بودن و تمایز ، یعنی هولومورف . این سیستم معادلات برای اولین بار در کار ژان لو روند دی املبرت ( d'Alembert 1752 ) ظاهر شد. بعداً ، لئونارد اویلراین سیستم را به توابع تحلیلی متصل کرد ( اویلر 1797 ). كوسی (1814) سپس از این معادلات برای ساختن نظریه توابع خود استفاده كرد. رساله ریمان ( ریمان 1851 ) در مورد تئوری توابع در سال 1851 پدیدار شد.

معادلات كوچي ريمان در يك جفت توابع با ارزش واقعي از دو متغير واقعي u ( x ، y ) و v ( x ، y ) دو معادله هستند:

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} (1a) \ qquad & {\ frac {\ part u u {{\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ part y y}} \\ [6pt] ( 1b) \ qquad & {\ frac {\ partial u} {\ part y y}} = - {\ frac {\ part v v} {\ partial x}} \ end {تراز شده}}}

به طور معمول تو و پنجم گرفته شده باشد واقعی و قطعات خیالی از یک به ترتیب پیچیده تابع -valued از یک متغیر مختلط Z = X + مختلط ، F ( X + I Y ) = U ( X ، Y ) + من V ( X ، Y ) . فرض کنید که تو و پنجم واقعی هستند مشتقپذیر در یک در یک نقطه زیر مجموعه بازاز ℂ ، که می تواند به عنوان توابع از ℝ 2 تا considered در نظر گرفته شود . این بدان معنی است که مشتقات جزئی از u و v وجود دارند (اگرچه آنها نیازی به مداوم ندارند) و ما می توانیم تغییرات جزئی F را به صورت خطی تقریبی کنیم . سپس f = u + i v در آن مرحله پیچیده است و تفاوت دارد ، اگر تنها مشتقات جزئی u و v معادلات كوچی-ریمان (1a) و (1b) را در آن نقطه برآورده كنیم. تنها وجود مشتقات جزئی که رضایت از معادلات كوچی-ریمان را دارند ، برای اطمینان از تفاوت پذیری پیچیده در آن نقطه كافی نیست. لازم است که شما وv واقعي واقعي باشد كه شرايطي قوي تر از وجود مشتقات جزئي باشد ، اما بطور كلي ضعيف تر از تفاوت پذيري مستمر است.

Holomorphy خاصیت عملکردی پیچیده از متفاوت بودن در هر نقطه از زیر مجموعه های باز و متصل ℂ (این به دامنه در called گفته می شود). در نتیجه ، می توان ادعا کرد که یک تابع پیچیده f ، که قسمتهای واقعی و خیالی شما و v توابع متفاوت با واقعیت هستند ، اگر و فقط در صورت وجود ، معادلات (1a) و (1b) در کل دامنه مورد نظر ما راضی هستند ، هولومورفیک است . توابع هولومورفیک تحلیلی است و برعکس. این بدان معنی است که ، در تجزیه و تحلیل پیچیده ، تابعی که پیچیده از یک حوزه کل (هولومورف) متفاوت باشد ، همان عملکرد تابعی است. این در مورد عملکردهای متفاوت واقعی صادق نیست.

 

فهرست

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations