فراکتال نیوتن

جولیا عملکرد منطقی مرتبط با روش نیوتن را برای ƒ: z → z 3 − 1 تنظیم کرد.

فراکتال نیوتن است مجموعه ای مرز در صفحه مختلط است که با مشخصه روش نیوتن اعمال شده به یک ثابت چند جمله ای $p (Z) \ in \ mathbb {C}} [Z]$ یا تابع متعالی . این مجموعه جولیا از عملکرد meromorphic است $z \ mapsto z - {\ tfrac {p (z) {p '(z)}$ که به روش نیوتن داده شده است هنگامی که هیچ چرخه جذاب (نظم بیشتر از 1) وجود ندارد ، هواپیمای پیچیده را به مناطق تقسیم می کند $G_ {k}$ که هر کدام با یک ریشه همراه است { zeta} $\ zeta _ {k}$ از چند جمله ای ، $k = 1 ، \ ldots ، \ deg (p)$ . به این ترتیب فراکتال نیوتن شبیه به مجموعه مندلروت است و مانند سایر فراکتالها ظاهری پیچیده و برآمده از یک توضیحات ساده به نمایش می گذارد. این امر به تجزیه و تحلیل عددی مرتبط است زیرا نشان می دهد (خارج از منطقه همگرایی درجه دوم ) روش نیوتن می تواند نسبت به انتخاب نقطه شروع آن بسیار حساس باشد.

بسیاری از نقاط هواپیمای پیچیده با یکی از هواپیماها مرتبط است $\ deg (پ)$ ریشه های چند جمله ای به روش زیر: نقطه به عنوان مقدار شروع استفاده می شود $z_ {0$ برای تکرار نیوتن $z _ {n + 1}}: = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}$ ، دنباله ای از امتیازات $z_1 ، z_2 ، \ ldots ،$ اگر دنباله به ریشه همگرا شود |zeta } $\ zeta _ {k}$ ، سپس $z_ {0$ یک عنصر منطقه بود $G_ {k}$ . با این حال ، برای هر چندجمله درجه حداقل 2 نکته وجود دارد که تکرار نیوتن به هیچ ریشه ای نمی رسد: مثال ها مرزهای حوضه های جذب ریشه های مختلف هستند. حتی چند جمله ای نیز وجود دارد که مجموعه های باز از نقاط شروع قادر به همگرایی با هر ریشه نیستند: یک مثال ساده است $z ^ {3} -2z + 2$ ، که در آن برخی از نقاط توسط چرخه 0 ، 1 ، 0 ، 1 ... به جای یک ریشه جذب می شوند.

مجموعه ای باز که برای آن تکرارها به سمت یک ریشه یا چرخه معین (که یک نقطه ثابت نیست) همگرا می شوند ، مجموعه ای از فاتو برای تکرار است. مجموعه مکمل اتحادیه همه اینها ، مجموعه جولیا است. مجموعه های فاتو مرز مشترکی دارند ، یعنی مجموعه جولیا. بنابراین ، هر نقطه از مجموعه جولیا نقطه تجمع برای هر یک از مجموعه های فاتو است. این خاصیت است که باعث ایجاد ساختار فراکتال مجموعه جولیا می شود (وقتی که درجه چند جملهای بزرگتر از 2 است).

برای ترسیم تصاویر جالب ، ممکن است ابتدا یک شماره مشخص انتخاب شود $د$ از نکات پیچیده $(\ zeta_1 ، \ ldots ، \ zeta_d)$ و ضرایب را محاسبه کنید $(p_1 ، \ ldots ، p_d)$ چند جمله ای

$p (z) = z ^ {d} + p_ {1} z ^ {{d-1}} + \ cdots + p _ {{d-1}} z + p_ {d}: = (z- \ zeta _ 1}) \ cdot \ cdots \ cdot (z- \ zeta _ {d})$ .

سپس برای یک شبکه مستطیل شکل $z_ {mn} = z_ {00} + m \، \ Delta x + in \، \ Delta y$ ، $m = 0، \ ldots، M - 1$ ، $n = 0، \ ldots، N - 1$ از نقاط در $\ mathbb {C$ ، یکی از این فهرست را پیدا می کند $k (m ، n)$ از ریشه مربوطه $\ zeta _ {{k (m، n)}$ و از این برای پر کردن آن استفاده می کند $م$ × $ن$ شبکه شطرنجی با اختصاص دادن به هر نقطه $(متر ، ن)$ یک رنگ $f _ {{k (m، n)}}$ . علاوه بر این یا متناوب ، ممکن است رنگها به فاصله بستگی داشته باشند $د (متر ، ن)$ ، که به عنوان اولین مقدار تعریف شده است $د$ به طوری که $| z_ {D} - \ zeta _ {{k (m، n)}} | <\ epsilon$ برای برخی از آنها که قبلاً کوچک ثابت بودند $\ epsilon> 0$ .

فهرست

تعمیم فراکتالهای نیوتن [ ویرایش ]

تعمیم تکرار نیوتن است

$z _ {n + 1}} = z_ {n} -a {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}$

جایی که $آ$ هر شماره پیچیده است [1] انتخاب ویژه $a = 1$ مطابق با فراکتال نیوتن است. نقاط ثابت این نقشه زمانی پایدار است $آ$ درون دیسک شعاع 1 محور 1. قرار دارد $آ$ در خارج از این دیسک قرار دارد ، نقاط ثابت از نظر محلی ناپایدار هستند ، اما نقشه هنوز هم یک ساختار فراکتال را به معنای جولیا به نمایش می گذارد . اگر $پ$ چند جمله ای درجه است $د$ ، پس دنباله $z_ {n$ است محدود به شرطی که{\ صفحه نمایش a} $آ$ داخل دیسک شعاع است $د$ محور $د$ .

به طور کلی ، فرکتال نیوتن یک مورد خاص از مجموعه جولیا است .

فکتال نیوتن برای سه ریشه درجه $p (z) = z ^ {3 -1$ ) با تعداد تکرارهای مورد نیاز رنگی می شود
فکتال نیوتن برای سه ریشه درجه 3 $p (z) = z ^ {3 -1$ ) ، توسط ریشه رسیده رنگ شده است
فکتال نیوتن برای $p (z) = z ^ {3} -2z + 2$ . نقاط در حوضه های قرمز به یک ریشه نمی رسند.
فکتال نیوتن برای چند جملهای مرتبه 7 ، رنگ شده توسط ریشه رسیده و براساس سرعت همگرایی سایه بان می شود.
فکتال نیوتن برای $x ^ {8} + 15x ^ {4} -16$
فکتال نیوتن برای $p (z) = z ^ {5} -3iz ^ {3} - (5 + 2i) z ^ {2} + 3z + 1$ رنگ شده توسط ریشه رسیده و توسط تعداد تکرارهای مورد نیاز سایه زده می شود.
فکتال نیوتن برای $p (z) = \ sin (z)$ رنگ شده توسط ریشه رسیده و توسط تعداد تکرارهای مورد نیاز سایه زده می شود
یکی دیگر از فکتال های نیوتن برای $\ گناه (x)$
تعمیم فراکت نیوتن برای $p (z) = z ^ {3 -1$ ، . $a = -0.5.$ رنگ پس از 40 تکرار ، براساس آرگومان انتخاب شد.
تعمیم فراکت نیوتن برای $p (z) = z ^ {2 -1$ ، $a = 1 + i.$
تعمیم فراکت نیوتن برای $p (z) = z ^ {3 -1$ ، . $a = 2.$
تعمیم فراکت نیوتن برای $p (z) = z ^ {{4 + 3i}} - 1$ ، $a = 2.1.$
$p (z) = z ^ {6} + z ^ {3 -1$
$p (z) = \ sin (z) -1$
$p (z) = \ cosh (z) -1$

نوا فراکتال [ ویرایش ]

فراکتال نوا که در اواسط دهه 1990 توسط پل دربیشایر اختراع شد ، [2] [3] تعمیم فراکتال نیوتن با افزودن یک مقدار است. $ج$ در هر مرحله: [4]

$\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} -a {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}} + c = G (a، c، z) }$

نوع "جولیا" از فراکتال نوا نگه می دارد $ج$ ثابت بر روی تصویر و اولیه می کند $z_ {0$ به مختصات پیکسل. "Mandelbrot" نوع fractal نوا آغاز می کند $ج$ مختصات و مجموعه های پیکسل $z_ {0$ به یک نقطه بحرانی ، که در آن $\ displaystyle {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی z}} G (a ، c ، z) = 0$ . [5] چند جملههای متداول مانند استفاده می شود $\ displaystyle p (z) = z ^ {3} -1}$ یا $\ displaystyle p (z) = (z-1) ^ {3}}$ منجر به یک نقطه بحرانی در $z = 1$ .