ماتریس متقارن مشخص

سازگاری بین تعاریف واقعی و پیچیده [ ویرایش ]

از آنجا که هر ماتریس واقعی نیز یک ماتریس پیچیده است ، تعاریف "قطعیت" برای این دو کلاس باید موافق باشند.

برای ماتریس های پیچیده ، متداول ترین تعریف می گوید: $م$ مثبت و مشخص است اگر و فقط اگر $\ displaystyle z ^ {*} Mz}$ برای همه بردارهای ستونی پیچیده غیر صفر واقعی و مثبت است $z$ این شرایط دلالت بر این امر دارد $م$ هرمیتی است (یعنی انتقال آن برابر است با ترکیب آن). برای دیدن این موضوع ، ماتریس ها را در نظر بگیرید ${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} \ left (M + M ^ {*} \ Right))$ و $left \ displaystyle B = {\ tfrac {1} {2i}} \ سمت چپ (MM ^ {*} \ سمت راست)}$ ، به طوری که $\ displaystyle M = A + iB$ و $\ displaystyle z ^ {*} Mz = z ^ {*} Az + iz ^ {*} Bz$ . ماتریس

$آ$ و $ب$ بنابراین هرمیتی هستند $\ displaystyle z ^ {*} آز}$ و $\ displaystyle z ^ {*} Bz}$ بطور جداگانه واقعی هستند اگر $\ displaystyle z ^ {*} Mz}$ پس واقعی است $\ displaystyle z ^ {*} Bz}$ باید برای همه صفر باشد $z$ . سپس $ب$ ماتریس صفر است و ${\ displaystyle M = A$ ثابت کرد که $م$ هرمیتی است.

با این تعریف ، یک ماتریس واقعی مثبت مشخص است $م$ هرمیتی ، از این رو متقارن است. و $\ displaystyle z ^ {\ textf {T}} Mz}$ برای همه بردارهای ستون واقعی غیر صفر مثبت است $z$ . با این حال شرط آخر تنها برای این کافی نیست $م$ مثبت و قطعی باشد به عنوان مثال ، اگر

$M = begin \ fill bmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \ end {bmatrix}}،$

سپس برای هر بردار واقعی $z$ با مدخل ها $آ$ و $ب$ ما داریم $\ displaystyle z ^ {\ textf {T}} Mz = (a + b) a + (- a + b) b = a ^ {2} + b ^ {2}}$ ، که همیشه مثبت است اگر $z$ صفر نیست اما اگر $z$ وکتور پیچیده ای است که دارای مدخل است $1$ و $من$ ، یکی می شود

$\ displaystyle z ^ {*} Mz = [1، -i] M [1، i] ^ {\ Texff {T}} = [1 + i، 1-i] [1، i] ^ {\ متنf T}} = 2 + 2i$

که واقعی نیست از این رو، $م$ قطعی مثبت نیست.

از طرف دیگر ، برای یک ماتریس واقعی متقارن $م$ ، شرایط

$\ displaystyle z ^ {\ textf {T}} Mz> 0$ برای همه بردارهای غیرزرو واقعی $z$ " به این معنی است $م$ مثبت به معنای پیچیده است.

نشانه گذاری [ ویرایش ]

اگر یک ماتریس هرمیتی $م$ مثبت است نیمه قطعی ، گاهی می نویسد $M \ succeq 0$ و اگر $م$ مثبت قطعی است که می نویسد $\ displaystyle M \ succ 0$ . برای بیان آن $م$ نیمه قطعی منفی است که می نویسد $\ displaystyle M \ preceq 0$ و به بیان آن $م$ قطعی منفی است که می نویسد $\ displaystyle M \ prec 0$ .

این مفهوم از تجزیه و تحلیل عملکردی ناشی می شود که در آن ماتریس های نیمه مثبت مثبت عملگرهای مثبت را تعریف می کنند .

یک نماد جایگزین رایج است $\ displaystyle M \ geq 0$ $\ displaystyle M> 0$ $\ displaystyle M \ leq 0$ و $display \ نمایشگر M <0$ به ترتیب برای ماتریسهای نیمه قطعی مثبت و مثبت-مثبت ، منفی نیمه قطعی و منفی-قطعی. این ممکن است گیج کننده باشد ، زیرا بعضی اوقات ماتریس های غیر منفی (به ترتیب ، ماتریس های غیرمخرب) نیز از این طریق مشخص می شوند.

مثالها [ ویرایش ]

ماتریس $\ displaystyle I = {\ fill bmatrix 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}$ قطعی مثبت است (و به همین ترتیب نیمه مثبت قطعی نیز مثبت است). این یک ماتریس متقارن واقعی است ، و برای هر بردار ستونی غیر صفر z با ورودی های واقعی a و b ،
$\ displaystyle z ^ {\ Texff {T}} Iz = {\ آغاز {bmatrix} a & b \ end {bmatrix}} {\ fill bmatrix 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ fill {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix}} = a ^ {2} + b ^ {2}$ .
به عنوان یک ماتریس پیچیده ، برای هر بردار ستونی غیر صفر z که دارای ورودی های پیچیده a و b است ، مشاهده می شود
$\ displaystyle z ^ {*} Iz = {\ fill {bmatrix} {\ overline {a}} & {\ overline {b}} \ end {bmatrix}} {\ fill bmatrix 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { bmatrix}} {\ fill {bmatrix a \\ b \ end {bmatrix}} = {\ overline {a}} a + {\ overline {b}} b = | a | ^ {2} + | b | ^ 2$ .
در هر صورت ، از آن زمان نتیجه مثبت است $z$ وکتور صفر نیست (یعنی حداقل یکی از آنها $آ$ و $ب$ صفر نیست)
ماتریس متقارن واقعی
$\ displaystyle M = {\ fill bmatrix 2 & -1 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end bmatrix}}}$
مثبت است- از آنجا که برای هر بردار ستون غیر صفر z با مدخلهای a ، b و c ، داریم
${\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} z ^ {\ Texsf {T}} Mz = \ سمت چپ (z ^ {\ Texff {T}} M \ سمت راست) z & = {\ fill bmatrix} (2a-b) & (-a + 2b-c) & (- b + 2c) \ end {bmatrix}} {\ fill bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} \\ & = (2a-b) a + (-a + 2b-c) b + (- b + 2c) c \\ & = 2a ^ {2} -ba-ab + 2b ^ {2} -cb-bc + 2c ^ {2} \\ & = 2a ^ {2} -2ab + 2b ^ {2} -2bc + 2c ^ {2} \\ & = a ^ {2} + a ^ {2} -2ab + b ^ {2} + b ^ {2} - 2bc + c ^ {2} + c ^ {2} \\ & = a ^ {2} + (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + c ^ {2} \ end {تراز شده} }$
این نتیجه مجموع مربعات است و بنابراین غیر منفی است. و فقط اگر صفر باشد صفر است $\ displaystyle a = b = c = 0$ ، یعنی وقتی z بردار صفر است.
برای هر ماتریس برگشت پذیر واقعی $آ$ ، محصول $\ displaystyle A ^ {\ textf {T}} A$ یک ماتریس قطعی مثبت است. اثبات ساده این است که برای هر بردار غیر صفر است $z$ ، شرایط $\ displaystyle z ^ {\ textf {T}} A ^ {\ Texf {T}} Az = (Az) ^ {\ Texsf {T}} (Az) = \ | آز \ | ^ {2}> 0 }$ از آنجا که غیرقابل برگشت بودن ماتریس است
$آ$ یعنی که $Az \ neq 0.$
مثال $م$ در بالا نشان می دهد که ماتریسی که در آن برخی از عناصر منفی هستند ممکن است هنوز هم قطعی مثبت باشد. در مقابل ، ماتریسی که ورودی های آن همه مثبت است ، مثلاً مثلاً مثبت نیست
$\ displaystyle N = {\ fill bmatrix 1 & 2 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}}،$
برای کدام ${\ displaystyle {\ fill {bmatrix} -1 & 1 \ end {bmatrix} N {\ fill bmatrix} -1 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ textf T}} = - - 2 <0$