در ریاضیات ، در قضیه هاینه کانتور ، به نام بعد از ادوارد هاینه و گئورگ کانتور ، آمده است که F  : M → N است تابع پیوسته بین دو فضاهای متریک ، و M است جمع و جور ، و سپس F است یکنواخت پیوسته . یک مورد خاص مهم این است که هر عملکرد مداوم از یک بازه بسته محدود به اعداد واقعی به طور یکنواخت مداوم است.

اثبات [ ویرایش ]

فرض کنید که م و ن دو فضای متریک با اندازه گیری است {\ نمایشگر d_ {M} و {\ نمایشگر d_ {N}، به ترتیب. فرض کنید که بیشترf: M \ به N مداوم است ، و آن مجمع و جور است ما می خواهیم این را نشان دهیمf به طور یکنواخت پیوسته است ، یعنی برای همه \ varepsilon> 0 وجود دارد \ delta> 0  به گونه ای که برای همه امتیازات  x ، y  در دامنه م، \ displaystyle d_ {M} (x، y) <\ delta دلالت دارد \ displaystyle d_ {N} (f (x)، f (y)) <\ varepsilon.

برخی از موارد مثبت را برطرف کنید \ varepsilon> 0. سپس با استمرار ، برای هر نقطهایکس در حوزه ما م، یک تعداد واقعی مثبت وجود دارد {\ displaystyle \ دلتا _ {X}> 0} به طوری که \ displaystyle d_ {N} (f (x)، f (y)) <\ varepsilon / 2 چه زمانی ی در درون است\ displaystyle \ delta _ {x}} از ایکس.

اجازه دهید U_ {x} باز باشد  \ displaystyle \ delta _ {x} / 2-neighborhood از ایکس، یعنی مجموعه

\ displaystyle U_ {x} = \ left \ {y \ mid d_ {M} (x، y) <{\ frac {1} {2}} \ delta _ {x} \ Right \}

از هر نقطه ایکس موجود در خود است U_ {x}، ما می دانیم که این مجموعه {\ displaystyle \ {U_ {x} \ mid x \ in M ​​\} یک پوشش باز است م. از آنجا کهمجمع و جور است ، این پوشش دارای یک فرعی محدود است. آن فرعی باید از فرم باشد

{\ displaystyle U_ {x_ {1}} ، U_ {x_ {2}} ، \ ldots ، U_ {x_ {n}}}

برای برخی از مجموعه های محدود از نقاط  زیر مجموعه M{\ displaystyle \ {x_ {1} ، x_ {2} ، \ ldots ، x_ {n} \} \ زیر مجموعه M. هر کدام از این مجموعه باز، دارای شعاع مرتبط

\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}} / 2. بگذارید اکنون تعریف کنیم\ displaystyle \ delta = \ min _ {1 \ leq i \ leq n} {\ frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}}}یعنی حداقل شعاع این مجموعه های باز. از آنجا که تعداد محدود شعاع مثبت داریم ، این عدد\ دلتا خوب تعریف شده و مثبت است اکنون ممکن است نشان دهیم که این\ دلتا  برای تعریف استمرار یکنواخت کار می کند.

فرض کنید که\ displaystyle d_ {M} (x، y) <\ delta برای هر دو  x ، y  که در م. از آنجا که مجموعه{\ displaystyle U_ {x_ {من}}} یک فضای باز (زیر) از فضای ما تشکیل دهید م، ما آن را میدانیم ایکس باید در یکی از آنها دروغ بگوید {\ displaystyle U_ {x_ {من}}}. سپس ما این را داریم\ displaystyle d_ {M} (x، x_ {i}) <{\ frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}}}. نابرابری مثلث پس از آن دلالت دارد

\ displaystyle d_ {M} (x_ {i}، y) \ leq d_ {M} (x_ {i}، x) + d_ {M} (x، y) <\ frac {1} {2} \ delta _ {x_ {i}} + \ delta \ leq \ delta _ {x_ {i}}}

دلالت بر آن ایکس و ی هر دو حداکثر هستند\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}}} دور از x_ {من. با تعریف\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}، این بدان معنی است که {\ displaystyle d_ {N} (f (x_ {i}) ، f (x)) و{\ displaystyle d_ {N} (f (x_ {i}) ، f (y)) هر دو کمتر از\ displaystyle \ varepsilon / 2. سپس با استفاده از نابرابری مثلث ، مطلوب مورد نظر حاصل می شود

\ displaystyle d_ {N} (f (x)، f (y)) \ leq d_ {N} (f (x_ {i}) ، f (x)) + d_ {N} (f (x_ {i}) ) ، f (y)) <{\ frac {1} {2}} \ varepsilon + {\ frac {1} {2}} \ varepsilon = \ varepsilon

برای اثبات جایگزین در مورد \ displaystyle M = [a، b]یک بازه بسته ، مقاله مربوط به حساب غیر استاندارد را ببینید .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Borel_theorem