فرمول های ریاضی [ ویرایش ]

بدیهیات اصلی Atiyah - Segal [ ویرایش ]

Atiyah مجموعه ای از بدیهیاتها را برای تئوری میدان کوانتومی توپولوژیکی الهام بخش از اصول پیشنهادی سگال برای نظریه میدان کنفورماسی (بعداً ، ایده سگال در سگال (2001) خلاصه شد ) و معنای هندسی ویتن از ابرتقارن در ویتن (1982) . بدیهیات آتیه با چسباندن مرز با یک تحول متمایز (توپولوژیکی یا مداوم) ساخته می شود ، در حالی که بدیهیات سگال برای تحولات کنفورماسی است. این بدیهیات برای درمان های ریاضی QFT های نوع شوارتز نسبتاً مفید بوده است ، اگرچه مشخص نیست که آنها کل ساختار QFT های نوع ویتن را ضبط می کنند. ایده اصلی این است که TQFT است عمل کننده از برخی از دستهاز cobordisms به این رده از فضاهای برداری .

در حقیقت دو مجموعه متفاوت از بدیهیات وجود دارد که به طور منطقی می توان آنها را بدیهیات Atiyah نامید. این بدیهیات متفاوت اساسا در اینکه آیا یا نه به TQFT تعریف شده بر روی یک ثابت اعمال N بعدی ریمانی / لورنتزی فضازمان M یا TQFT در همه تعریف N فضا زمان بعدی در یک بار.

بگذارید Λ یک حلقه ترافیکی با 1 باشد (تقریباً برای همه اهداف در دنیای واقعی ، Λ = Z ، R یا C خواهیم داشت ). در ابتدا آتیه بدیهیات یک نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی (TQFT) را در بعد d که بر روی یک حلقه زمین L تعریف شده است به شرح زیر پیشنهاد کرد:

  • تولید متناه Λ-ماژول Z (Σ) مربوط به هر بسته صاف Σ چند برابر d بعدی گرا (مربوط به هموتوپی اصل)،
  • یک عنصر Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) مربوط به هر منیفولد صاف گرا ( D + 1) بعدی (با مرز) M (مربوط به یک بدیهی افزودنی ).

این داده ها مشمول بدیهیات زیر است (4 و 5 توسط آتیه اضافه شده است):

  1. Z است functorial با توجه به جهت حفظ diffeomorphisms از Σ و M ،
  2. Z است involutory ، یعنی Z (Σ *) = Z (Σ) * که در آن Σ Σ * با جهت مخالف است و Z (Σ) * نشان دهنده ماژول دوگانه،
  3. Z است ضربی .
  4. Z (φ) = Λ برای منیفولد خالی d بعدی و Z (φ) = 1 برای منیفولد خالی بعدی - ( d + 1).
  5. Z ( M * ) = Z ( M ) ( بدیهی هرمیتی ). اگر\ displaystyle \ partial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}به طوری که Z ( M ) را می توان به عنوان یک تحول خطی بین فضاهای بردار هرمیتی مشاهده کرد ، پس این معادل Z است ( M * ) که صفت Z ( M ) است.

سخنان اگر برای چند برابر کردن بسته M ما مشاهده Z ( M ) به عنوان یک ثابت عددی، پس از آن برای چند برابر کردن با مرز ما باید از فکر می کنم Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) به عنوان یک ثابت "نسبی". بگذارید f  : Σ → → یک دیفئورمورفیسم حفظ کننده جهت باشد و انتهای مخالف Σ × I را با f مشخص کنید . این به منیفولد Σ f می دهد و بدیهیات ما دلالت دارد

\ displaystyle Z (\ Sigma _ {f}) = \ operatorname ace ردیابی} \ \ سیگما (f)

جایی که Σ ( f ) اتومبیلرانی ناشی از Z (Σ) است.

سخنان برای منیفولد M با مرز Σ ، همیشه می توانیم مضاعف را تشکیل دهیمM \ cup _ {\ Sigma} M ^ {*که یک مانیفولد بسته است اصل پنجم این را نشان می دهد

\ displaystyle Z \ left (M \ cup _ {\ Sigma} M ^ {*} \ Right) = | Z (M) | ^ {2}

در جایی که در سمت راست قرار داریم هنجار را در معیار هرمیتین (احتمالاً نامشخص) محاسبه کنیم.

رابطه با فیزیک [ ویرایش ]

از نظر جسمی (2) + (4) مربوط به تغییر نسبیت گرایانه است در حالی که (3) + (5) نشانگر ماهیت کوانتومی نظریه است.

Σ است که به منظور نشان دادن فضای فیزیکی (معمولا، د = 3 برای فیزیک استاندارد) و ابعاد اضافی در Σ × من هم "خیالی" است. فضای Z ( M ) است فضای هیلبرت از نظریه کوانتومی و نظریه های فیزیکی، با یک هامیلتونی H ، یک زمان اپراتور تکامل داشته باشیم E i ام یا "زمان خیالی" اپراتور الکترونیکی هفتم . از ویژگی های اصلی توپولوژیکی QFTs است که H = 0، که به معنی این است که هیچ پویایی واقعی یا انتشار وجود دارد، همراه سیلندر Σ × من. با این حال، می تواند غیر بدیهی "تبلیغ" (یا تونل زنی دامنه) از Σ وجود دارد 0 به Σ 1 از طریق چند برابر مداخله M با\ displaystyle \ partial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}؛ این نشان دهنده توپولوژی M است .

اگر ∂ M = Σ باشد ، پس بردار برجسته Z ( M ) در فضای هیلبرت Z (Σ) به عنوان حالت خلاء تعریف شده توسط M تصور می شود . برای یک منیفولد بسته M ، عدد Z ( M ) مقدار انتظار خلاء است . در قیاس با مکانیک آماری به آن تابع تقسیم نیز گفته می شود .

دلیل این که یک نظریه با همیلتونی صفر می تواند به طرز معقولی تدوین شود ، در رویکرد انتگرال مسیر Feynman به QFT وجود دارد. این شامل تغییر نسبی است (که مربوط به "فاصله زمانی کلی" ( D + 1) بعدی) است و این نظریه بطور رسمی توسط یک لاگرانژی مناسب - کاربردی از زمینه های کلاسیک تئوری تعریف شده است. Lagrangian که تنها مشتقات اول را در زمان به طور رسمی در برمی گیرد به همیلتون صفر منجر می شود ، اما خود لاگرانژی ممکن است دارای ویژگی های غیر بدیهی باشد که مربوط به توپولوژی M است .

نمونه های آتیه [ ویرایش ]

در سال 1988 ، م. عطیه مقاله ای را منتشر کرد که در آن نمونه های جدید بسیاری از تئوری میدان کوانتومی توپولوژیکی را که در آن زمان مورد توجه قرار گرفت ، شرح داد ( آتیه 1988 ) . این شامل برخی از متغیرهای توپولوژیکی جدید به همراه برخی ایده های جدید است: تغییر ناپذیر Casson ، ثابت Donaldson ، نظریه Gromov ، همولوژي Floer و نظریه Jones-Witten .

d = 0 [ ویرایش ]

در این حالت Σ از نکات بسیار نهایی تشکیل شده است. به یک نقطه از یک ما شریک یک فضای برداری V = Z (نقطه) و N -points N برابر حاصلضرب تانسوری: V ⊗ N = V  ⊗ ⊗ ...  V . گروه متقارن S N در عمل V ⊗ N . یک روش استاندارد برای بدست آوردن فضای کوانتومی هیلبرت شروع به کار با یک مانیفولد کلاسیک (یا فاز فاز ) و سپس کمیت آن است. اجازه دهید ما گسترش S N به یک گروه جمع و جور دروغ Gو مدارهای "یکپارچه" را در نظر بگیرید که ساختار سمپلتیک از یک بسته خط حاصل می شود ، سپس کمیت به بازده های غیرقابل برگشت V از G منجر می شود . این تفسیر فیزیکی قضیه بورل-ویل یا قضیه بورل-ویل-بوت است . لاگرانژی این نظریه ها عمل کلاسیک ( هولوگونی بسته نرم افزاری خط) است. بنابراین QFT توپولوژیکی با د = 0 مربوط به طور طبیعی به کلاسیک تئوری نمایندگی از گروه های دروغ و گروه تقارن .

d = 1 [ ویرایش ]

ما باید شرایط مرزی دوره ای را که توسط حلقه های بسته در یک منیفولد جمع و جور X جمع و جور در نظر گرفته شده ، در نظر بگیریم . همراه با Witten (1982) حلقه هایی از این قبیل حلقه ها که در مورد d = 0 به عنوان لاگرانژی استفاده می شود ، برای اصلاح همیلتون استفاده می شوند. برای سطح بسته M ، ثابت Z ( M ) تئوری تعداد نقشه های شبه هولومورفیک f  : M → X به معنای گروموف است ( اگر X یک مانیفولد Kähler باشد ، نقشه های هولومورفیک معمولی هستند.) اگر این تعداد نامتناهی باشد یعنی اگر "ماژول" وجود داشته باشد ، باید اطلاعات بیشتری را در مورد M برطرف کنیم . این را می توان با چیدن برخی از نقاط انجام P من و سپس نگاه کردن به نقشه هولومورفیک f به  : M → X با F ( P من ) در یک ابرصفحه ثابت به دروغ محدود شده است. ویتن (1988b) Lagrangian مربوطه را برای این نظریه نگاشته است. فالر براساس تئوری مورس ویتن (1982) یک رفتار دقیق ، یعنی همسانی Floer داده است. ایده ها؛ برای این مورد که شرایط مرزی به جای اینکه دوره ای باشد بیش از بازه است ، مسیر اولیه و نقاط پایانی مسیر بر روی دو زیرشاخه ثابت لاگرانژی قرار دارد . این نظریه به عنوان تئوری ثابت گروموف - ویتن توسعه یافته است.

نمونه دیگر نظریه مزرعه هولومورفیک کانفورال است . این ممکن است در آن زمان به شدت نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی در نظر گرفته نشده است زیرا فضاهای هیلبرت ابعادی نامتناهی است. نظریه های میدان سازه نیز مربوط به گروه G Gie جمع و جور است که در آن مرحله کلاسیک از یک پسوند مرکزی گروه حلقه (LG) تشکیل شده است . کمیت اینها باعث ایجاد فضاهای هیلبرت در تئوری نمایش های غیر قابل برگشت (پروژکتور) ال جی می شود . گروه Diff + ( S 1 ) اکنون گروه متقارن را جایگزین می کند و نقش مهمی ایفا می کند. در نتیجه ، عملکرد پارتیشن در چنین تئوری ها بستگی به ساختار پیچیده دارد بنابراین ، صرفاً موضوعی نیست.

d = 2 [ ویرایش ]

نظریه جونز ویتن مهمترین نظریه در این مورد است. در اینجا فضای فاز کلاسیک ، همراه با سطح بسته Σ ، فضای مدولار یک بسته نرم افزاری G- تخت بیش از Σ است. Lagrangian یک عدد صحیح از عملکرد Chern-Simons از یک اتصال G بر روی یک منیفولد 3 است (که باید "قاب بندی شده" باشد). عدد صحیح k ، به نام سطح ، پارامتر نظریه است و k →. حد کلاسیک را می دهد. این تئوری را می توان به طور طبیعی با نظریه d = 0 همراه بود تا یک نظریه "نسبی" تولید کند. جزئیات توسط Witten شرح داده شده است که نشان می دهد تابع تقسیم بندی برای یک لینک (قاب بندی شده) در 3-کره فقط ارزش چند جمله ای جونز است.برای یک ریشه وحدت مناسب این تئوری را می توان در زمینه سیکلوتومی مربوطه تعریف کرد ، به عطیه (1988) مراجعه کنید . با در نظر گرفتن سطح ریمان با مرز، ما می توانیم چند آن را به د تئوری = 1 منسجم به جای اقتران د = 2 تئوری به د = 0. این به نظریه جونز-ویتن توسعه یافته و تا به کشف ارتباط عمیق بین رهبری گره نظریه و نظریه میدان کوانتومی.

d = 3 [ ویرایش ]

Donaldson با استفاده از فضاهای مدولار SU2 -instantons ، متغیر عدد صحیح از منیفولدهای صاف 4 را تعریف کرده است. این متغیرها چند جمله ای در مورد همسانی دوم هستند. بنابراین 4-منیفولدهای باید داده های اضافی شامل جبر متقارن از H 2 . ویتن (1988a) Lagrangian فوق متقارن تولید کرده است که بطور رسمی نظریه دونالدون را بازتولید می کند. فرمول ویتن را می توان به عنوان یک آنالوگ ابعادی بی نظیر از قضیه گاوس-بنت درک کرد . در یک تاریخ بعد ، این تئوری بیشتر توسعه یافت و به نظریه سنج Seiberg-Witten تبدیل شد که باعث کاهش SU (2) به U (1) در N = 2 ، d = 4 نظریه سنج می شود. نسخه همیلتون نظریه توسط توسعه یافته استFloer به از نظر فضای اتصالات بر روی یک منیفولد 3. فلر از توابع Chern-Simons استفاده می کند ، که نظریه Lagrangian of Jones-Witten برای اصلاح همیلتون است. برای جزئیات بیشتر ، به عطیه (1988) مراجعه کنید . ویتن (1988a) همچنین نشان داده است که چگونه می توان نظریه های d = 3 و d = 1 را با هم جفت کرد: این کاملاً مشابه جفت بین d = 2 و d = 0 در نظریه جونز-ویتن است.

اکنون ، نظریه میدان توپولوژیک به عنوان یک تفکر سازنده مشاهده می شود ، نه در یک بعد ثابت بلکه در همه ابعاد همزمان.

مورد یک زمان مکانی ثابت [ ویرایش ]

اجازه دهید برد M شود دسته که morphisms هستند N بعدی submanifolds از M و که اشیاء متصل قطعات از مرزهای چنین submanifolds. دو مورفیز را به عنوان معادل در نظر بگیرید اگر از طریق زیرمجموعه های M یک هموتوپی باشند ، و بنابراین طبقه اعتیاد hBord M را تشکیل دهید : اشیاء موجود در hBord M اشیاء Bord M هستند و مورفیدهای hBord M کلاس های هم ارزی معادل سازی مورفیزم ها در Bord M هستند. . TQFT در Mیک تفریح مونوئید متقارن از hBord M به دسته فضاهای بردار است.

توجه داشته باشید که در صورت همخوانی مرزهای آنها ، کابوردیسم ها دوخته می شوند تا یک بوردیسم جدید شکل بگیرد. این قانون ترکیبی برای مورفیزها در دسته کوبوردیسم است. از آنجایی که برای حفظ ترکیبات لازم است که جواهرگران مورد استفاده قرار گیرند ، این می گوید که نقشه خطی مربوط به یک مورفیسم دوخته شده در کنار هم فقط ترکیب نقشه خطی برای هر قطعه است.

یک وجود دارد ارزی دسته بین دسته از نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی 2 بعدی و دسته از جابجایی جبری Frobenius به .

همه زمانهای فضایی n به صورت یکجا [ ویرایش ]

شلوار A (1 + 1) bordism بعدی، که مربوط به یک محصول یا coproduct در یک TQFT 2 بعدی است.

برای در نظر گرفتن همه فضا های زمان به طور همزمان ، لازم است hBord M را با یک دسته بزرگتر جایگزین کنید . بنابراین بگذارید Bord n دسته بندها باشد ، یعنی مقولهای که مورفیدهای آن N- بعدی با مرز است و اشیاء آنها اجزای متصل به مرزهای مانیفولدهای n بعدی هستند. (توجه داشته باشید که هر یک از منیفولدهای بعدی ( n -1) ممکن است به عنوان یک شی در Bord n ظاهر شود .) همانطور که در بالا آمده است ، اگر یک هموتوپیک باشد ، دو مورفیم موجود در Bord n را معادل و در نظر بگیرید و دسته اعتیاد hBord n را تشکیل دهید . Bord n یک دسته یکپارچه استتحت عملیاتی که دو بند را با بندهائی که از اتحادیه جدائی آنها ساخته شده است ، ترسیم می کند. TQFT در منیفولدهای n بعدی به عنوان سرگرمی از hBord n به دسته فضاهای برداری ، که نقشه ها اتحادیه های bordism ها را به محصول تانسور خود متمایز می کند.

به عنوان مثال ، برای (بوردیسم های بعدی) ((1 + 1) بوردیسم (مرزهای 2 بعدی بین منیفولد های 1 بعدی)) ، نقشه مرتبط با یک جفت شلوار بسته به نوع طبقه بندی اجزای مرزی ، محصول یا کالایی را به شما می دهد. یا Cocommutative ، در حالی که نقشه مرتبط با دیسک بسته به گروه بندی اجزای مرزی ، کوئیتی (ردیابی) یا واحد (مقیاس) می دهد ، و به این ترتیب (1 + 1) TQFT -dimension با جبر Frobenius مطابقت دارد .

علاوه بر این ، ما می توانیم به طور همزمان منیفولدهای 4 بعدی ، 3 بعدی و 2 بعدی مربوط به بندهای فوق را در نظر بگیریم ، و از آنها می توانیم نمونه های کافی و مهم را بدست آوریم.

توسعه بعداً [ ویرایش ]

با نگاهی به توسعه نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی ، باید کاربردهای زیادی در نظریه سنج سیبرگ-ویتن ، نظریه رشته توپولوژیکی ، رابطه بین تئوری گره و نظریه میدان کوانتومی و متغیرهای گره کوانتومی در نظر بگیریم . علاوه بر این ، این مباحث مورد علاقه زیادی در ریاضیات و فیزیک ایجاد کرده است. همچنین مورد توجه اخیر مهم اپراتورهای غیر محلی در TQFT ( Gukov & Kapustin (2013) ). اگر نظریه ریسمان به عنوان اساسی تلقی شود ، TQFT های غیر محلی می توانند به عنوان مدلهای غیر فیزیکی مشاهده شوند که تقریب محاسباتی کارآمد با تئوری رشته محلی را ارائه می دهند.

TQFT ها و سیستم های دینامیکی از نوع Witten [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه فوق متقارن پویایی تصادفی

معادلات دیفرانسیل تصادفی (جزئی) تصادفی (SDE) پایه و اساس مدل های همه چیز در طبیعت بالاتر از مقیاس انحطاط کوانتومی و انسجام است و در واقع TQFT های از نوع Witten هستند. همه SDE ها دارای تقارن توپولوژیکی یا BRST هستند ،\ دلتا ، و در نمایندگی اپراتور از دینامیک تصادفی مشتق بیرونی است ، که به طور طبیعی با اپراتور تکامل تصادفی ، به عنوان بازپرداخت ناشی از دیفرانسیل فضا فاز تعریف شده توسط SDE تعریف شده و به طور متوسط ​​بیش از تنظیمات سر و صدا است. این ابرتقارن استمرار فضای فاز را با جریانهای مداوم حفظ می کند ، و پدیده شکست خود به خودی فوق متقارن توسط یک حالت زمین غیر غیر متقارن جهانی شامل مفاهیم بدنی به خوبی تثبیت شده مانند هرج و مرج ، آشفتگی ، صداهای 1 / f و ترک خوردگی ، حساسیت به خود سازمان یافته است. غیره بخش توپولوژی نظریه برای هر SDE را می توان به عنوان TQFT از نوع Witten شناخت.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory