نمونه فضاهایی که فاقد محدب محلی هستند [ ویرایش ]

بسیاری از فضاهای بردار توپولوژیکی به صورت محلی محدب هستند. نمونه هایی از فضاهایی که فاقد محدب محلی هستند شامل موارد زیر است:

\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {p} \، dx.

آنها به صورت محلی محدب نیستند ، زیرا تنها محله محدب صفر کل فضای است. به طور کلی فضاهای L ص ( μ ) با atomless، اندازه گیری محدود μ و 0 < P <1 به صورت محلی محدب است.

d (f، g) = \ int_0 ^ 1 \ frac {| f (x) - g (x) |} {1+ | f (x) - g (x) |} \، dx.

این فضا اغلب با L 0 مشخص می شود .

هر دو مثال که ملکی که هر نقشه خطی پیوسته به اعداد حقیقی است 0 . به طور خاص ، فضای دوتایی آنها بی اهمیت است ، یعنی فقط شامل صفر کاربردی است.

  • فضای دنباله ℓ p ( N ) ، 0 < p <1 ، محلی محدب نیست.

نگاشت مداوم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نقشه خطی مداوم

قضیه [26]  -  بگذارید T  : X → Y یک عامل خطی بین TVS ها باشد که Y به صورت محلی محدب است (توجه داشته باشید که X لازم نیست به صورت محلی محدب باشد). سپس T مستمر است اگر و فقط اگر برای هر سمینورم مداوم q در Y وجود دارد ، یک p مینیمورم مداوم در X وجود دارد به گونه ای که q ∘ T ≤ p .

از آنجا که فضاهای محدب به صورت محلی فضاهای توپولوژیکی و همچنین فضاهای برداری هستند ، توابع طبیعی برای در نظر گرفتن بین دو فضای محدب محلی ، نقشه های خطی مداوم هستند . با استفاده از seminorms ، یک معیار لازم و کافی برای تداوم نقشه خطی می تواند ارائه شود که از نزدیک شبیه به شرایط مرزبندی مشهورتر است که برای فضاهای Banach یافت می شود.

با توجه به فضاهای محدب محلی X و Y با خانواده های seminorms { p α } α و { q β } β به ترتیب ، نقشه خطی T  : X → Y مستمر است اگر و فقط اگر برای هر β وجود دارد ، α 1 ، α 2 وجود دارد ، ...، α N و M > 0 طوری که برای همه V در X

q_ \ beta (TV) \ le M \ left (p _ {\ alpha_1 (v) + \ dotsb + p _ {\ alpha_n} (v) \ درست)).

به عبارت دیگر، هر seminorm از طیف وسیعی از T است محدود بالا توسط برخی جمع متناهی از seminorms در دامنه . اگر خانواده { p α } α یک خانواده کارگردانی است و همیشه می توان آنگونه که در بالا توضیح داده می شود را انتخاب کرد ، پس فرمول ساده تر و آشناتر می شود:

q_ \ beta (TV) \ le Mp_ \ alpha (v).

کلاس از همه به صورت محلی محدب توپولوژیکی بردار فضاهای به شکل یک دسته با خطی پیوسته نقشه ها به عنوان morphisms .

عملکردهای خطی [ ویرایش ]

قضیه [26]  -  اگر X یک TVS است (نه لزوما محدب به صورت محلی) و اگر f یک تابع خطی بر روی X باشد ، f اگر پیوسته باشد اگر و فقط در صورت وجود p یک seminorm مداوم در X به گونه ای باشد که | f | ≤ P .

توجه داشته باشید که اگر X یک فضای بردار واقعی یا پیچیده است ، f یک عملکرد خطی روی X است ، و p یک seminorm در X است ، سپس | f | ≤ P اگر و تنها اگر F ≤ P . [26] اگر F غیر خطی 0 کاربردی است در یک فضای برداری واقعی X و اگر P seminorm است X ، پس از آن F ≤ P اگر و تنها اگر

\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (1 \ Right) \ cap \ left \ {x \ in X: p (x) <1 \ Right \} = \ vacyset}. [13]

نقشه های چند سطحی [ ویرایش ]

بگذارید n ≥ 1 یک عدد صحیح باشد ، X 1 ، ... ، X n TVS (لزوما محدب به صورت محلی) نباشد ، بگذارید Y یک TVS محلی محدب باشد که توپولوژی آن توسط یک خانواده تعیین می شود - از seminorms مداوم ، و اجازه دهید\ displaystyle M: ​​\ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ به Yیک اپراتور چند سال است که خطی در هر یک از آن N مختصات. موارد زیر معادل هستند:

  1. م پیوسته است.
  2. برای هر q q ، منی مورفین مداوم p 1 ، ... ، p n در X 1 ، ... ، X n ، به ترتیب ، وجود دارد که{\ displaystyle q \ left (M \ left (x \ Right) \ Right) \ leq p_ {1} \ left (x_ {1} \ Right) \ cdots p_ {n} \ چپ (x_ {n} \ سمت راست) } برای همه  {\ displaystyle x = \ left (x_ {1}، \ ldots، x_ {n} \ Right) \ in \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}. [13]
  3. برای هر سؤال q ، محله 0 در وجود دارد\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}که س ∘ M کراندار است. [13]