اپراتور محدود

در تجزیه و تحلیل عملکرد ، یک عملگر خطی کراندار است تبدیل خطی L بین فضاهای برداری عادی هنجار X و Y که نسبت هنجار( L ( V که از پنجم است محدود بالا توسط همان تعداد، بیش از همه غیر صفر بردار V در X . به عبارت دیگر ، برخی وجود دارد $\ displaystyle M \ geq 0$ به طوری که برای همه v در X

$\ | Lv \ | _Y \ le M \ | v \ | _X. \، \،$

کوچکترین چنین M را هنجار عملگر می نامند $\ displaystyle \ | L \ | _ {\ mathrm {op}}$ از L .

یک عملگر خطی محدود عموماً یک تابع محدود نیست ، زیرا به طور کلی می توان دنباله ای پیدا کرد $v_ {k}$ در X به این ترتیب $\ displaystyle \ | Lv_ {k} \ | _ {Y} \ rightarrow \ infty$ . در عوض ، تمام آنچه برای محدود کردن اپراتور لازم است این است

$\ displaystyle {\ frac {\ | Lv \ | _ {Y}} {\ | v \ | _ {X}}} \ leq M <\ infty$

برای همه v ≠ 0. بنابراین ، اپراتور L تنها می تواند یک عملکرد محدود باشد اگر L ( v ) = 0 را برای همه v برآورده کند ، همانطور که با در نظر گرفتن اینکه برای یک اپراتور خطی قابل درک است آسان است. $\ displaystyle L (av) = aL (v)$ برای همه مقیاس ها a . در عوض ، یک عملگر خطی محدود یک عملکرد محلی است .

یک عملگر خطی بین فضاهای نرمال محدود است اگر و فقط در صورت مداوم بودن ، و با خطی بودن ، اگر و فقط اگر در صفر مداوم باشد.

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

هر عملگر خطی بین دو فضای هنجار محدود بعدی محدود است ، و چنین اپراتور ممکن است به عنوان ضرب توسط برخی ماتریس ثابت مشاهده شود .
در فضای دنباله c 00 در نهایت توالی صفر از اعداد واقعی ، که با هنجار 1 پیمانه در نظر گرفته می شود ، عملگر خطی به اعداد واقعی که مبلغ یک دنباله را برمی گرداند محدود شده است ، با هنجار عملگر 1. اگر همان فضای در نظر گرفته شود با ℓ ∞ هنجار، اپراتور همان است محدود نیست.
بسیاری از تبدیل های داخلی یک اپراتور خطی محدود هستند. به عنوان مثال ، اگر

$K: [a، b] \ بار [c، d] \ to \ mathbb R} \،$

یک تابع مداوم است ، سپس اپراتور $L ، \ ،$ تعریف شده در فضا ، $تاکسی] \،$ توابع پیوسته روشن است $[a، b] \،$ وقف هنجار یکنواخت و مقادیر موجود در فضا $C [c ، d] ، \ ،$ با ، $L \ ،$ داده شده توسط فرمول

$(Lf) (y) = \ int_ {a} ^ {b} \! K (x، y) f (x) \، dx، \،$

محدود است این عملگر در واقع فشرده است . اپراتورهای جمع و جور یک کلاس مهم از اپراتورهای محدود را تشکیل می دهند.

عملگر لاپلاس

$\ Delta: H ^ 2 ({\ mathbb R} ^ n) \ to L ^ 2 ({\ mathbb R} ^ n) \،$

( دامنه آن یک فضای Sobolev است و مقادیر آن را در فضایی از توابع با مربع یکپارچه می کند ) محدود است.

اپراتور تغییر در لیتر 2 فضای از همه توالی ( X 0 ، X 1 ، X 2 ...) از اعداد حقیقی با $x_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots <\ infty، \،$

$L (x_0 ، x_1 ، x_2 ، \ نقطه) = (0 ، x_0 ، x_1 ، x_2 ، \ نقطه) \ ،$

محدود است هنجار عملگر آن به راحتی 1 مشاهده می شود.

معادل محدودیت و استمرار [ ویرایش ]

همانطور که در مقدمه گفته شد ، یک عملگر خطی L بین فضاهای هنجار X و Y محدود است اگر و تنها اگر یک عملگر خطی مداوم باشد . اثبات به شرح زیر است.

فرض کنید L محدود باشد. سپس ، برای همه بردارهای v و h در X با h nonzero داریم

$\ displaystyle \ | L (v + h) -L (v) \ | = \ | L (ساعت) \ | \ leq M \ | h \ |. \،$

اجازه دادن ، $\ mathit {ساعت \ ،$ به صفر بروید نشان می دهد که L در v ادامه دارد . علاوه بر این ، از آنجا که M ثابت به v بستگی ندارد ، این نشان می دهد که در حقیقت L به طور یکنواخت مداوم و حتی Lipschitz مداوم است .

در مقابل ، از تداوم در بردار صفر پیروی می کند که وجود دارد $\ delta> 0$ به طوری که $\ | L (ساعت) \ | = \ | L (ساعت) - L (0) \ | \ le 1$ برای همه بردارها h در X با $\ | ساعت \ | \ le \ دلتا$ . بنابراین ، برای همه غیر صفر است $v$ در X ، یکی دارد

$\ | Lv \ | = \ سمت چپ \ Vert {\ | v \ | \ over \ delta} L \ left (\ delta {v \ over \ | v \ |} \ Right) \ Right \ Vert = {\ | v \ | \ over \ delta} \ left \ Vert L \ left (\ delta {v \ over \ | v \ |} \ Right) \ Right \ Vert \ le {\ | v \ | \ over \ delta \ cdot 1 = {1 \ over \ delta} \ | v \ |.$

این ثابت می کند که L محدود است.

خطی و محدودیت [ ویرایش ]

هر عملگر خطی بین فضاهای استاندارد محدود نمی شود. بگذارید X فضای همه چند جملهای مثلثاتی باشد که در [theπ ، π] ، با هنجار تعریف شده باشد

$\ | P \ | = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \! | P (x) | \، dx.$

اپراتور L : X → X را که با گرفتن مشتق عمل می کند ، تعریف کنید ، بنابراین یک چند جمله ای P را به مشتق P m خود ترسیم می کنید. سپس ، برای

$v = e ^ {در x}$

با n = 1 ، 2 ، .... ، داریم $\ | v \ | = 2 \ پی ،$ در حالی که $\ | L (v) \ | = 2 \ pi n \ to \ infty$ به عنوان n → ∞ ، بنابراین این اپراتور محدود نیست.

معلوم است که این یک نمونه مفرد نیست بلکه بخشی از یک قاعده کلی است. هر عملگر خطی تعریف شده بر روی یک فضای هنجاری محدود بعدی محدود است. با این وجود ، با توجه به هرگونه فضای هنجار X و Y با X نامتناهی و Y فضای کافی برای صفر نیست ، می توان یک عملگر خطی پیدا کرد که از X تا Y ادامه نداشته باشد.

اینکه چنین عملیاتی اساسی به عنوان مشتق (و دیگران) محدود نیست ، مطالعه را دشوارتر می کند. اما اگر یک دامنه و دامنه اپراتور مشتق با دقت تعریف شود ، ممکن است شخصی نشان داده شود که یک اپراتور بسته است . اپراتورهای بسته عمومی تر از اپراتورهای محدود هستند اما هنوز هم از بسیاری جهات "خوب رفتار می کنند".

خصوصیات بیشتر [ ویرایش ]

شرط محدود شدن L ، یعنی وجود مقداری M به گونه ای که برای همه v

$\ | Lv \ | \ le M \ | v \ | ، \ ،$

دقیقاً شرط L است که Lipschitz به صورت مداوم در 0 (و از این رو در همه جا ، زیرا L خطی است).

یک روش معمول برای تعریف یک عملگر خطی محدود بین دو فضای باناخ داده شده به شرح زیر است. ابتدا یک عملگر خطی را روی یک زیر مجموعه متراکم از دامنه خود تعریف کنید ، به طوری که از نظر محلی محدود باشد. سپس ، اپراتور را به طور مداوم به یک عملگر خطی پیوسته در کل دامنه گسترش دهید .

ویژگی های فضای اپراتورهای خطی محدود [ ویرایش ]

فضای کلیه اپراتورهای خطی محدود از U تا V توسط (B ( U ، V مشخص شده و یک فضای بردار نرمال است.
اگر V باناخ باشد ،( B ( U ، V نیز وجود دارد ،
از این نتیجه می رود که فضاهای دوتایی باناخهستند.
برای هر A در( B ( U ، V ، هسته A یک فضای فرعی خطی U است .
اگر باناخB ( U ، V ) Banach باشد و U غیر مقدم است ، V باناخ است.

فضاهای بردار توپولوژیکی [ ویرایش ]

شرط محدودیت عملگرهای خطی در فضاهای نرمال قابل بازیابی است. یک عملگر محدود است اگر هر مجموعه محدود را به یک مجموعه محدود منتقل کند ، و در اینجا منظور از شرایط کلی بیشتر محدودیت برای مجموعه ها در یک فضای بردار توپولوژیکی است : یک مجموعه محدود است اگر و فقط اگر توسط هر محله 0 جذب شود. توجه داشته باشید که دو مفهوم محدودیت برای فضاهای محدب محلی منطبق است .

این فرمول به فرد اجازه می دهد تا بین اپراتورهای محدود بین فضاهای بردار توپولوژیکی به عنوان یک اپراتور که مجموعه های محدود به مجموعه های محدود را تعیین می کند ، عملگرهای محدود را مشخص کند. در این زمینه ، هنوز هم صحیح است که هر نقشه پیوسته محدود است ، اما مکالمه شکست می خورد. یک عملگر محدود نباید مداوم باشد. واضح است ، این همچنین بدان معنی است که مرزبندی دیگر معادل استمرار لیپشیتز در این زمینه نیست.

مکالمه هنگامی که دامنه قابل شبه است ، موردی وجود دارد که شامل فضاهای Fréchet است . برای فضاهای LF ، یک مکالمه ضعیف تر وجود دارد. هر نقشه خطی محدود از یک فضای LF پیوسته است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_operator

+ نوشته شده در سه شنبه هفدهم تیر ۱۳۹۹ ساعت 0:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی