ریاضیات

 
در جبر  ، عملکرد هیلبرت ، چند جمله ای هیلبرت ، و سری هیلبرت از یک جبر تبادل شده درجه بندی شده که به طور نهایی در یک زمینه ایجاد می شود ، سه مفهوم کاملاً مرتبط هستند که رشد ابعاد اجزای همگن جبر را اندازه گیری می کنند.
این مفاهیم به جبرهای فیلتر گسترش یافته ، و ماژولهای درجه بندی شده یا فیلتر شده بر روی این جبرها ، و همچنین به شیوای منسجم نسبت به طرحهای طرح دار گسترش یافته اند .
موقعیت های معمولی که از این مفاهیم استفاده می شود موارد زیر است:تعیین کننده توسط یک ایده آل همگن از یک حلقه چند جمله ای چند متغیره ، درجه کل درجه بندی می شود.سهم توسط یک ایده آل از یک حلقه چند جمله ای چند متغیره ، توسط درجه کل فیلتر شده است.تصفیه یک حلقه محلی توسط قدرت های ایده آل حداکثر آن . در این حالت چند جمله ای هیلبرت به نام چند جمله ای هیلبرت - ساموئل نامیده می شود .
هیلبرت سری از جبر و مقابله و یا یک ماژول یک مورد خاص از است سری هیلبرت-پوانکاره یک فضای برداری مدرج .
سری چند جملهای هیلبرت و هیلبرت در هندسه جبری محاسباتی مهم هستند ، زیرا آنها ساده ترین روش شناخته شده برای محاسبه ابعاد و میزان تنوع جبری تعریف شده توسط معادلات چند جمله ای صریح است. علاوه بر این ، آنها متغیرهای مفیدی را برای خانواده هایی از انواع جبر فراهم می کنند زیرا یک خانواده مسطح هستند همان چند جمله ای هیلبرت را بیش از هر نقطه بسته دارد. این در ساخت طرح هیلبرت و طرح Quot استفاده می شود .
 فهرست1تعاریف و خصوصیات اصلی2درجه های جبری و چند جمله ای3ویژگی های سری هیلبرت3.1افزودنی3.2توسط یک تقسیم کننده غیر صفر تعیین می شود3.3سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت یک حلقه چند جمله ای3.4شکل سریال و ابعاد هیلبرت4درجه تنوع پروژه ای و قضیه Bzzout5تقاطع کامل6رابطه با قطعنامه های رایگان7محاسبه سریهای هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت8تعمیم به شلاق های منسجم8.1قطعنامه های درجه درجه9همچنین ببینید10منابعتعاریف و خصوصیات اصلی [ ویرایش ]
در نظر بگیرید یک finitely ایجاد درجه بندی جبر جابجایی S بیش از یک زمینه K ، که متناهی از عناصر درجه مثبت تولید می شود. این بدان معنی است که

و آن.
عملکرد هیلبرت

عدد صحیح n را بر ابعاد فضای K -veector S n ترسیم می کند . سریال هیلبرت ، که در تنظیم عمومی تر فضاهای بردار درجه بندی شده ، سریال هیلبرت - پینکاره نامیده می شود ، سریال رسمی است

اگر S است تولید ساعت عناصر همگن از درجه مثبت، سپس مجموع سریال هیلبرت کسری منطقی است

که در آن Q چند جملهای با ضرایب عدد صحیح است.
اگر S توسط عناصر درجه 1 تولید شود ، ممکن است مبلغ سری Hilbert به صورت بازنویسی شود

که در آن P چند جمله ای با ضرایب عدد صحیح است ، واست بعد کرول از S .
در این حالت ، گسترش سری این بخش عقلانی است

جایی که

است ضریب دو جمله ای برای - \ دلتا ،" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf9a3cd3ca12cf0109f9c9f672410e6edeb8c2b" /> و در غیر این صورت 0 است.
اگر

ضریب  که در بدین ترتیب است

برای،اصطلاح شاخص i در این جمع چند جمله ای در n درجه است با ضریب پیشرو  این نشان می دهد که یک چند جملهای منحصر به فرد وجود دارد با ضرایب منطقی برابر است با برای n به اندازه کافی بزرگ این چند جمله ای چند جمله ای هیلبرت است و شکل آن را دارد

حداقل n 0 به این ترتیببرای n ≥ n 0 را عادی بودن هیلبرت می نامند . ممکن است پایین تر از.
چند جمله ای هیلبرت چند جمله ای عددی است ، زیرا ابعاد عدد صحیح هستند ، اما چند جمله ای تقریباً هیچ وقت ضرایب عدد صحیح را ندارند ( شکن 2003 ، صص 41).
همه این تعاریف ممکن است به finitely ایجاد گسترش ماژول درجه بندی بیش S ، تنها با این تفاوت که یک عامل تی متر در سری هیلبرت، که در آن به نظر می رسد متر درجه حداقل و ژنراتور از ماژول، که ممکن است منفی است.
تابع هیلبرت از سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت از یک جبر فیلتر کسانی که از جبر درجه بندی در ارتباط است.
چند جمله ای هیلبرت از انواع تصویری V در P N تعریف شده است به عنوان چند جمله ای هیلبرت از همگن مختصات حلقه از V .درجه های جبری و چند جمله ای درجه بندی شده [ ویرایش ]
حلقه های چند جمله ای و مقادیر آنها توسط آرمان های همگن ، جبرهای درجه بندی شده معمولی هستند. در مقابل، اگر S یک جبر مدرج تولید بیش از زمینه است K توسط N عناصر همگن 1 ، ...،  N از درجه 1، پس از آن نقشه که می فرستد X  بر روی همریخت حلقه درجه بندی شده از تعریف
بر روی S . آن هسته یک ایده آل همگن است I و این ریختی جبر مدرج بین تعریفو S .
بنابراین ، جبرهای درجه بندی شده ایجاد شده توسط عناصر درجه 1 دقیقاً ، تا یک ایزومورفیسم ، تعداد حلقه های چند جمله ای توسط ایده آل های همگن هستند. بنابراین ، باقیمانده این مقاله توسط تعداد ایده های حلقه های چند جمله ای محدود خواهد شد.خواص سری هیلبرت [ ویرایش ]افزودنی [ ویرایش ]
سری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت نسبتاً به توالی دقیق افزودنی هستند . دقیق تر ، اگر

یک دنباله دقیق از ماژول های درجه بندی شده یا فیلتر شده است ، پس ما داریم

و

این بلافاصله از همان خاصیت برای بعد فضاهای برداری دنبال می شود.توسط یک تقسیم کننده غیر صفر [ ویرایش ]
بگذارید A یک جبر درجه بندی شده و f یک عنصر همگن از درجه d در A باشد که یک تقسیم کننده صفر نیست . سپس ما

این از اعتیاد در توالی دقیق نتیجه می گیرد

جایی که فلش با برچسب f ضرب در f است ، وماژول درجه بندی شده ای است که با تغییر درجه ها به d از A بدست می آید ، به این ترتیب که ضرب با f دارای درجه 0 است. این نشان می دهد کهسری هیلبرت و چند جمله ای هیلبرت یک حلقه چند جمله ای [ ویرایش ]
سریال هیلبرت از حلقه چند جمله ای که در نامعین است

از این رو نتیجه می گیرد که چند جمله ای هیلبرت است

اثبات اینکه سریال هیلبرت دارای این فرم ساده است با استفاده از فرمول بازگشتی فرمول قبلی برای سهام توسط یک تقسیم کننده غیر صفر ) و ذکر آن شکل سری و ابعاد هیلبرت [ ویرایش ]
یک جبر درجه بندی شده A که توسط عناصر همگن درجه 1 ایجاد می شود دارای ابعاد Krull صفر است اگر حداکثر ایده آل یکدست ، یعنی ایده آل تولید شده توسط عناصر همگن درجه 1 ، دارای نیرو باشد. این بدان معنی است که ابعاد A به عنوان فضای K- vector محدود و سری Hilbert A یک چند جمله ای( P ( t  است به گونه ای که P (1) با ابعاد A به عنوان فضای K -vector برابر است.
اگر بعد Krull A مثبت باشد ، یک عنصر همگن f درجه یک وجود دارد که یک تقسیم کننده صفر نیست (در واقع تقریباً تمام عناصر درجه یک این خاصیت را دارند). بعد کرول از / (ج) بعد کرول است منهای یک.
اعتیاد سریال هیلبرت نشان می دهد که. این کار را چندین بار برابر با بعد Krull A ، برابر می کند ، در نهایت یک جبر با ابعاد 0 دریافت می کنیم که سری هیلبرت یک P ( t ) چند جمله ای است . این نشان می دهد که سریال هیلبرت A است

که در آن چند جملهای P ( t ) به گونه ای است که P (1) ≠ 0 و d از بعد Krull A است .
این فرمول برای سری هیلبرت دلالت بر این دارد که درجه چند جملهای هیلبرت d ، و ضریب پیشرو آن است.درجه تنوع پروژه ای و قضیه Bzzout [ ویرایش ]
سری هیلبرت به ما امکان می دهد درجه تنوع جبری را به عنوان مقدار 1 عدد شمارنده سری هیلبرت محاسبه کنیم. این همچنین اثبات ساده ای از قضیه Bzzout را ارائه می دهد .
برای نشان دادن رابطه بین درجه یک مجموعه جبری پیش بینی شده و سری هیلبرت ، یک مجموعه جبر طرح ریزی V را در نظر بگیرید که به عنوان مجموعه صفرهای یک ایده آل همگن تعریف شده است ، که در آن k یک زمینه است ، و اجازه دهیدحلقه عملکردهای منظم روی مجموعه جبر باشد.
در این بخش ، نیازی به غیرقابل برگشت بودن مجموعه های جبری و نه برتر بودن آرمان ها نیست. همچنین ، از آنجا که سری های Hilbert با گسترش زمینه ضرایب تغییر نمی یابند ، قسمت k قرار است بدون از دست دادن کلی بودن ، جبری بسته شود.
بعد d از V برابر است با بعد Krull منهای یکی از R و درجه V تعداد نقاط تقاطع است که با چند برابر شمارش شده اند ، از V با تقاطعصفحات ابر در حالت کلی . این حاکی از وجود، در R ، یک توالی منظم از چند جملهای همگن D + 1 از درجه یک. تعریف یک دنباله منظم حاکی از وجود توالی های دقیق است

برای  این بدان معنی است که

جایی که شماره گیر سری هیلبرت از R است .
حلقه دارای ابعاد Krull یک است و حلقه ای از عملکردهای منظم یک مجموعه جبری پروژکتور است از بعد 0 متشکل از تعداد محدودی از نقاط ، که ممکن است چندین امتیاز باشد. مانند متعلق به یک دنباله منظم است ، هیچ یک از این نقاط متعلق به هایپرپلان معادله نیستمکمل این هایپرپلان فضایی تبخیر است که در آن قرار دارد این باعث می شود یک مجموعه جبری وابسته ، کهبه عنوان حلقه عملکردهای معمولی چند جمله ای خطی یک تقسیم کننده صفر نیست  و یکی دنباله دقیقی دارد

که دلالت بر آن دارد

در اینجا ما از سری هیلبرت جبرهای فیلتر شده استفاده می کنیم و این واقعیت که سریال هیلبرت از یک جبر درجه بندی شده نیز سری هیلبرت آن به عنوان جبر فیلتر شده است.
بدین ترتیب یک حلقه آرتینین است ، که یک فضای k- مدار است از ابعاد P (1) ، و قضیه اردن- هولدر ممکن است برای اثبات این که P (1) درجه مجموعه جبری V است استفاده شود . در حقیقت ، تعدد یک نقطه تعداد وقایع ایده آل حداکثر مربوطه در یک سری ترکیب است .
برای اثبات قضیه بنزوت ، ممکن است به همین ترتیب پیش برود. اگر چند جملهای همگن درجه است ، که یک تقسیم کننده صفر در R نیست ، دنباله دقیق

نشان میدهد که

با نگاه کردن به اعداد ، این اثبات عمومی بودن زیر از قضیه Bzzout است:
قضیه - اگر f یک چند جمله ای درجه همگن است، که در R تقسیم کننده صفر نیست ، درجه درجه تقاطع V با سطح زیر تعریف شده توسطمحصول درجه است V توسط
به شکل هندسی تر ، این ممکن است به شرح زیر باشد:
قضیه - اگر یک سطح فوقانی طرحریکی از درجه d شامل هیچ مؤلفه غیرقابل برگشتی از یک مجموعه جبری از درجه δ نباشد ، درجه درجه تقاطع آنها dδ است .
قضیه معمول Bzzout با شروع از سطح زیرین به راحتی استنباط می شود ، و تقاطع آن با n - 1 مکان های فرعی دیگر ، یکی پس از دیگری.تقاطع کامل [ ویرایش ]
اگر ایده آل تعریف کننده آن توسط یک دنباله منظم ایجاد شود ، یک مجموعه جبری پیش بینی کننده تقاطع کاملی است . در این حالت ، یک فرمول صریح و ساده برای سریال هیلبرت وجود دارد.
اجازه دهید باشد ک همگن چند جمله ای دراز مدارک مربوطه تنظیمات  یکی دنباله های دقیق زیر را دارد

از این رو افزودنی سریال هیلبرت دلالت دارد

بازگشت ساده می دهد

این نشان می دهد که تقاطع کامل تعریف شده توسط یک دنباله منظم از چند جملهای k دارای یک ضریب k است و درجه آن محصول درجات چند جمله ای در دنباله است.رابطه با قطعنامه های رایگان [ ویرایش ]
هر ماژول درجه بندی M بیش از یک درجه بندی حلقه به طور منظم R دارای یک درجه بندی وضوح رایگان ، به این معنی وجود دارد دنباله دقیق وجود دارد

که در آن ماژول های آزاد درجه بندی می شوند ، و فلش ها نقشه های خطی درجه صفر درجه بندی می شوند.
اضافه بودن سری هیلبرت دلالت بر این موضوع دارد

اگر  یک حلقه چند جمله ای است ، و اگر کسی درجه های عناصر پایه ای را بداند  سپس فرمول بخشهای قبلی تخفیف را مجاز می سازد  از جانب در واقع، این فرمول نشان می دهد که، اگر یک ماژول رایگان مدرج L دارای یک اساس h عناصر همگن از درجه، سپس سریال هیلبرت آن است

این فرمولها ممکن است راهی برای محاسبه سری هیلبرت تلقی شوند. این به ندرت اتفاق می افتد ، همانطور که با الگوریتم های شناخته شده ، محاسبه سری هیلبرت و محاسبه رزولوشن آزاد از همان مبنای گروبرن شروع می شود ، از آنجا که ممکن است سریال هیلبرت به طور مستقیم با یک پیچیدگی محاسباتی محاسبه شود که بالاتر نیست. پیچیدگی محاسبه رزولوشن آزاد است.محاسبه چند جمله ای سری هیلبرت و هیلبرت [ ویرایش ]
چند جمله ای هیلبرت به راحتی از سری هیلبرت کسر می شود (به بالا مراجعه کنید ). در این بخش نحوه محاسبه سری هیلبرت در مورد یک قطعه از حلقه چند جمله ای ، فیلتر شده یا درجه بندی شده توسط کل درجه ارائه شده است.
بنابراین اجازه دهید K یک زمینه ،یک حلقه چند جمله ای باشم و من در آر ایده آل هستم. بگذارید H ایده آل همگن باشد که توسط اجزای همگن با بالاترین درجه عناصر I تولید شود . اگر من همگن است، پس از آن H = من . سرانجام بگذارید B یک مبنای Gröbner از I برای سفارش یکپارچه پالایش کل درجه بندی سفارش جزئی و G ایده آل (همگن) تولید شده توسط مونومهای پیشرو از عناصر B باشد.
محاسبه سریال هیلبرت بر اساس این واقعیت است که جبر فیلتر شده R / I و جبرهای درجه بندی شده R / H و R / G دارای یک سری هیلبرت هستند .
بنابراین ، محاسبه سری هیلبرت ، از طریق محاسبه یک مبنای Gröbner ، برای یک ایده آل برای ایده آل تولید شده توسط مونوم ها کاهش می یابد ، که معمولاً بسیار راحت تر از محاسبه پایه Gröbner است. پیچیدگی محاسباتی از کل محاسبات بستگی دارد نظم است که به درجه ای از صورت کسر از سری هیلبرت. در حقیقت ، مبنای گروبرن ممکن است توسط جبر خطی بر روی چندجملهای درجه محدود شده توسط منظم محاسبه شود.
محاسبه چند جمله ای سری هیلبرت و هیلبرت در اکثر سیستم های جبر رایانه موجود است . به عنوان مثال در هر دو Maple و Magma این توابع را HilbertSeries و HilbertPolynomial نامگذاری می کنند .تعمیم به شلاقهای منسجم [ ویرایش ]
در هندسه جبری ، حلقه های درجه بندی شده ایجاد شده توسط عناصر درجه 1 طرح های طرح ریزی توسط ساخت پروژه تولید می کنند در حالی که ماژول های درجه بندی شده با کیفیت نهایی تولید شده مطابق با شلف های منسجم هستند. اگریک پوسته منسجم بیش از یک طرح طرح ریزی X است ، ما چند جمله ای هیلبرت را تعریف می کنیم به عنوان یک تابع، که در آن χ است مشخصه اویلر از بافه منسجم وپیچ و تاب و Serre ساخته . مشخصه اویلر در این مورد عددی کاملاً تعریف شده توسط قضیه ظرافت گروتندیک است .
این عملکرد در واقع چند جمله ای است. [1] برای متر بزرگ با تاری موافق استبا قضیه ناپدید شدن Serre . اگر M یک ماژول درجه بندی شده نهایی باشد و دو صفحه منسجم هیلبرت با هم توافق دارند.قطعنامه های درجه درجه [ ویرایش ]
از آنجا که رده sheaves منسجم بر روی انواع متنوع معادل رده ماژول های مدول درجه بندی شده با تعداد محدودی از قطعات درجه بندی شده است ، می توان از نتایج در بخش قبلی برای ساختن چندجملهای هیلبرت از شیوخانهای منسجم استفاده کرد. به عنوان مثال ، یک تقاطع کامل{\ نمایشگر X} از چند درجه وضوح را دارد