​

عملگر های موجود در فضاهای هیلبرت [ ویرایش ]

عملگر های کراندار [ ویرایش ]

مستمر عملگر های خطی : H 1 → H 2 از فضای هیلبرت H 1 به دوم هیلبرت فضای H 2 هستند کراندار به این معنا که آنها بر روی نقشه مجموعه کراندار به مجموعه کراندار. برعکس ، اگر عملگر کراندار باشد ، آنگاه پیوسته است. فضای چنین عملگر های خطی کراندار دارای یک هنجار است ، هنجار عملگر که توسط آن داده شده است

{\ displaystyle \ lVert A \ rVert = \ sup \ left \ {\، \ lVert Ax \ rVert: \ lVert x \ rVert \ leq 1 \، \ Right \} \ ،.}

جمع و کامپوزیت دو عملگر خطی مرز مجدداً کراندار و خطی است. برای Y در H 2 ، نقشه می فرستد که X ∈ H 1 به 〈 تبر ، Y 〉 خطی و پیوسته، و با توجه به است نمایندگی ریز به قضیه بنابراین می تواند در قالب نشان داده می شود

\ displaystyle \ left \ langle x، A ^ {*} y \ Right \ rangle = \ langle Ax، y \ rangle

برای برخی از بردار A * y در H 1 . این تعریف دیگر کراندار عملگر خطی *: H 2 → H 1 ، از الحاقی از . می توان دریافت که A ** = A .

مجموعه B ( H ) از تمام عملگر های خطی کراندار در H (عملگرهای H → H ) ، همراه با عملیات اضافه و ترکیب ، هنجار و عملیات پیوستگی ، یک C * -algebra است که نوعی از جبر عملگر است. .

عنصر A از B ( H ) در صورت A * = A "خودساختگی" یا "هرمیتی" نامیده می شود . اگر هرمیتی و 〈 تبر ، X 〉 ≥ 0 برای هر X ، پس از آن است به نام 'ناiفی، نوشته شده ≥ 0 ؛ اگر برابری فقط وقتی x = 0 باشد ، A را "مثبت" می نامیم. مجموعه ای از عملگر های خود الحاقی اذعان ترتیب جزئی ، که در آن ≥ B اگر

- B ≥ 0. اگرفرم B * B را برای مقداری B دارد ، سپس A غیر iفی است. اگر B قابل برگشت نباشد ، A مثبت است. یک مکالمه نیز به این معنی صادق است که برای یک عملگر غیر iفی A ، یک ریشه مربع غیر iفی B منحصر به فرد وجود دارد به گونه ای که

\ displaystyle A = B ^ {2} = B ^ {*} B \ ،.

به تعبیری که توسط قضیه طیفی دقیقاً مشخص شده باشد ، می توان از طرف عملگر های خودمحور به عنوان عملگر هایی که "حقیقی" هستند فکر کرد. یک عنصر از B ( H ) نامیده می شود طبیعی اگر * = AA * . عملگر های عادی به جمع عملگر های خودمختار و تعداد تخیلی چندگانه از یک عملگر خودمختار تجزیه می شوند

\ displaystyle A = {\ frac {A + A ^ {*}} {2}} + i {\ frac {AA ^ {*}} {2i}}}

که با یکدیگر جابجا می کنند. عملگر های عادی همچنین می توانند به راحتی از نظر قسمت حقیقی و خیالی آنها فکر کنند.

یک عنصر U از B ( H ) نامیده می شود واحد اگر U معکوس پذیر باشد و معکوس آن است با U * . این نیز می تواند توسط نیاز است که بیان می شود U بر روی و 〈 UX ، UY 〉 = 〈 X ، Y 〉 برای همه X ، Y ∈ H . عملگر های واحد یک شکل گروه تحت ترکیب است که، گروه همسان از H .

یک عنصر از B ( H ) است فشرده اگر مجموعه کراندار به ارسال می کند نسبتا فشرده مجموعه ها. بدین ترتیب در یک عملگر کراندار T فشرده است اگر، برای هر دنباله کراندار { X K } ، دنباله { تگزاس K } دارای یک دنباله همگرا شود. بسیاری از عملگر های انتگرال فشرده هستند و در واقع کلاس خاصی از عملگر ها را شناخته می شوند که تحت عنوان عملگر های هیلبرت-اشمیت شناخته می شوند که در مطالعه معادلات انتگرال از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. . عملگر های فردولمبا یک هویت چندگانه از یک عملگر فشرده متفاوت است ، و به طور معادل به عنوان عملگر هایی با هسته و ابعاد کراندار متناهی مشخص می شوند . شاخص عملگر فردولم T تعریف شده است

{\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim \ ker T- \ dim \ operatorname {coker} T \ ،.

شاخص بطور پیوسته متغیر است و نقش مهمی در هندسه دیفرانسیل از طریق قضیه شاخص Atiyah-Singer ایفا می کند .

عملگر های بدون مرز [ ویرایش ]

عملگر های بدون مرز نیز در فضاهای هیلبرت قابل ردیابی هستند و کاربردهای مهمی در مکانیک کوانتومی دارند . [52] یک عملگر T بدون کرانداریت در فضای هیلبرت H به عنوان یک عملگر خطی تعریف شده است که دامنه (D ( T یک فضای فرعی خطی از H است . غالباً دامنه( D ( T یک فضای فرعی متراکم از H است که در این حالت T به عنوان یک عملگر متراکم تعریف شده شناخته می شود .

تسلیم یک عملگر بدون مرز متراکم تعریف شده در واقع به همان روشی است که برای عملگر های کراندار تعریف شده است. عملگر های بی حد و مرز خودمختار ، نقش نظارتی را در فرمول ریاضی مکانیک کوانتومی ایفا می کنند . نمونه هایی از عملگر های غیرمجاز خود مستقر در فضای هیلبرت L 2 ( ℝ ) عبارتند از: [53]

  • پسوند مناسب عملگر دیفرانسیل

    \ displaystyle (Af) (x) = - i {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f (x) \،

    جایی که من واحد تخیلی و f است یک عملکرد متمایز از پشتیبانی فشرده است.
  • عملگر ضرب x :

    {\ displaystyle (Bf) (x) = xf (x) \،.}

اینها به ترتیب با ناظرهای مربوط به حرکت و موقعیت مطابقت دارند. توجه داشته باشید که هیچ A و B در تمام H تعریف نشده است ، زیرا در مورد A نیازی به مشتق وجود ندارد ، و در مورد B عملکرد ضرب نیازی به مربع ندارد. در هر دو مورد، مجموعه ای از استدلال ممکن فرم زیرفضاهای متراکم از( L 2 ( ℝ .

سازه ها [ ویرایش ]

مجموع مستقیم [ ویرایش ]

فضاهای هیلبرت دو H 1 و H 2 را می توان به یکی دیگر از فضای هیلبرت، به نام ترکیب (متعامد) مجموع مستقیم ، [54] و نشان داده می شود

\ displaystyle H_ {1} \ oplus H_ {2} \ ، ،

متشکل از مجموعه جفت سفارشات ( x 1 ، x 2 ) که در آن x i ∈ H i ، i = 1 ، 2 و ضرب داخلی تعریف شده توسط

\ displaystyle {\ bigl \ langle (x_ {1}، x_ {2})، (y_ {1}، y_ {2}) {\ bigr \ rangle _ {H_ {1} \ oplus H_ {2} } = \ چپ \ langle x_ {1} ، y_ {1} \ Right \ rangle _ {H_ {1}} + \ left \ langle x_ {2}، y_ 2} \ Right \ rangle _ {H_ {2} } \ ،.}

به طور کلی ، اگر H i یک خانواده از فضاهای هیلبرت است که توسط i ∈ I فهرست بندی می شود ، پس از آن جمع مستقیم از H i ، مشخص می شود با.

\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} H_ {i}

متشکل از مجموعه خانواده های ایندکس شده است

\ displaystyle x = (x_ {i} \ in H_ {i} | i \ in I) \ in \ prod _ {i \ in I} H_ {i}

در ضرب دکارتی از H i به طوری که

\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ | x_ {i} \ | ^ {2} <\ infty \ ،.}

ضرب داخلی توسط تعریف شده است

\ displaystyle \ langle x، y \ rangle = \ sum _ {i \ in I left \ left \ langle x_ {i}، y_ {i} \ Right \ rangle _ {H_ {i}، \ ،.}

هر یک از H i به عنوان یک فضا بسته در مجموع مستقیم از همه از گنجانده H i . علاوه بر این ، H i به صورت دو ضلعی متعامد. در مقابل، اگر یک سیستم از زیرفضاهای بسته، وجود دارد V i، i∈ i، در یک فضای هیلبرت H ، که دو به دو متعامد و که اتحادیه متراکم است در H ، و سپس H canonically به مجموع مستقیم از ریخت است V من . در این حالت ، H به عنوان مستقیم داخلی V i نامیده می شود. مبلغ مستقیم (داخلی یا خارجی) نیز با یک خانواده از بینی متعامد مجهز E iبر روی iهفتم جمع وند مستقیم H من . این پیش بینی ها عملگر های کراندار و خودمحور ، خودمختار هستند که شرایط ارتودنسی را برآورده می کنند

{\ displaystyle E_ {i} E_ {j} = 0 ، \ quad i \ neq j \،.}

قضیه طیفی برای فشرده عملگر های خود الحاقی در فضای هیلبرت H کشورهایی که H تقسیم به مبلغ مستقیم متعامد از فضای ویژه از یک عملگر ، و همچنین به تجزیه صریح و روشن از عملگر به عنوان مجموع بینی بر روی فضای ویژه. جمع مستقیم فضاهای هیلبرت همچنین در مکانیک کوانتومی به عنوان فضای Fock یک سیستم که دارای تعداد متغیر ذرات است ، ظاهر می شود ، جایی که هر فضای هیلبرت به صورت مستقیم با یک درجه آزادی اضافی برای سیستم مکانیکی کوانتومی مطابقت دارد. در تئوری نمایندگی ، قضیه پیتر ویل تضمین می کند که هرگونه نمایندگی واحد است یک گروه فشرده در یک فضای هیلبرت به عنوان مجموع مستقیم بازنمایی های کراندار بعدی - تقسیم می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

​