قضیه اویلر
این مقاله در مورد نظریه اویلر در نظریه اعداد است. برای استفاده های دیگر ، به لیست موضوعاتی بنام Leonhard Euler مراجعه کنید .
در نظریه اعداد ، قضیه اویلر (همچنین به عنوان شناخته شده قضیه فرما-اویلر یا قضیه حسابی اویلر آمریکا) که اگر N و هستند اولند اعداد صحیح مثبت، پس از آن
جایی که
گفتگوی قضیه اویلر نیز صادق است: اگر هماهنگی فوق صادق باشد ، پس
قضیه تعمیم نظریه کوچک فرما است و بیشتر با قضیه کارمیچال تعمیم یافته است .
این قضیه ممکن است مورد استفاده قرار گیرد برای به راحتی کاهش مدول قدرتهای بزرگ 
به طور کلی ، هنگام کاهش قدرت
اگر 
قضیه اویلر بعضاً به عنوان پایه و اساس سیستم رمزگذاری RSA ذکر می شود ، اما استفاده از قضیه اویلر برای تأیید صحت رمزگذاری RSA کافی نیست (و غیر ضروری). در RSA ، نتیجه خالص ابتدا رمزگذاری یک پیام ساده ، سپس بعدا رمزگشایی از آن ، به نمایی از تعداد ورودی بزرگ توسط
فهرست
اثبات [ ویرایش ]
قضیه 1. اویلر می توان با استفاده از مفاهیم از ثابت تئوری گروه : [3] کلاس مانده پیمانه نفر که نسبت به هم اولند به N تشکیل یک گروه تحت عمل ضرب (نگاه کنید به مقاله گروه ضربی از اعداد صحیح پیمانه نفر برای جزئیات بیشتر). سفارش گروه است که در φ ( N ) که در آن φ نشان دهنده تابع حسابی اویلر . قضیه لاگرانژ بیان می کند که ترتیب هر زیر گروه یک گروه محدود ترتیب کل گروه را تقسیم می کند ، در این حالت φ ( n ). اگر هر تعداد است اولند به N سپس است در یکی از این کلاس باقی مانده، و قدرت خود را ، 2 ، ...، K پیمانه N از یک زیر گروه از گروهی از کلاس باقی مانده، با K ≡ 1 ( وزارت دفاع N ) . قضیه لاگرانژ می گوید ک باید تقسیم φ ( N ) ، یعنی یک عدد صحیح وجود دارد M به طوری که دانش = φ ( N ) . این بدان معنی است ،
2. اثبات مستقیمی نیز وجود دارد: [4] [5] بگذارید R = { x 1 ، x 2 ، ... ، x φ ( n ) } یک سیستم باقیمانده باقیمانده ( mod n ) باشد و یک عدد صحیح باشد. coprime به n . اثبات این واقعیت اساسی را نشان می دهد که ضرب با یک i x را مجاز می سازد : به عبارت دیگر اگر ax j ≡ ax k (mod n ) سپس j = k. (این قانون لغو شده است در این مقاله ثابت گروه ضربی از اعداد صحیح باقی مانده N . [6] ) است که، مجموعه R و AR = { تبر 1 ، تبر 2 ، ...، تبر φ ( N ) } ، در نظر گرفته به عنوان مجموعه ای از کلاس های تناسب ( وزارت دفاع N )، یکسان هستند (به عنوان مجموعه-آنها ممکن است در سفارشات مختلف ذکر شده است)، بنابراین محصول از تمام اعداد در R متجانس (است وزارت دفاع N ) به محصول از تمام اعداد در AR :
سهم اویلر [ ویرایش ]
مقدار اویلر عدد صحیح a با توجه به n به شرح زیر است:
مورد خاص از یک قطعه اویلر در هنگام n بودن نخست ، یک سود فرما نامیده می شود .
هر عدد عجیب و غریب n که تقسیم می شود
| آ | تعداد N اولند به که تقسیم (الف) (جستجو شده تا 1048576) | دنباله OEIS |
| 1 | 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 ، 20 ، 21 ، 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، 26 ، 27 ، 28 ، 29 ، 30 ، ... (همه اعداد طبیعی) | A000027 |
| 2 | 1 ، 1093 ، 3279 ، 3511 ، 7651 ، 10533 ، 14209 ، 17555 ، 22953 ، 31599 ، 42627 ، 45643 ، 52665 ، 68859 ، 94797 ، 99463 ، 127881 ، 136929 ، 157995 ، 228215 ، 298389 ، 410787 ، 473985 ، 684645 ، 89516 1232361 ، 2053935 ، 2685501 ، 3697083 ، 3837523 ، 6161805 ، 11512569 ، ... | A077816 |
| 3 | 1 ، 11 ، 22 ، 44 ، 55 ، 110 ، 220 ، 440 ، 880 ، 1006003 ، 2012006 ، 4024012 ، 11066033 ، 22132066 ، 44264132 ، 55330165 ، 88528264 ، 110660330 ، 221320660 ، 442641320 ، 885282640 ، 1770565280 ، 5622450167 . | A242958 |
| 4 | 1 ، 1093 ، 3279 ، 3511 ، 7651 ، 10533 ، 14209 ، 17555 ، 22953 ، 31599 ، 42627 ، 45643 ، 52665 ، 68859 ، 94797 ، 99463 ، 127881 ، 136929 ، 157995 ، 228215 ، 298389 ، 410787 ، 473985 ، 684645 ، 89516 ... | |
| 5 | 1 ، 2 ، 20771 ، 40487 ، 41542 ، 80974 ، 83084 ، 161948 ، 643901 ، 1255097 ، 1287802 ، 1391657 ، 1931703 ، 2510194 ، 2575604 ، 2783314 ، 3765291 ، 3863406 ، 4174971 ، 5020388 ، 5151208 ، 55668 10040776، 11133256، 15061164، 15308227، 15453624، 16699884، ... | A242959 |
| 6 | 1 ، 66161 ، 330805 ، 534851 ، 2674255 ، 3152573 ، 10162169 ، 13371275 ، 50810845 ، 54715147 ، 129255493 ، 148170931 ، 254054225 ، 273575735 ، 301121113 ، 383006029 ، 646277465 ، ... | A241978 |
| 7 | 1 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20 ، 40 ، 80 ، 491531 ، 983062 ، 1966124 ، 2457655 ، 3932248 ، 4915310 ، 6389903 ، 9339089 ، 9830620 ، 12288275 ، 12779806 ، 18678178 ، 19169709 ، 19661240 ، 24576550 ، 255512 | A242960 |
| 8 | 1 ، 3 ، 1093 ، 3279 ، 3511 ، 7651 ، 9837 ، 10533 ، 14209 ، 17555 ، 22953 ، 31599 ، 42627 ، 45643 ، 52665 ، 68859 ، 94797 ، 99463 ، 127881 ، 136929 ، 157995 ، 206577 ، 228215 ، 284391 ، 298389 ، 383643 ، 410787 ، 473985 ، 684645 ، 895167 ، ... | |
| 9 | 1 ، 2 ، 4 ، 11 ، 22 ، 44 ، 55 ، 88 ، 110 ، 220 ، 440 ، 880 ، 1760 ، 1006003 ، ... | |
| 10 | 1 ، 3 ، 487 ، 1461 ، 4383 ، 13149 ، 39447 ، 118341 ، 355023 ، 56598313 ، 169794939 ، 509384817 ، ... | A241977 |
| 11 | 1، 71، 142، 284، 355، 497، 710، 994، 1420، 1491، 1988، 2485، 2840، 2982، 3976، 4970، 5680، 5964، 7455، 9940، 11928، 14910، 19880، 23856، 29820، 39760، 59640، 79520، 119280، 238560، 477120، ... | A253016 |
| 12 | 1 ، 2693 ، 123653 ، 1812389 ، 2349407 ، 12686723 ، 201183431 ، 332997529 ، ... | A245529 |
| 13 | 1 ، 2 ، 863 ، 1726 ، 3452 ، 371953 ، 743906 ، 1487812 ، 1747591 ، 1859765 ، 2975624 ، 3495182 ، 3719530 ، 5242773 ، 6990364 ، 7439060 ، 8737955 ، 10485546 ، 14878120 ، 15993979 ، 17475910 ، 3097 34951820، 41942184، 47981937، 52427730، 59512480، ... | A257660 |
| 14 | 1 ، 29 ، 353 ، 3883 ، 10237 ، 19415 ، 112607 ، 563035 ، ... | |
| 15 | 1 ، 4 ، 8 ، 29131 ، 58262 ، 116524 ، 233048 ، 466096 ، ... | |
| 16 | 1 ، 1093 ، 3279 ، 3511 ، 7651 ، 10533 ، 14209 ، 17555 ، 22953 ، 31599 ، 42627 ، 45643 ، 52665 ، 68859 ، 94797 ، 99463 ، 127881 ، 136929 ، 157995 ، 228215 ، 298389 ، 410787 ، 473985 ، 684645 ، 89516 ... | |
| 17 | 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 ، 48 ، 46021 ، 48947 ، 92042 ، 97894 ، 138063 ، 146841 ، 184084 ، 195788 ، 230105 ، 276126 ، 293682 ، 368168 ، 391576 ، 414189 ، 460210 ، 552252 ، 587364 ، 598273 ، 690315 ، 736336 ، 783152 ، 828378 ، 920420 ، ... | |
| 18 | 1 ، 5 ، 7 ، 35 ، 37 ، 49 ، 185 ، 245 ، 259 ، 331 ، 1295 ، 1655 ، 1813 ، 2317 ، 3641 ، 8275 ، 9065 ، 11585 ، 12247 ، 16219 ، 18205 ، 25487 ، 33923 ، 57925 ، 61235 ، 81095، 85729، 91025، 127435، 134717، 169615، 178409، 237461، 306175، 405475، 428645، 455125، 600103، 637175، 673585، 892045، 943019، ... | |
| 19 | 1 ، 3 ، 6 ، 7 ، 12 ، 13 ، 14 ، 21 ، 26 ، 28 ، 39 ، 42 ، 43 ، 49 ، 52 ، 63 ، 78 ، 84 ، 86 ، 91 ، 98 ، 104 ، 117 ، 126 ، 129 ، 137، 147، 156، 168، 172، 182، 196، 234، 252، 258، 273، 274، 294، 301، 312، 364، 387، 411، 441، 468، 504، 516، 546، 548، 559، 588، 602، 624، 637، 728، 774، 819، 822، 882، 903، 936، 959، 1032، 1092، 1096، 1118، 1176، 1204، 1274، 1456، 1548، 1638، 1644، 1677، 1764، 1781، 1806، 1872، 1911، 1918، 2107، 2184، 2192، 2236، 2329، 2408، 2457، 2548، 2709، 2877، 3096، 3276، 3288، 3354، 3528، 3562، 3612، 3822، 3836، 3913، 4214، 4368، 4472، 4658، 4914، 5031، 5096، 5343، 5418، 5733، 5754، 5891، 6321، 6552، 6576، 6708، 6713، 6987، 7124، 7224، 7644، 7672، 7826، 8127، 8428، 8631 ، 8736 ، 8944 ، 9316 ، 9828 ، 10062 ، 10192 ، 10686 ، 10836 ، 11466 ، 11508 ، 11739 ، 11782 ، 12467 ، 12642 ، 13104 ، 13152 ، 13416 ، 13426 ، 13974 ، 14248 ، 14448 ، 14749 ، 15093 ، 15288 ، 15344 ، 15652 ، 16029 ، 16254 ،16303، 16856، 17199، 17262، 17673، 18632، 18963، 19656، 20124، 20139، 21372، 21672، 22932، 23016، 23478، 23564، 24934، 25284، 26208، 26832، 26852، 27391، 27948، 28496، 2949 30186، 30277، 30576، 30688، 31304، 32058، 32508، 32606، 34398، 34524، 35217، 35346، 37264، 37401، 37926، 39312، 40248، 40278، 41237، 42744، 43344، 44247، 45864، 46032، 4660 47128، 48909، 49868، 50568، 53019، 53664، 53704، 54782، 55896، 56889، 56992، 58996، 60372، 60417، 60554، 61152، 62608، 64116، 65016، 65212، 68796، 69048، 70434، 706 74802، 75852، 76583، 78624، 80496، 80556، 82173، 82474، 85488، 87269، 88494، 90831، 91728، 92064، 93912، 94256، 97818، 99736، 100147، 101136، 105651، 106038، 107408، 109564 112203، 113778، 113984، 114121، 117992، 120744، 120834، 121108، 123711، 125216، 128232، 130032، 130424، 132741، 137592، 138096، 140868، 141384، 146727،149056، 149604، 151704، 153166، 160992، 161112، 164346، 164948، 170976، 174538، 176988، 181662، 183456، 184128، 187824، 188512، 191737، 195636، 199472، 200294، 211302، 211939، 211939 223584، 224406، 227556، 228242، 229749، 241488، 241668، 242216، 246519، 247422، 256464، 260848، 261807، 265482، 272493، 275184، 276192، 281736، 282768، 288659، 293454، 293454، 306332، 316953، 322224، 328692، 329896، 336609، 341952، 342363، 349076، 353976، 363324، 371133، 375648، 383474، 391272، 398223، 398944، 400588، 422604، 423878، 424152، 43825، 456484 ، 459498 ، 482976 ، 483336 ، 484432 ، 493038 ، 494844 ، 512928 ، 521696 ، 523614 ، 530964 ، 536081 ، 544986 ، 550368 ، 552384 ، 563472 ، 565536 ، 575211 ، 577318 ، 586908 ، 596224 ، 596224 635817 ، 644448 ، 657384 ، 659792 ، 673218 ، 683904 ، 684726 ،689247 ، 698152 ، 701029 ، 707952 ، 726648 ، 739557 ، 742266 ، 751296 ، 766948 ، 782544 ، 785421 ، 796446 ، 797888 ، 801176 ، 845208 ، 847756 ، 848304 ، 865977 ، 876512 ، 894336، 89764 966672 ، 968864 ، 986076 ، 989688 ، 1025856 ، 1027089 ، 1043392 ، 1047228 ، ... | |
| 20 | 1 ، 281 ، 1967 ، 5901 ، 46457 ، ... | |
| 21 | 1 ، 2 ، ... | |
| 22 | 1 ، 13 ، 39 ، 673 ، 2019 ، 4711 ، 8749 ، 14133 ، 26247 ، 42399 ، 61243 ، 78741 ، 183729 ، 551187 ، ... | |
| 23 | 1 ، 4 ، 13 ، 26 ، 39 ، 52 ، 78 ، 104 ، 156 ، 208 ، 312 ، 624 ، 1248 ، ... | |
| 24 | 1 ، 5 ، 25633 ، 128165 ، ... | |
| 25 | 1 ، 2 ، 4 ، 20771 ، 40487 ، 41542 ، 80974 ، 83084 ، 161948 ، 166168 ، 323896 ، 643901 ، ... | |
| 26 | 1 ، 3 ، 5 ، 9 ، 15 ، 45 ، 71 ، 213 ، 355 ، 497 ، 639 ، 1065 ، 1491 ، 1775 ، 2485 ، 3195 ، 4473 ، 5325 ، 7455 ، 12425 ، 13419 ، 15975 ، 22365 ، 37275 ، 67095 ، 111825 ، 335475 ، ... | |
| 27 | 1 ، 11 ، 22 ، 44 ، 55 ، 110 ، 220 ، 440 ، 880 ، 1006003 ، ... | |
| 28 | 1 ، 3 ، 9 ، 19 ، 23 ، 57 ، 69 ، 171 ، 207 ، 253 ، 437 ، 513 ، 759 ، 1265 ، 1311 ، 1539 ، 2277 ، 3795 ، 3933 ، 4807 ، 11385 ، 11799 ، 14421 ، 24035 ، 35397 ، 43263 ، 72105 ، 129789 ، 216315 ، 389367 ، 648945 ، ... | |
| 29 | 1 ، 2 ، ... | |
| 30 | 1 ، 7 ، 160541 ، ... |
کمترین پایه b > 1 که n عدد Wieferich است
2 ، 5 ، 8 ، 7 ، 7 ، 17 ، 18 ، 15 ، 26 ، 7 ، 3 ، 17 ، 19 ، 19 ، 26 ، 31 ، 38 ، 53 ، 28 ، 7 ، 19 ، 3 ، 28 ، 17 ، 57 ، 19 ، 80 ، 19 ، 14 ، 107 ، 115 ، 63 ، 118 ، 65 ، 18 ، 53 ، 18 ، 69 ، 19 ، 7 ، 51 ، 19 ، 19 ، 3 ، 26 ، 63 ، 53 ، 17 ، 18 ، 57 ، ... (دنباله A250206 در OEIS )
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.