عملکرد تتا از نظر نام [ ویرایش ]

به جای بیان توابع تتا از نظر z و τ ، ممکن است آنها را از نظر آرگومان w و اسم q بیان کنیم ، جایی که w = e π iz و q = e π iτ . در این شکل ، توابع تبدیل می شوند

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ vartheta _ {00} (w، q) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ n ^ {2} qu \ quad & \ vartheta _ {01} (w، q) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} (w ^ 2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (w، q) & = \ sum _ n = - \ infty} ^ {\ infty} ( w ^ {2}) ^ {n + {\ frac {1} {2}}} q ^ {\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ Right) ^ {2}} \ quad & \ vartheta _ {11} (w، q) & = i \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} (w ^ {2}) ^ {n + {\ frac {1 } {2}}} q ^ {\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ Right) ^ {2}}. \ end {تراز وسط}}

ما می بینیم که توابع تتا نیز می توانند از نظر w و q تعریف شوند ، بدون مراجعه مستقیم به عملکرد نمایی. بنابراین ، این فرمولها می توانند برای تعریف توابع تتا در زمینه های دیگر که عملکرد نمایی ممکن است در همه جا تعریف نشده باشد ، مانند زمینه های اعداد p -adic مورد استفاده قرار گیرند .

بازنمایی محصولات [ ویرایش ]

کالا سه گانه ژاکوبی (یک مورد خاص از هویت مک دونالد ) به ما می گوید برای اعداد مختلط W و Q با | ق | <1 و w ≠ 0 داریم

{\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ Right) \ چپ (1 + w ^ {2} q ^ {2m-1} \ Right) \ سمت چپ (1 + w ^ {- 2} q ^ {2m-1} \ Right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} w ^ {2n} q ^ {n ^ {2}} }

این را می توان با روش های ابتدایی ، به عنوان مثال در هاردی و رایت مقدمه ای برای تئوری اعداد ثابت کرد .

اگر ما تابع تتا بیان از نظر نوم Q = E π iτ (به جای اشاره به برخی از نویسندگان مجموعه Q = E 2π iτ ) و W = E π IZ سپس

\ displaystyle \ vartheta (z؛ \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (\ pi i \ tau n ^ {2}) \ exp (2 \ pi izn) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} w ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.

بنابراین ما فرمول محصول را برای عملکرد تتا در فرم به دست می آوریم

\ displaystyle \ vartheta (z؛ \ tau) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ big (} 1- \ exp (2m \ pi i \ tau) {\ بزرگ) Big \ بزرگ (+ 1+ \ exp \ big (} (2m-1) \ pi i \ tau +2 \ pi iz {\ big)} {\ Big)} {\ Big (} 1+ \ exp \ بزرگ ( (2m-1) \ pi i \ tau -2 \ pi iz {\ big)} {\ Big).

از نظر w و q :

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ vartheta (z؛ \ tau) & = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ سمت چپ (1-q ^ {2m} \ Right) \ left (1+ q ^ {2m-1} w ^ {2} \ Right) \ left (1 + {\ frac {q ^ {2m-1}} {w ^ {2}}} \ Right) \\ & = چپ ( q ^ {2}؛ q ^ {2} \ Right) _ {\ infty} \، \ left (-w ^ {2} q؛ q ^ {2} \ Right) _ {\ infty} \، \ left ( - {\ frac {q} {w ^ {2}}}؛ q ^ {2} \ Right) _ {\ infty} \\ & = \ left (q ^ {2}؛ q ^ {2} \ Right) _ {\ infty} \، \tata \ left (-w ^ {2} q؛ q ^ {2} \ Right) \ end {تراز شده}}}

که در آن (؛) ∞ است Q -Pochhammer نماد و θ (؛) است Q تابع -theta . با گسترش شرایط ، محصول سه گانه Jacobi نیز قابل نوشتن است

\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ Right) {\ Big (} 1+ \ left (w ^ {2} + w ^ {- 2 } \ درست) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} {\ بزرگ)} ،

که ممکن است ما نیز بنویسیم

\ displaystyle \ vartheta (z \ mid q) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m \ Right) \ چپ (1 + 2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} \ درست).

این شکل به طور کلی معتبر است اما وقتی واقعی z واقعی است از اهمیت خاصی برخوردار است. فرمول های محصول مشابه برای توابع تتا کمکی هستند

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ vartheta _ {01} (z \ mid q) & = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ چپ (1-q ^ {2m} \ Right) \ چپ (1-2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} \ Right) ، \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (z \ mid q) & = 2q ^ {\ frac {1} {4}} \ cos (\ pi z) \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m} \ Right) \ left (1 +2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m} + q ^ {4m} \ right)، \\ [3pt] \ vartheta _ {11} (z \ mid q) & = - 2q ^ {\ frac {1} {4}} \ sin (\ pi z) \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {2m \ Right) \ چپ (1-2 \ cos (2 \ pi z) q ^ {2m} + q ^ {4m} \ درست). \ end {تراز شده}}}

بازنمایی انتگرال [ ویرایش ]

توابع تاتا ژاکوبی نمایش های انتگرال زیر را دارند:

{\ displaystyle {\ fill {تراز شده} \ vartheta _ {00} (z؛ \ tau) & = - i \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ 2}} {\ frac {\ cos (2uz + \ pi u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u؛ \\ [6pt] \ vartheta _ {01} (z؛ \ tau ) & = - i \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz) {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u؛ \\ [6pt] \ vartheta _ {10} (z؛ \ tau) & = - یعنی ^ {iz + {\ frac {1} {4}} i \ pi \ tau } \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz + \ pi u + \ pi \ tau u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u؛ \\ [6pt] \ vartheta _ {11} (z؛ \ tau) & = e ^ {iz + {\ frac {1} 4}} i \ pi \ tau} \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz + \ pi \ tau u)} {\ gun (\ pi u))} \ mathrm {d} u. \ end {تراز شده}}}

مقادیر صریح [ ویرایش ]

به یی (2004) مراجعه کنید. [2] [3]

\ displaystyle {\ fill {تراز شده} \ varphi (e ^ {- \ pi x}) & = \ vartheta (0؛ ix) = \ theta _ {3} (0؛ e ^ {- \ pi x}) = \ sum _ n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x \ pi n ^ {2}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3 {4}} \ سمت راست)}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ { -2 \ pi} \ درست) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست)}} {\ frac \ sqrt [{4}] {6 + 4 {\ sqrt {2}}}} {2}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 3 \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {27 + 18 {\ sqrt {3}}}} {3} \ \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 4 \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi } {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} 4}} \ سمت راست)}} {\ frac {{\ sqrt [{4}] {8} + 2} {4}} \\ [8pt ] \ varphi \ سمت چپ (e ^ {- 5 \ pi} \ سمت راست) و= {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] { 225 + 100 {\ sqrt {5}}}} {5}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 6 \ pi} \ Right) & = {\ frac {{\ sqrt [{3 ] {3 {\ sqrt {2}} + 3 {\ sqrt [{4}] {3}} + 2 {\ sqrt {3} - {\ sqrt [{4}] {27} + {\ sqrt [{4}] {1728}} - 4}} \ cdot {\ sqrt [{8}] {243 {\ pi} ^ {2}}}} {6 {\ sqrt [{6}] {1+ \ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ Right)}}} = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ Right)}} {\ frac {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] { 1}} + {\ sqrt [{4}] {3}} + {\ sqrt [{4}] {4}} + {\ sqrt [{4}] {9}}}} {\ sqrt [{8 }] {1728}}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 7 \ pi} \ Right) &= {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست)}} {\ sqrt {{\ frac {{\ sqrt { 13 + {\ sqrt {7}}}} + {\ sqrt {7 + 3 {\ sqrt {7}}}}} 14}} \ cdot {\ sqrt [{8] {28}}} = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3 {4}} \ سمت راست)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {7 +4 {\ sqrt {7}} + 5 {\ sqrt [{4}] {28}} + {\ sqrt [{4}] {1372}}} {\ sqrt {7}}} \\ [8pt ] \ varphi \ left (e ^ {- 8 \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4) } \ درست)}} {\ frac {{\ sqrt [{8}] {128}} + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} 4}} \\ [8pt] \ varphi \ چپ (e ^ {- 9 \ pi} \ سمت راست) و = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست) )}} {\ frac left \ left (1+ \ left (1+ left \ sqrt {3}} \ Right) {\ sqrt [{3}] {2 - {\ sqrt {3}}} right \ Right) } {3}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 10 \ pi \ Right) &= {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست)}} {\ frac {\ sqrt {20 + {\ sqrt 450}} + {\ sqrt {500}} + 10 {\ sqrt [{4}] {20}}}}} 10} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 12 \ pi \ right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ Right)}} {\ frac {\ sqrt {{ \ sqrt [{4}] {1}} + {\ sqrt [{4}] {2}} + {\ sqrt [{4}] {3}} + {\ sqrt [{4}] {4}} + {\ sqrt [{4}] {9}} + {\ sqrt [{4}] {18}} + {\ sqrt [{4}] {24}}}} {2 {\ sqrt [{8} ] {108}}} \ \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 16 \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} 4}} \ سمت راست)}} {\ frac {\ چپ (4 + {\ sqrt [{4}] {128}} + {\ sqrt [{4}] {1024 { \ sqrt [{4}] {8}} + 1024 \ sqrt [{4}] {2}}}} \ Right)} {16}} \ end {تراز شده}}}= {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست)}} {\ frac {\ sqrt {{\ sqrt [ 4}] {1}} + {\ sqrt [{4}] {2}} + {\ sqrt [{4}] {3} + {\ sqrt [{4}] {4}} + {\ sqrt [{4}] {9}} + {\ sqrt [{4}] {18}} + {\ sqrt [{4}] {24}}}} {2 {\ sqrt [{8}] {108} }} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 16 \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ Right)}} fr frac {\ سمت چپ (4 + {\ sqrt [{4}] {128}} + {\ sqrt [{4}] {1024 {\ sqrt [ 4}] {8} 10 1024 {\ sqrt [{4}] {2}}}} \ Right)} 16}} end \ end {تراز شده}}}= {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ سمت راست)}} {\ frac {\ sqrt {{\ sqrt [ 4}] {1}} + {\ sqrt [{4}] {2}} + {\ sqrt [{4}] {3} + {\ sqrt [{4}] {4}} + {\ sqrt [{4}] {9}} + {\ sqrt [{4}] {18}} + {\ sqrt [{4}] {24}}}} {2 {\ sqrt [{8}] {108} }} \\ [8pt] \ varphi \ left (e ^ {- 16 \ pi} \ Right) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ گاما \ سمت چپ ({\ frac {3} {4}} \ Right)}} fr \ frac {\ چپ (4 + {\ sqrt [{4}] {128}} + {\ sqrt [{4}] {1024 {\ sqrt [ 4}] {8} 10 1024 {\ sqrt [{4}] {2}}}} \ Right)} 16}} end \ end {تراز شده}}}

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Theta_function