فهرست

ماتریس Jacobian [ ویرایش ]

Jacobian از یک تابع دارای ارزش بردار در چندین متغیر ، شیب یک عملکرد مقیاس پذیر را در چندین متغیر تعمیم می دهد ، که به نوبه خود مشتق یک تابع دارای ارزش مقیاس یک متغیر واحد را تعمیم می دهد. به عبارت دیگر ، ماتریس Jacobian از یک تابع دارای ارزش مقیاس در چندین متغیر (شفاف سازی) شیب آن است و شیب عملکردی با ارزش مقیاس یک متغیر واحد مشتق آن است.

در هر نقطه ای که یک تابع از هم متمایز است ، می توان ماتریس Jacobian آن را نیز توصیف کرد که مقدار "کشش" ، "چرخش" یا "تبدیل" را که عملکرد در آن محلی نزدیک به آن نقطه تحمیل می کند ، توصیف می کند. به عنوان مثال ، اگر ( x ′ ، y ′) = f ( x ، y ) برای هموار کردن تصویر استفاده می شود ، ماتریس Jacobian J f ( x ، y ) ، چگونگی تصویر در محله ( x ، y ) را توضیح می دهد. دگرگون شده است

اگر یک تابع در یک نقطه متفاوت باشد ، دیفرانسیل آن در مختصات توسط ماتریس Jacobian ارائه می شود. با این وجود یک تابع برای تعریف ماتریس Jacobian خود نیازی به تمایز ندارد ، زیرا فقط مشتقات جزئی آن در مرتبه ی اول لازم است.

اگر F است مشتقپذیر در یک نقطه P در ℝ N ، و سپس خود دیفرانسیل است نشان J F ( ص ) . در این مورد، تبدیل خطی ارائه شده توسط J F ( ص ) بهترین است تقریب خطی از F نزدیک نقطه P ، به این معنا که

\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {J _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p}) ( \ mathbf {x} - \ mathbf {p}) + o (\ | \ mathbf {x} - \ mathbf {p} \ |) \ quad ({\ text {as}} \ mathbf {x} \ to \ mathbf {پ} )،}

که در آن O (‖ X - ص ‖) است مقدار که به صفر بسیار سریع تر از فاصله بین X و P را به عنوان X نزدیک ص . این تقریب ویژه در تقریب عملکرد مقیاس یک متغیر واحد توسط چند جملهای تیلور درجه یک آن است ، یعنی

{\ displaystyle f (x) -f (p) = f '(p) (xp) + o (xp) \ quad ({\ متن {به عنوان}} x \ تا p)}.

به این معنا ، Jacobian ممکن است به عنوان نوعی " مشتق مرتبه اول " یک عملکرد بردار ارزشمند از چندین متغیر در نظر گرفته شود. به طور خاص ، این بدان معنی است که ممکن است شیب یک مقیاس متغیر ارزش چندین متغیر نیز به عنوان "مشتق مرتبه اول" آن در نظر گرفته شود.

توابع متمایز قابل تنظیم f  : ℝ n → ℝ m و g  : ℝ m → ℝ k قانون زنجیره را برآورده می کند ، یعنی\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g} \ circ \ mathbf {f}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g}} (\ mathbf {f}) (\ mathbf {x})) \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {x})}برای x در ℝ n .

Jacobian از شیب یک تابع Scalar از چندین متغیر نام ویژه ای دارد: ماتریس Hessian که به یک معنا " مشتق دوم " از عملکرد مورد نظر است.

تعیین کننده ژاکوبیان [ ویرایش ]

نقشه غیرخطی\ displaystyle f \ colone \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}یک مربع کوچک (سمت چپ ، به رنگ قرمز) را به یک موازی نمودار تحریف شده (راست ، به رنگ قرمز) می فرستد. ژاکوبین در یک نقطه بهترین تقریب خطی از موازی پارگی تحریف شده در نزدیکی آن نقطه (درست ، به رنگ سفید شفاف) را می دهد و تعیین کننده ژاکوبیان نسبت مساحت موازی تقریبی را با مربع اصلی نشان می دهد.

اگر m = n باشد ، f f تابعی از ℝ n به خود و ماتریس Jacobian یک ماتریس مربع است . سپس می توانیم تعیین کننده آن را شکل دهیم ، معروف به تعیین کننده ژاکوبین . تعیین کننده ژاکوبین گاه به سادگی با عنوان "ژاکوبین" شناخته می شود.

تعیین کننده Jacobian در یک نقطه معین ، اطلاعات مهمی در مورد رفتار F در نزدیکی آن نقطه می دهد. به عنوان مثال، تابع مشتقپذیر به طور مداوم F است وارون نزدیک به یک نقطه P ∈ ℝ N اگر دترمینان jacobian در P غیر صفر است. این قضیه عملکرد معکوس است . علاوه بر این، اگر دترمینان jacobian در P است مثبت ، پس از آن F حفاظت گرایش نزدیک P . اگر منفی باشد ، f جهت گیری را معکوس می کند. ارزش مطلقاز تعیین jacobian در P به ما می دهد عاملی که توسط آن تابع f را گسترش می یابد و یا کاهش حجم نزدیک P . به همین دلیل است که در قانون جایگزینی عمومی رخ می دهد .

تعیین کننده Jacobian هنگام ایجاد تغییر متغیرها هنگام ارزیابی یک انتگرال چندگانه یک تابع در منطقه در دامنه خود ، استفاده می شود. برای جابجایی در تغییر مختصات ، میزان تعیین کننده ژاکوبیان به عنوان یک عامل ضرب در انتگرال مطرح می شود. دلیل این است که نفر بعدی DV عنصر در یک کلی است متوازی السطوح در سیستم جدید هماهنگ، و N حجم یک متوازی تعیین بردار لبه آن است.

Jacobian همچنین می تواند برای حل سیستمهای معادلات دیفرانسیل در یک نقطه تعادل یا راه حلهای تقریبی در نزدیکی یک نقطه تعادل استفاده شود. کاربردهای آن شامل تعیین ثبات تعادل عاری از بیماری در مدل سازی بیماری است. [5]

معکوس [ ویرایش ]

با توجه به قضیه عملکرد معکوس ، ماتریس معکوس ماتریس Jacobian از یک تابع معکوس ، ماتریس Jacobian از عملکرد معکوس است. یعنی اگر Jacobian از تابع f  : ℝ n → ℝ n در نقطه p در ℝ n پیوسته و nonsingular باشد ، f در صورت محدود بودن در برخی از محله های p و

\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} ^ {- 1}} \ circ \ mathbf {f} = {\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}} ^ {- 1.

برعکس ، اگر تعیین کننده Jacobian در یک نقطه صفر نباشد ، عملکرد در این نقطه در نزدیکی این نقطه غیرقابل برگشت است ، یعنی محله ای از این نقطه وجود دارد که در آن عملکرد غیرقابل برگشت است.

حدس (تأیید نشده) ژاکوبیان در مورد یک عملکرد چند جمله ای مربوط به عدم برگشت پذیری جهانی است ، این تابعی است که توسط n چندجمله ای در متغیرهای n تعریف شده است. ادعا می کند ، اگر تعیین کننده Jacobian یک ثابت غیر صفر (یا معادل آن باشد که هیچ صفر پیچیده ای ندارد) ، آنگاه عملکرد غیرقابل برگشت است و وارونگی آن یک تابع چند جمله ای است.

نکات بحرانی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نکته انتقادی

اگر f  : ℝ n ℝ m یک تابع متمایز باشد ، یک نقطه بحرانی از f نقطه ای است که رتبه ماتریس Jacobian حداکثر نباشد. این بدان معنی است که رتبه در نقطه بحرانی پایین تر از رتبه در بعضی از نقاط همسایه است. به عبارت دیگر ، اجازه دهید k حداکثر بعد توپهای باز موجود در تصویر f باشد . پس از آن به یک نقطه بحرانی است اگر تمام افراد زیر سن قانونی از رتبه K از F صفر هستند.

در موردی که m = n = k ، اگر تعیین کننده Jacobian صفر باشد ، نکته ای مهم است.