در تجزیه و تحلیل عملکردی ، یک عملگر خطی محدود یک تحول خطی L  : X → Y بین فضاهای بردار توپولوژیکی (TVS) X و X است که زیر مجموعه های محدود از X را به زیر مجموعه های Y محدود می کند . اگر X و Y هستند فضاهای برداری عادی هنجار (نوع خاصی از TVS)، سپس L کراندار است اگر و تنها اگر برخی وجود دارد M ≥ 0 طوری که برای همه ایکس در X ،

|| Lx || Y ≤ M || x || X .

کوچکترین چنین M ، با اشاره | || ل || است، به نام هنجار اپراتور از L .

هر عملگر خطی پیوسته یک عملگر محدود است و علاوه بر این ، یک عملگر خطی بین فضاهای نرمال محدود شده است اگر و فقط اگر مداوم باشد. با این حال ، یک عملگر خطی محدود بین فضای بردار توپولوژیکی کلی تر لزوماً مداوم نیست.

 

فهرست

اپراتورهای محدود در فضاهای بردار توپولوژیکی [ ویرایش ]

یک عملگر خطی F  : X → Y بین دو فضای برداری توپولوژیکی (TVSS) است به صورت محلی محدود و یا فقط محدود اگر هر زمان که B ⊆ X است محدود در X پس از آن F ( B ) در محدود Y . زیرمجموعه TVS اگر هر محله مبدا آن را جذب کند ، محدود (یا به عبارت دقیق تر ، فون نویمان محدود ) نامیده می شود. در یک فضای هنجار (و حتی در یک فضای نیمه کاره)) ، زیرمجموعه فون نویمان محدود است اگر و فقط در صورت محدود بودن هنجار باشد. از این رو ، برای فضاهای دارای هنجار ، مفهوم مجموعه محدود شده فون نویمان با مفهوم معمول یک زیر مجموعه دارای هنجار یکسان است.

هر عملگر خطی مداوم بین TVS یک اپراتور محدود است. اما ، به طور کلی ، یک عملگر خطی محدود بین دو TVS نیاز به مداوم ندارد.

این فرمول به فرد اجازه می دهد تا بین اپراتورهای محدود بین فضاهای بردار توپولوژیکی به عنوان یک اپراتور که مجموعه های محدود به مجموعه های محدود را تعیین می کند ، عملگرهای محدود را مشخص کند. در این زمینه ، هنوز هم صحیح است که هر نقشه پیوسته محدود است ، اما مکالمه شکست می خورد. یک عملگر محدود نباید مداوم باشد. واضح است ، این همچنین بدان معنی است که مرزبندی دیگر معادل استمرار لیپشیتز در این زمینه نیست.

اگر دامنه است فضای bornological (به عنوان مثال pseudometrizable TVS ، یک فضای فریشه ، یک فضای عادی هنجار ) و سپس عملگرهای خطی به هر فضاهای موضعا محدب دیگر این است که اگر محدود و تنها اگر پیوسته است. برای فضاهای LF ، یک مکالمه ضعیف تر وجود دارد. هر نقشه خطی محدود از یک فضای LF پیوسته است .

فضاهای بورنولوژیکی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای بورنولوژیک

فضاهای بورنولوژیکی دقیقاً آن فضاهای محدب محلی به ازای هر اپراتور خطی محدود به فضای محدب دیگر محلی لزوماً محدود هستند. بدین معنا که ، یک TVS X محدب محلی به صورت محلی یک فضای تولد است اگر و فقط برای هر TVS Y محدب محلی ، یک عملگر خطی F  : X → Y مستمر است اگر و فقط در صورت محدود بودن محدود باشد. [1]

هر فضای هنجار شناسانه ای است.

خصوصیات اپراتورهای خطی محدود [ ویرایش ]

بگذارید F  : X → Y یک عامل خطی بین TVS (لزوماً Hausdorff) نباشد. موارد زیر معادل هستند:

  1. F محدود است (به صورت محلی).
  2. (تعریف) F نقشه زیر مجموعه های محدود از حوزه خود به زیر مجموعه های محدود از برد آن؛
  3. نقشه های F زیر مجموعه های دامنه خود را به زیر مجموعه های محدود تصویر خود (Im F  : = F ( X  محدود می کند .
  4. توالی F توالی های تهی را به توالی محدود انجام می دهد [1]
    • دنباله تهی دنباله ای است که به مبدا همگرا می شود.

و اگر X و Y به صورت محلی محدب باشند ، می توانیم به این لیست اضافه کنیم:

  1. نقشه های F دیسک ها را به دیسک های محدود محدود می کند. [2]
  2.  نقشه های F -1 دیسکهای زاینده را به دیسکهای زاینده نشان می دهند. [2]

و اگر X یک فضای تولد و Y بصورت محلی محدب است ، می توانیم به این لیست اضافه کنیم:

  1. F پیاپی مداوم است. [3]

عملگرهای خطی محدود شده بین فضاهای نرمال [ ویرایش ]

یک عملگر خطی محدود است به طور کلی یک تابع محدود ، به عنوان به طور کلی یکی می تواند دنباله پیدا X • = ( X i )∞
i = 1در X به این ترتیب\ displaystyle \ | Lx_ {k} \ | _ {Y} \ rightarrow \ infty. در عوض ، تمام آنچه برای محدود کردن اپراتور لازم است این است

\ displaystyle {\ frac {\ | Lx \ | _ {Y}} {\ | x \ | _ {X}}} \ leq M <\ infty

برای همه x ≠ 0 . بنابراین ، اپراتور L تنها می تواند یک تابع محدود باشد اگر L ( x ) = 0 را برای همه x برآورده کند ، همانطور که با در نظر گرفتن اینکه برای یک عملگر خطی قابل درک است آسان است\ displaystyle L (ax) = aL (x) برای همه مقیاس ها a . در عوض ، یک عملگر خطی محدود یک عملکرد محلی است .

یک عملگر خطی بین فضاهای نرمال محدود است اگر و فقط در صورت مداوم بودن ، و با خطی بودن ، اگر و فقط اگر در صفر مداوم باشد.

معادل محدودیت و استمرار [ ویرایش ]

همانطور که در مقدمه گفته شد ، یک عملگر خطی L بین فضاهای هنجار X و Y محدود است اگر و تنها اگر یک عملگر خطی مداوم باشد . اثبات به شرح زیر است.

فرض کنید L محدود باشد. سپس ، برای همه بردارها x ، h ∈ X با h nonzero داریم

\ displaystyle \ | L (x + h) -L (x) \ | = \ | L (ساعت) \ | \ leq M \ | h \ |. \،

اجازه دادن\ mathit {ساعت \ ،به صفر بروید نشان می دهد که L برابر x است . علاوه بر این ، از آنجا که M ثابت به X وابسته نیست ، این نشان می دهد که در حقیقت L به طور یکنواخت مداوم و حتی Lipschitz مداوم است .

در مقابل ، از تداوم در بردار صفر پیروی می کند که وجود دارد \ delta> 0 به طوری که \ | L (ساعت) \ | = \ | L (ساعت) - L (0) \ | \ le 1برای همه بردارها h ∈ X با\ | ساعت \ | \ le \ دلتا. بنابراین ، برای همه x ∈ X غیر صفر ، یکی است

\ displaystyle \ | Lx \ | = \ left \ Vert {\ | x \ | \ over \ delta} L \ left (\ delta {x \ over \ | x \ |} \ Right) \ Right \ Vert = {\ | x \ | \ over \ delta} \ left \ Vert L \ left (\ delta {x \ over \ | x \ |} \ Right) \ Right \ Vert \ leq {\ | x \ | \ over \ delta \ cdot 1 = {1 \ over \ delta} \ | x \ |.

این ثابت می کند که L محدود است.

خصوصیات بیشتر [ ویرایش ]

شرط محدود شدن L ، یعنی وجود مقداری M به گونه‌ای که برای همه x وجود داشته باشد

\ displaystyle \ | Lx \ | \ leq M \ | x \ | ، \ ،

دقیقاً شرط L است که Lipschitz به طور مداوم در 0 باشد (و از این رو در همه جا ، زیرا L خطی است).

یک روش معمول برای تعریف یک عملگر خطی محدود بین دو فضای Banach داده شده به شرح زیر است. ابتدا یک عملگر خطی را روی یک زیر مجموعه متراکم از دامنه خود تعریف کنید ، به طوری که از نظر محلی محدود باشد. سپس ، اپراتور را به طور مداوم به یک عملگر خطی پیوسته در کل دامنه گسترش دهید .

مثالها [ ویرایش ]

  • هر عملگر خطی بین دو فضای هنجار محدود بعدی محدود است ، و چنین اپراتور ممکن است به عنوان ضرب توسط برخی ماتریس ثابت مشاهده شود .
  • هر عملگر خطی تعریف شده بر روی یک فضای هنجاری محدود بعدی محدود است.
  • در فضای دنباله c 00 در نهایت توالی صفر از اعداد واقعی ، که با هنجار ℓ 1 در نظر گرفته می شود ، عملگر خطی به اعداد واقعی که مبلغ یک دنباله را برمی گرداند محدود شده است ، با هنجار اپراتور 1. اگر همان فضای در نظر گرفته شود با ℓ ∞ هنجار، اپراتور همان است محدود نیست.
  • بسیاری از تبدیل های داخلی یک اپراتور خطی محدود هستند. به عنوان مثال ، اگر

    K: [a، b] \ بار [c، d] \ to \ mathbb R} \،

    یک تابع مداوم است ، سپس اپراتور L روی فضای C [ a ، b ] توابع پیوسته در [ a ، b ] وقف شده با هنجار یکنواخت و با مقادیر موجود در فضای C [ c ، d ] با L تعریف شده توسط فرمول

    (Lf) (y) = \ int_ {a} ^ {b} \! K (x، y) f (x) \، dx، \،

    محدود است این عملگر در واقع فشرده است . اپراتورهای جمع و جور یک کلاس مهم از اپراتورهای محدود را تشکیل می دهند.
  • عملگر لاپلاس

    \ Delta: H ^ 2 ({\ mathbb R} ^ n) \ to L ^ 2 ({\ mathbb R} ^ n) \،

    ( دامنه آن یک فضای Sobolev است و مقادیر آن را در فضایی از توابع با مربع یکپارچه می کند ) محدود است.
  • اپراتور تغییر در لیتر 2 فضای از همه توالی ( X 0 ، X 1 ، X 2 ...) از اعداد حقیقی باx_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots <\ infty، \،

    L (x_0 ، x_1 ، x_2 ، \ نقطه) = (0 ، x_0 ، x_1 ، x_2 ، \ نقطه) \ ،

    محدود است هنجار عملگر آن به راحتی 1 مشاهده می شود.

اپراتورهای خطی بدون مرز [ ویرایش ]

هر عملگر خطی بین فضاهای استاندارد محدود نمی شود. بگذارید X فضای همه چند جملهای مثلثاتی باشد که با استفاده از هنجار تعریف شده در [−π، π] باشد

\ | P \ | = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \! | P (x) | \، dx.

اپراتور L  : X → X را که با گرفتن مشتق عمل می کند ، تعریف کنید ، بنابراین یک چند جمله ای P را به مشتق P m خود ترسیم می کنید. سپس ، برای

v = e ^ {در x}

با n = 1 ، 2 ، .... ، داریم،\ | v \ | = 2 \ پی ، در حالی که\ | L (v) \ | = 2 \ pi n \ to \ inftyبه عنوان n → ∞ ، بنابراین این اپراتور محدود نیست.

معلوم است که این یک نمونه مفرد نیست بلکه بخشی از یک قاعده کلی است. با این وجود ، با توجه به هرگونه فضای هنجار X و Y با X نامتناهی و Y فضای صفر نیست ، می توان یک عملگر خطی پیدا کرد که از X تا Y ادامه نداشته باشد.

اینکه چنین عملیاتی اساسی به عنوان مشتق (و دیگران) محدود نیست ، مطالعه را دشوارتر می کند. اما اگر یک دامنه و دامنه اپراتور مشتق با دقت تعریف شود ، ممکن است شخصی نشان داده شود که یک اپراتور بسته است . اپراتورهای بسته عمومی تر از عملگرهای محدود هستند اما هنوز هم از بسیاری جهات "خوب رفتار می کنند".

ویژگی های فضای اپراتورهای خطی محدود [ ویرایش ]

  • فضای کلیه اپراتورهای خطی محدود از X تا Y توسط (B ( X ، Y مشخص شده و یک فضای بردار نرمال است.
  • اگر Y Banach باشد ، (B ( X ، Y  نیز چنین است .
  • از این نتیجه می رود که فضاهای دوتایی Banach هستند.
  • برای هر (A ∈ B ( X ، Y  ، هسته A یک فضای فرعی خطی X است .
  • اگر B ( X ، Y ) Banach باشد و X غیر آنی باشد ، Y آن Banach است.