[ ویرایش ]

مقاله اصلی: همگرایی ضعیف (فضای هیلبرت)

در فضای هیلبرت H ، یک دنباله { x n } همگرا ضعیفی به بردار x ∈ H است که {\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }برای هر v ∈ H .

برای مثال، هر دنباله متعامد { f n } در نتیجه نابرابری بسل ، ضعیف به 0 همگرا می شود . هر دنباله ضعیف همگرا { x n } با اصل کرانه یکنواخت محدود می شود .

برعکس، هر دنباله محدود در فضای هیلبرت دنباله‌های فرعی همگرا ضعیفی را می‌پذیرد ( قضیه آلاوغلو ). [ 78 ] این حقیقیت ممکن است برای اثبات نتایج کمینه‌سازی برای تابع‌های محدب پیوسته ، به همان شیوه‌ای که قضیه بولتزانوو-وایشتراس برای توابع پیوسته در Rd استفاده می‌شود ، استفاده شود . در میان چندین گونه، یک عبارت ساده به شرح زیر است: [ 79 ]

اگر f : H → R یک تابع پیوسته محدب است به طوری که f ( x ) زمانی که ‖ x ‖ به ∞ میل می کند به +∞ میل می کند ، آنگاه f در نقطه ای x 0 ∈ H حداقل را می پذیرد .

این حقیقیت (و تعمیم‌های مختلف آن) برای روش‌های مستقیم در محاسبه تغییرات اساسی است . نتایج به حداقل رساندن برای توابع محدب نیز نتیجه مستقیم این حقیقیت کمی انتزاعی تر است که زیر مجموعه های محدب محدود بسته در فضای هیلبرت H به طور ضعیف فشرده هستند ، زیرا H بازتابی است. وجود دنباله‌های همگرا ضعیف یک مورد خاص از قضیه ابرلین-شمولین است .

خواص فضایی باناخ

[ ویرایش ]

هر ویژگی کلی فضاهای باناخ همچنان برای فضاهای هیلبرت باقی می ماند. قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که تبدیل خطی پیوسته از یک فضای باناخ به فضای دیگر یک نگاشت باز است به این معنی که مجموعه‌های باز را به مجموعه‌های باز ارسال می‌کند. نتیجه این قضیه معکوس محدود است که تابع خطی پیوسته و دوسویه از یک فضای باناخ به فضای دیگر یک هم شکلی است (یعنی یک نقشه خطی پیوسته که عکس آن نیز پیوسته است). اثبات این قضیه در مورد فضاهای هیلبرت بسیار ساده تر از فضاهای عمومی باناخ است. [ 80 ] قضیه نگاشت باز معادل قضیه گراف بسته است , که ادعا می کند یک تابع خطی از یک فضای باناخ به فضای دیگر پیوسته است اگر و فقط اگر نمودار آن مجموعه بسته باشد . [ 81 ] در مورد فضاهای هیلبرت، این در مطالعه عملگرهای نامحدود اساسی است (به عملگر بسته مراجعه کنید ).

قضیه (هندسی) هان-باناخ بیان می کند که یک مجموعه محدب بسته را می توان از هر نقطه خارج از آن با استفاده از ابر صفحه فضای هیلبرت جدا کرد. این نتیجه فوری بهترین ویژگی تقریب است : اگر y عنصر مجموعه محدب بسته F نزدیک به x باشد ، آنگاه ابر صفحه جداکننده صفحه ای عمود بر قطعه xy است که از نقطه میانی آن می گذرد. [ 82 ]

عملگرها در فضاهای هیلبرت

[ ویرایش ]

عملگرهای محدود

[ ویرایش ]

عملگرهای خطی پیوسته A : H 1 → H 2 از فضای هیلبرت H 1 به فضای هیلبرت دوم H 2 به این معنا محدود می شوند که مجموعه های محدود را به مجموعه های محدود ترسیم می کنند. [ 83 ] برعکس، اگر یک عملگر محدود باشد، آنگاه پیوسته است. فضای چنین عملگرهای خطی محدود دارای یک هنجار است ، هنجار عملگر ارائه شده توسط""=شام.{\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}

مجموع و مرکب دو عملگر خطی محدود دوباره محدود و خطی است. برای y در H 2 ، نقشه ای که x ∈ H 1 را به 〈 Ax می فرستد ، y 〉 خطی و پیوسته است و بنابر این با توجه به قضیه نمایندگی ریس می توان به شکل نمایش داد.{\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Axe,y\rangle }برای برخی از بردار A * y در H 1 . این عملگر خطی محدود دیگری A * را تعریف می کند : H 2 → H 1 ، الحاق A. مضاف ** = را برآورده می کند . هنگامی که قضیه نمایش ریز برای شناسایی هر فضای هیلبرت با فضای دوگانه پیوسته آن استفاده می شود، می توان نشان داد که الحاق A با جابجایی t A یکسان است : H 2 * → H 1 * از A که طبق تعریف می فرستد ψ∈ا∗{\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}به عملکر∗.{\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}

مجموعه B( H ) تمام عملگرهای خطی محدود شده روی H (به معنی عملگرهای H → H ) به همراه عملیات جمع و ترکیب، هنجار و عملیات الحاقی، یک جبر C* است که نوعی جبر عملگر است. .

عنصر A از B( H ) در صورتی که A * = A باشد، «خود الحاقی» یا «هرمیتین» نامیده می شود . اگر A هرمیتین باشد و 〈 Ax ، x 〉 ≥ 0 برای هر x ، آنگاه A "غیر منفی" نامیده می شود که A ≥ 0 نوشته می شود . اگر برابری فقط زمانی برقرار باشد که x = 0 باشد ، آنگاه A "مثبت" نامیده می شود. مجموعه عملگرهای خود الحاق یک نظم جزئی را می پذیرد که در آن A ≥ B اگر A - B ≥ 0 باشد . اگر A برای مقداری B شکل B * B داشته باشد ، A غیر منفی است. اگر B معکوس باشد، A مثبت است. یک معکوس نیز صادق است به این معنا که برای یک عملگر غیر منفی A ، یک جذر غیر منفی منحصر به فرد B وجود دارد به طوری که=ب2=ب∗ب.{\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}

به تعبیری که با قضیه طیفی دقیق شده است ، عملگرهای خود الحاقی را می‌توان به‌عنوان عملگرهایی «حقیقی» در نظر گرفت. اگر A * A = AA * عنصر A از B( H ) نرمال نامیده می شود . عملگرهای عادی به مجموع یک عملگر خود الحاقی و مضرب فرضی یک عملگر خود الحاقی تجزیه می شوند{\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {AA^{*}}{2i}}}که با هم رفت و آمد دارند عملگرهای معمولی را نیز می‌توان بر حسب بخش‌های حقیقی و خیالی آنها در نظر گرفت.

عنصر U از B( H ) واحد نامیده می شود اگر U معکوس باشد و معکوس آن با U * داده شود . این را همچنین می‌توان با الزام U روی و 〈 Ux ، Uy 〉 = 〈 x ، y 〉 برای همه x ، y ∈ H بیان کرد . عملگرهای واحد گروهی را تحت ترکیب تشکیل می دهند که گروه ایزومتریک H است .

یک عنصر B( H ) اگر مجموعه‌های محدود را به مجموعه‌های نسبتا فشرده بفرستد فشرده است . به طور معادل، اگر برای هر دنباله محدود { x k } ، دنباله { Tx k } دارای یک زیر دنباله همگرا باشد ، یک عملگر محدود T فشرده است. بسیاری از عملگرهای انتگرال فشرده هستند و در واقع کلاس خاصی از عملگرها را به نام عملگرهای هیلبرت-اشمیت تعریف می کنند که به ویژه در مطالعه معادلات انتگرال اهمیت دارند . عملگرهای فردهولمز با یک عملگر فشرده با یک مضرب اتحاد متفاوت هستند و به طور معادل به عنوان عملگرهایی با هسته و کرنل ابعاد محدود مشخص می شوند . شاخص یک عملگر فردهولم با تعریف می شو.{\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}

این شاخص ثابت هموتوپی است و از طریق قضیه شاخص آتیه-سینگر نقش عمیقی در هندسه دیفرانسیل ایفا می کند .

عملگرهای نامحدود

[ ویرایش ]

عملگرهای نامحدود نیز در فضاهای هیلبرت قابل حمل هستند و کاربردهای مهمی در مکانیک کوانتومی دارند . [ 84 ] یک عملگر نامحدود T در فضای هیلبرت H به عنوان یک عملگر خطی تعریف می شود که دامنه D ( T ) زیرفضای خطی H است . اغلب دامنه D ( T ) یک زیرفضای متراکم از H است که در این حالت T به عنوان یک عملگر متراکم تعریف شده شناخته می شود .

الحاق یک عملگر نامحدود با تعریف متراکم اساساً به همان روشی که برای عملگرهای محدود تعریف می شود. عملگرهای نامحدود خود الحاقی نقش قابل مشاهده‌ها را در فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتومی بازی می‌کنند. نمونه هایی از عملگرهای نامحدود خود الحاقی در فضای هیلبرت L 2 ( R ) عبارتند از: [ 85 ]

  • توسعه مناسب عملگر دیفرانسیل،{\displaystyle (Af)(x)=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\,,}که در آن i واحد خیالی و f یک تابع قابل تمایز از پشتیبانی فشرده است.
  • عملگر ضرب در {\displaystyle (Bf)(x)=xf(x)\,.}

اینها به ترتیب با تکانه و موقعیت قابل مشاهده مطابقت دارند. نه A و نه B روی تمام H تعریف نمی شوند ، زیرا در مورد A مشتق نیازی نیست و در مورد B تابع حاصلضرب لازم نیست مربع انتگرال پذیر باشد. در هر دو مورد، مجموعه متغیر‌های ممکن، زیرفضاهای متراکم L 2 ( R ) را تشکیل می‌دهند .

ساخت و سازها

[ ویرایش ]

مبالغ مستقیم

[ ویرایش ]

دو فضای هیلبرت H 1 و H 2 را می توان در فضای هیلبرت دیگری که مجموع مستقیم (متعامد) نامیده می شود ، [ 86 ] ترکیب کرد و نشان داد .2،{\displaystyle H_{1}\plus H_{2}\,,}

متشکل از مجموعه ای از تمام جفت های مرتب شده ( x 1 , x 2 ) که در آن x i ∈ H i , i = 1, 2 و حاصلضرب داخلی تعریف شده توسط{\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2} }=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}

به طور کلی، اگر H i یک خانواده از فضاهای هیلبرت باشد که با i ∈ I نمایه شده است ، مجموع مستقیم H i نشان داده می شود.{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}شامل مجموعه ای از تمام خانواده های نمایه شده است{\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}در حاصل ضرب دکارتی H i به گونه ای که.{\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}

ضرب درونی با تعریف می شود{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}

هر یک از H i به عنوان یک زیرفضای بسته در مجموع مستقیم همه H i گنجانده شده است . علاوه بر این، H i به صورت جفتی متعامد هستند. برعکس، اگر سیستمی از زیرفضاهای بسته، V i ، i ∈ I ، در فضای هیلبرت H وجود داشته باشد که متعامد جفتی باشند و اتحاد آنها در H متراکم باشد ، آنگاه H از نظر متعارف به مجموع مستقیم V i هم شکل است . در این مورد، H مجموع مستقیم داخلی V i نامیده می شود . یک مجموع مستقیم (داخلی یا خارجی) نیز مجهز به خانواده ای از برآمدگی های متعامد E i بر روی i مین جمع مستقیم H i است . این پیش بینی ها عملگرهای محدود، خود الحاقی و بدون توان هستند که شرط متعامد بودن را برآورده می کنند..{\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}

قضیه طیفی برای عملگرهای فشرده خود الحاقی در فضای هیلبرت H بیان می‌کند که H به مجموع مستقیم متعامد فضاهای ویژه یک عملگر تقسیم می‌شود و همچنین تجزیه صریح عملگر را به عنوان مجموع پیش‌بینی‌ها بر روی فضاهای ویژه می‌دهد. مجموع مستقیم فضاهای هیلبرت همچنین در مکانیک کوانتومی به عنوان فضای فوک یک سیستم حاوی تعداد متغیری از ذرات ظاهر می شود، جایی که هر فضای هیلبرت در مجموع مستقیم با درجه آزادی اضافی برای سیستم مکانیکی کوانتومی مطابقت دارد. در نظریه بازنمایی ، قضیه پیتر-ویل تضمین می‌کند که هر نمایش واحدی از یک گروه فشرده در فضای هیلبرت به عنوان مجموع مستقیم نمایش‌های بعدی محدود تقسیم می‌شود.

ضرب تانسور

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب تانسور فضاهای هیلبرت

اگر x 1 , y 1 ∊ H 1 و x 2 , y 2 ∊ H 2 , آنگاه یک حاصلضرب داخلی بر روی ضرب تانسور (معمولی) به صورت زیر تعریف می شود. در تانسورهای ساده ، اجازه دهید{\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{ 2},y_{2}\rangle \,.}

این فرمول سپس با سکوی خطی به یک ضرب داخلی در H 1 ⊗ H 2 گسترش می یابد . حاصل ضرب تانسور هیلبرتین H 1 و H 2 که گاهی با H 1 نشان داده می شود ⊗^{\displaystyle {\widehat {\otimes }}} H 2 فضای هیلبرت است که با تکمیل H 1 ⊗ H 2 برای متریک مربوط به این ضرب داخلی به دست می آید. [ 87 ]

یک مثال توسط فضای هیلبرت L 2 ([0, 1]) ارائه شده است . حاصل ضرب تانسور هیلبرتین دو نسخه از L 2 ([0, 1]) به صورت ایزومتریک و خطی با فضای L2 ([0, 1] 2 ) از توابع انتگرال پذیر مربع در مربع [0، 1] 2 هم شکل است . این ایزومورفیسم یک تانسور ساده f 1 ⊗ f 2 را به تابع می {\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}در میدان

این مثال به معنای زیر نمونه است. [ 88 ] مربوط به هر ضرب تانسور ساده x 1 ⊗ x 2 عملگر رتبه یک از H است∗
1به H 2 که x * ∈ H داده شده را ترسیم می کند∗
1به عنوان{\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}

این نگاشت تعریف شده بر روی تانسورهای ساده به شناسایی خطی بین H 1 ⊗ H 2 و فضای عملگرهای رتبه محدود از H گسترش می یابد.∗
1به H 2 . این به ایزومتریک خطی حاصلضرب تانسور هیلبرتین H 1 گسترش می یابد ⊗^{\displaystyle {\widehat {\otimes }}} H 2 با فضای هیلبرت

HS ( H∗
1، H2 ) از عملگرهای هیلبرت- اشمیت از H∗
1به H 2 .

پایه های متعامد

[ ویرایش ]

مفهوم پایه متعارف از جبر خطی به فضاهای هیلبرت تعمیم می یابد. [ 89 ] در فضای هیلبرت H ، یک مبنای متعارف یک خانواده { e k } k ∈ B از عناصر H است که شرایط را برآورده می کند:

  1. متعامد بودن : هر دو عنصر مختلف B متعامد هستند: 〈 e k , e j 〉 = 0 برای همه k , j ∈ B با k ≠ j .
  2. عادی سازی : هر عنصر خانواده دارای هنجار 1 است: ‖ e k ‖ = 1 برای همه k ∈ B .
  3. کامل بودن : دهانه خطی خانواده e k , k ∈ B , در H متراکم است .

سیستمی از بردارها که پایه دو شرط اول را برآورده می کند، یک سیستم متعارف یا یک مجموعه متعارف (یا یک دنباله متعامد اگر B قابل شمارش باشد ) نامیده می شود. چنین سیستمی همیشه به صورت خطی مستقل است .

علیرغم نام، اساس متعارف، به طور کلی، مبنایی به معنای جبر خطی ( مبنای هامل ) نیست. به‌طور دقیق‌تر، یک مبنای متعارف یک مبنای همل است اگر و فقط اگر فضای هیلبرت یک فضای برداری با بعد محدود باشد. [ 90 ]

کامل بودن یک سیستم متعارف از بردارهای فضای هیلبرت را می توان به طور معادل به صورت زیر بیان کرد:

برای هر v ∈ H ، اگر 〈 v ، e k 〉 = 0 برای همه k ∈ B ، آنگاه v = 0 .

این مربوط به این حقیقیت است که تنها بردار متعامد به یک زیرفضای خطی متراکم، بردار صفر است، زیرا اگر S یک مجموعه متعامد باشد و v متعامد به S باشد ، پس v متعامد به بسته شدن دهانه خطی S است که کل فضا است

نمونه هایی از پایه های ارتونورمال عبارتند از:

  • مجموعه {(1، 0، 0)، (0، 1، 0)، (0، 0، 1)} یک مبنای متعارف R3 را با ضرب نقطه ای تشکیل می دهد .
  • دنباله {  f n | n ∈ Z } با f n ( x ) = exp ( 2π inx ) یک مبنای متعارف از فضای مختلط L 2 ([0, 1]) را تشکیل می دهد .

در مورد بی‌بعدی، یک مبنای متعارف مبنایی به معنای جبر خطی نخواهد بود . برای تمایز این دو، مبنای دوم را پایه هامل نیز می‌گویند . اینکه گستره بردارهای پایه متراکم است به این معنی است که هر بردار در فضا را می توان به صورت مجموع یک سری نامتناهی نوشت و متعامد بودن بیانگر این است که این تجزیه منحصر به فرد است.

فاصله های ترتیبی

[ ویرایش ]

فضا{\displaystyle \ell _{2}}از دنباله های مربعی اعداد مختلط مجموعه ای از دنباله های بی نهایت است [ 9 ]{\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}از اعداد حقیقی یا مختلط به طوری که.{\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}

این فضا دارای یک مبنای متعارف است: ⋮{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{تراز شده}}}

این فضا تعمیم بینهایت بعدی است{\displaystyle \ell _{2}^{n}}فضای بردارهای محدود بعدی معمولاً اولین مثالی است که برای نشان دادن اینکه در فضاهای بی‌بعدی، مجموعه‌ای که بسته و محدود است، لزوماً (به ترتیب) فشرده نیست (همانطور که در همه فضاهای بعد محدود وجود دارد) استفاده می‌شود. در واقع، مجموعه بردارهای متعامد بالا این را نشان می دهد: این یک دنباله بی نهایت از بردارها در توپ واحد است (یعنی توپی از نقاط با هنجار کمتر یا مساوی یک). این مجموعه به وضوح محدود و بسته است. با این حال، هیچ دنباله ای از این بردارها به چیزی همگرا نمی شود و در نتیجه واحد توپ در{\displaystyle \ell _{2}}فشرده نیست به طور شهودی، این به این دلیل است که "همیشه جهت مختصات دیگری وجود دارد" که عناصر بعدی دنباله می توانند از آن فرار کنند.

می توان فضا را تعمیم داد{\displaystyle \ell _{2}}از بسیاری جهات به عنوان مثال، اگر B هر مجموعه ای باشد، می توان فضای هیلبرت از دنباله ها را با مجموعه شاخص B ، که توسط [ 91 ] تعریف شده است، تشکیل داد.{\displaystyle \ell ^{2}(B)={\biggl \{}x:B\xrightarrow {x} \mathbb {C} \mathrel {\bigg |} \sum _{b\in B}\ چپ |x(b)\right|^{2}<\infty {\biggr \}}\,.}

جمع بر روی B در اینجا با تعریف می شود{\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n} )\راست|^{2}}بر همه زیر مجموعه های محدود B گرفته می شود . بنابراین، برای محدود بودن این مجموع، هر عنصر l 2 ( B ) فقط دارای تعداد زیادی غیر صفر است. این فضا با ضرب درونی به فضای هیلبرت تبدیل می {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}

برای همه x , y ∈ l 2 ( B ) . در اینجا نیز مجموع فقط دارای تعداد زیادی عبارات غیر صفر است و بدون قید و شرط با نابرابری کوشی-شوارتز همگرا است.

مبنای متعارف l 2 ( B ) با مجموعه B نمایه می شود که توسط

{\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{در غیر این صورت.}}\end{موارد}}}

نابرابری بسل و فرمول پارسوال

[ ویرایش ]

فرض کنید f 1 , ..., f n یک سیستم متعارف متناهی در H باشد . برای یک بردار دلخواه x ∈ H ، اجازه دهید.{\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.}

سپس 〈 x ، f k 〉 = 〈 y ، f k 〉 برای هر k = 1، ...، n . نتیجه می شود که x − y به هر f k متعامد است ، از این رو x − y متعامد بر y است . با استفاده از اتحاد فیثاغورثی دو بار، نتیجه می شود{\displaystyle \|x\|^{2}=\|xy\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j= 1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.}

فرض کنید { f i }، i ∈ I ، یک سیستم متعامد دلخواه در H باشد . اعمال نابرابری قبلی به هر زیرمجموعه محدود J از I نابرابری بسل را می دهد: [ 92 ]{\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}(با توجه به تعریف مجموع یک خانواده دلخواه از اعداد حقیقی غیر منفی).

از نظر هندسی، نابرابری بسل بیانگر این است که طرح متعامد x بر روی زیرفضای خطی که توسط f i پوشانده شده است، هنجاری دارد که از x تجاوز نمی کند . در دو بعد، این ادعایی است که طول پایه یک مثلث قائم الزاویه ممکن است از طول هیپوتنوس تجاوز نکند.

نابرابری بسل پله‌ای است برای نتیجه قوی‌تر به نام اتحاد پارسوال ، که وقتی نابرابری بسل در واقع یک برابری است، حاکم است. طبق تعریف، اگر { e k } k ∈ B مبنای متعارف H باشد ، هر عنصر x از H را می توان به صورت نوشتاری{\displaystyle x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.}

حتی اگر B غیرقابل شمارش باشد، نابرابری بسل تضمین می‌کند که عبارت به خوبی تعریف شده است و فقط از تعداد زیادی عبارت غیر صفر تشکیل شده است. این مجموع بسط فوریه x نامیده می شود و ضرایب فردی 〈 x , e k 〉 ضرایب فوریه x هستند . سپس اتحاد پارسوال ادعا می کند که [ 93 ].{\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.}

برعکس، [ 93 ] اگر { e k } یک مجموعه متعامد باشد به طوری که اتحاد پارسوال برای هر x برقرار باشد ، آنگاه { e k } یک مبنای متعارف است.

بعد هیلبرت

[ ویرایش ]

در نتیجه لم زورن ، هر فضای هیلبرت یک مبنای متعارف را می پذیرد. علاوه بر این، هر دو پایه متعارف از یک فضا دارای کاردینالیته یکسانی هستند که بعد هیلبرت فضا نامیده می شود. [ 94 ] برای مثال، از آنجایی که l 2 ( B ) دارای مبنای متعارفی است که با B نمایه شده است ، بعد هیلبرت آن، کاردینالیته B است (که ممکن است یک عدد صحیح محدود، یا یک عدد اصلی قابل شمارش یا غیرقابل شمارش باشد ).

بعد هیلبرت از بعد هامل (بعد معمول یک فضای برداری) بیشتر نیست . دو بعد مساوی هستند اگر و فقط اگر یکی از آنها محدود باشد.

در نتیجه اتحاد پارسوال، [ 95 ] اگر { e k } k ∈ B مبنای متعارف H باشد ، نقشه Φ : H → l 2 ( B ) با Φ( x ) = 〈x, e k 〉 تعریف می شود. k ∈ B ایزومورفیسم ایزومتریک فضاهای هیلبرت است: این یک نگاشت خطی دوطرفه است به طوری که{\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _ {H}}برای همه x , y ∈ H . عدد اصلی B بعد هیلبرت H است . بنابراین هر فضای هیلبرت به صورت ایزومتریک به فضای دنباله ای l 2 ( B ) برای مجموعه ای B است .

فضاهای قابل تفکیک

[ ویرایش ]

طبق تعریف، یک فضای هیلبرت قابل تفکیک است به شرطی که شامل یک زیر مجموعه متراکم قابل شمارش باشد. همراه با لم زورن، این بدان معناست که فضای هیلبرت قابل تفکیک است اگر و تنها در صورتی که یک مبنای متعارف قابل شمارش را بپذیرد . بنابراین، تمام فضاهای هیلبرت قابل تفکیک بی‌بعدی از نظر ایزومتریک نسبت به فضای توالی مربعی هم شکل هستند. .{\displaystyle \ell ^{2}.}

در گذشته، فضاهای هیلبرت اغلب به عنوان بخشی از تعریف، قابل تفکیک بودند. [ 96 ]

در نظریه میدان کوانتومی

[ ویرایش ]

بیشتر فضاهای مورد استفاده در فیزیک قابل تفکیک هستند، و از آنجایی که همه آنها با یکدیگر هم شکل هستند، اغلب به هر فضای بی‌بعدی قابل تفکیک هیلبرت به عنوان «فضای هیلبرت» یا فقط «فضای هیلبرت» اشاره می‌شود . [ 97 ] حتی در نظریه میدان کوانتومی ، همانطور که توسط بدیهیات وایتمن تصریح شده است، بیشتر فضاهای هیلبرت در واقع قابل تفکیک هستند . با این حال، گاهی اوقات استدلال می‌شود که فضاهای هیلبرت غیرقابل تفکیک نیز در نظریه میدان کوانتومی مهم هستند، تقریباً به این دلیل که سیستم‌های موجود در این نظریه دارای بی‌نهایت درجه آزادی و هر ضرب تانسور هیلبرت نامتناهی هستند (فضاهای با ابعاد بزرگتر از یک). غیر قابل تفکیک است [ 98 ] برای مثال، میدان بوزونی را می توان به طور طبیعی به عنوان عنصری از یک ضرب تانسور در نظر گرفت که عوامل آن نوسانگرهای هارمونیک را در هر نقطه از فضا نشان می دهند. از این منظر، فضای حالت طبیعی یک بوزون ممکن است فضایی غیرقابل تفکیک به نظر برسد. [ 98 ] با این حال، تنها یک زیرفضای کوچک قابل تفکیک از حاصلضرب تانسور کامل است که می‌تواند حاوی میدان‌های فیزیکی معنی‌دار باشد (که روی آن قابل مشاهده‌ها قابل تعریف هستند). یکی دیگر از فضای غیرقابل تفکیک هیلبرت، وضعیت مجموعه ای نامحدود از ذرات را در یک منطقه نامحدود از فضا مدل می کند. یک مبنای متعارف فضا با چگالی ذرات، یک پارامتر پیوسته، نمایه می شود و از آنجایی که مجموعه چگالی های ممکن غیرقابل شمارش است، اساس قابل شمارش نیست. [ 98 ]

مکمل ها و پیش بینی های متعامد

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: متمم متعامد

اگر S زیر مجموعه ای از فضای هیلبرت H باشد ، مجموعه بردارهای متعامد به .{\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H\mid \langle x,s\rangle =0\ {\text{ for all }}s\in S\right\}\,.}

مجموعه S ⊥ یک زیرفضای بسته از H است (به راحتی می توان با استفاده از خطی بودن و پیوستگی حاصلضرب داخلی آن را ثابت کرد) و بنابراین خود یک فضای هیلبرت را تشکیل می دهد. اگر V زیر فضای بسته H باشد ، V ⊥ مکمل متعامد V نامیده می شود . در واقع، هر x ∈ H را می توان به صورت یکتا به صورت x = v + w با v ∈ V و w ∈ V ⊥ نوشت . بنابراین، H مجموع مستقیم هیلبرت داخلی V و V ⊥ است .

عملگر خطی P V : H → H که x را به v ترسیم می کند، برآمدگی متعامد بر روی V نامیده می شود . یک تناظر طبیعی یک به یک بین مجموعه تمام زیرفضاهای بسته H و مجموعه همه عملگرهای خود الحاقی محدود P وجود دارد به طوری که P 2 = P . به طور مشخص،

قضیه - طرح متعامد P V یک عملگر خطی خود الحاقی بر روی H هنجار ≤ 1 با خاصیت P است.2
V= . علاوه بر این، هر عملگر خطی E خود الحاقی به طوری که E 2 = E به شکل P V باشد ، که در آن V محدوده E است . برای هر x در H ، P V ( x ) عنصر منحصر به فرد v از V است که فاصله ‖ x − v‖ را به حداقل می رساند .

این تفسیر هندسی P V ( x ) را ارائه می دهد : این بهترین تقریب برای x توسط عناصر V است . [ 99 ]

پیش بینی های P U و P V متعامد نامیده می شوند اگر P U P V = 0 . این معادل است با متعامد بودن U و V به عنوان زیرفضاهای H . مجموع دو برآمدگی P U و P V فقط در صورتی یک طرح است که U و V متعامد با یکدیگر باشند و در آن صورت P U + P V = P U + V . [ 100 ] کامپوزیت P U P V به طور کلی یک طرح ریزی نیست. در واقع، کامپوزیت یک پروجکشن است اگر و تنها در صورتی که دو برآمدگی جابجا شوند، و در آن صورت P U P V = P U ∩ V . [ 101 ]

با محدود کردن هم دامنه به فضای هیلبرت V ، طرح متعامد P V منجر به نگاشت طرح ریزی π می شود : H → V ; این ضمیمه نقشه گنجاندن استمن:V→،{\displaystyle i:V\to H\,,}به این معنی که{\displaystyle \left\langle ix,y\right\rangle _{H}=\left\langle x,\pi y\right\rangle _{V}}برای همه x ∈ V و y ∈ H .

هنجار عملگر پروجکشن متعامد P V بر روی یک زیر فضای بسته غیر صفر V برابر است با 1:"پ.{\displaystyle \|P_{V}\|=\sup _{x\in H,x\neq 0}{\frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1 \,.}

بنابراین هر زیرفضای بسته V فضای هیلبرت تصویر عملگر P با هنجار است به طوری که P 2 = P . ویژگی داشتن عملگرهای طرح ریزی مناسب فضاهای هیلبرت را مشخص می کند: [ 102 ]

  • یک فضای باناخ با ابعاد بالاتر از 2 (از لحاظ ایزومتریک) یک فضای هیلبرت است اگر و فقط اگر برای هر زیرفضای بسته V یک عملگر P V از نرم یک وجود داشته باشد که تصویر آن V باشد به طوری که P2
    V= .

در حالی که این نتیجه ساختار متریک فضای هیلبرت را مشخص می کند، ساختار فضای هیلبرت به عنوان یک فضای برداری توپولوژیکی خود را می توان از نظر وجود زیرفضاهای مکمل مشخص کرد: [ 103 ]

  • یک فضای باناخ X از نظر توپولوژیکی و خطی با فضای هیلبرت هم شکل است اگر و فقط اگر در هر زیرفضای بسته V یک زیرفضای بسته W وجود داشته باشد به طوری که X برابر با مجموع مستقیم داخلی V ⊕ W باشد .

مکمل متعامد برخی از نتایج ابتدایی تری را برآورده می کند. این یک تابع یکنواخت است به این معنا که اگر U ⊂ V , آنگاه V ⊥ ⊆ U ⊥ با تساوی نگه می دارد اگر و فقط اگر V در بسته شدن U وجود داشته باشد . این نتیجه یک مورد خاص از قضیه هان-باناخ است . بسته شدن یک زیرفضا را می توان به طور کامل از نظر مکمل متعامد مشخص کرد: اگر V زیرفضای H باشد ، بسته شدن V برابر است با V ⊥⊥ . متمم متعامد در نتیجه یک اتصال گالوا در نظم جزئی زیرفضاهای فضای هیلبرت است. به طور کلی، متمم متعامد مجموع زیرفضاها، محل تلاقی متمم های متعامد است: [ 104 ](∑منVمن)⊥=⋂منVمن⊥.{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }\,.}

اگر V i علاوه بر این بسته باشد، پس∑منVمن⊥¯=(⋂منVمن)⊥.{\displaystyle {\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }{\vphantom {\Big |}}}}={\biggl (}\bigcap _{i}V_{i}{ \biggr )}^{\perp }\,.}

نظریه طیفی

[ ویرایش ]

یک نظریه طیفی به خوبی توسعه یافته برای عملگرهای خود الحاقی در فضای هیلبرت وجود دارد که تقریباً مشابه مطالعه ماتریس های متقارن بر روی حقیقی ها یا ماتریس های خود الحاقی بر روی اعداد مختلط است. [ 105 ] به همین معنا، می‌توان «مورب‌سازی» یک عملگر خود الحاقی را به‌عنوان مجموع مناسب (در واقع یک انتگرال) از عملگرهای طرح‌ریزی متعامد به دست آورد.

طیف یک عملگر T که σ ( T ) نشان داده می شود ، مجموعه ای از اعداد مختلط λ است به طوری که T - λ فاقد معکوس پیوسته است. اگر T محدود باشد، طیف همیشه یک مجموعه فشرده در صفحه مختلط است و در داخل دیسک قرار دارد | z | ≤ ‖ T ‖ . اگر T خود الحاقی باشد، طیف حقیقی است. در واقع در بازه [ m , M ] که در آن قرار داردمتر=inf1〈تیx،x〉،م=شام1〈تیx،x〉.{\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.}

علاوه بر این، m و M هر دو در واقع در طیف قرار دارند.

فضاهای ویژه یک عملگر T توسطλ=کر⁡(تی-λ).{\displaystyle H_{\lambda }=\ker(T-\lambda)\,.}

برخلاف ماتریس های متناهی، هر عنصری از طیف T نباید یک مقدار ویژه باشد: عملگر خطی T - λ ممکن است فقط معکوس نداشته باشد زیرا سوجکتیو نیست. عناصر طیف یک عملگر در معنای عام به عنوان مقادیر طیفی شناخته می شوند . از آنجایی که مقادیر طیفی نیازی به مقادیر ویژه ندارند، تجزیه طیفی اغلب ظریف تر از ابعاد محدود است.

با این حال، قضیه طیفی یک عملگر خود الحاقی T شکل بسیار ساده‌ای به خود می‌گیرد، اگر علاوه بر این، T یک عملگر فشرده فرض شود . قضیه طیفی برای عملگرهای فشرده خود الحاقی بیان می کند: [ 106 ]

  • یک عملگر فشرده خود الحاقی T فقط مقادیر طیفی زیادی به صورت شمارش (یا محدود) دارد. طیف T هیچ نقطه حدی در صفحه مختلط به جز احتمالاً صفر ندارد. فضاهای ویژه T H را به یک مجموع مستقیم متعامد تجزیه می کنند :=⨁λ∈σ(تی)λ.{\displaystyle H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.}علاوه بر این، اگر E λ نشان دهنده برآمدگی متعامد بر روی فضای ویژه H λ باشد ، آنگاهتی=∑λ∈σ(تی)λEλ،{\displaystyle T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }\,,}که در آن مجموع با توجه به هنجار روی B( H ) همگرا می شود .

این قضیه نقش اساسی در نظریه معادلات انتگرال ایفا می کند ، زیرا بسیاری از عملگرهای انتگرال فشرده هستند، به ویژه آنهایی که از عملگرهای هیلبرت-اشمیت ناشی می شوند .

قضیه طیفی کلی برای عملگرهای خود الحاق شامل نوعی انتگرال ریمان-استیلتس با ارزش عملگر است ، نه یک جمع بی نهایت. [ 107 ] خانواده طیفی مرتبط با T به هر عدد حقیقی λ یک عملگر E λ مربوط می شود ، که بر روی فضای تهی عملگر ( T - λ ) + است ، جایی که بخش مثبت یک عملگر خود الحاقی با تعریف می شود..{\displaystyle A^{+}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\sqrt {A^{2}}}+A{\Bigr )}\,.}

عملگرهای E λ نسبت به ترتیب جزئی تعریف شده در عملگرهای خود الحاقی یکنواخت افزایش می یابند. مقادیر ویژه دقیقاً با ناپیوستگی های پرش مطابقت دارند. یکی قضیه طیفی را دارد که ادعا می کندتی.{\displaystyle T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}

انتگرال به عنوان یک انتگرال Riemann-Stieltjes درک می شود که با توجه به هنجار B( H ) همگرا است . به طور خاص، یک نمایش انتگرالی با ارزش اسکالر معمولی دارد.{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle \,.}

یک تجزیه طیفی تا حدودی مشابه برای عملگرهای معمولی وجود دارد، اگرچه از آنجایی که طیف ممکن است اکنون حاوی اعداد مختلط غیر حقیقی باشد، معیار Stieltjes d E λ با ارزش عملگر باید با وضوح اتحاد جایگزین شود .

یکی از کاربردهای عمده روش های طیفی ، قضیه نگاشت طیفی است که به فرد اجازه می دهد تا هر تابع مختلط پیوسته f را که با تشکیل انتگرال بر روی طیف T تعریف شده است ، به عملگر خود الحاقی T اعمال کند..{\displaystyle f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}

محاسبات تابعی پیوسته حاصل، کاربردهای خاصی برای عملگرهای شبه دیفرانسیل دارد . [ 108 ]

تئوری طیفی عملگرهای خود الحاقی نامحدود فقط تا حدی دشوارتر از عملگرهای محدود است. طیف یک عملگر نامحدود دقیقاً به همان روشی که برای عملگرهای محدود تعریف شده است: λ یک مقدار طیفی است اگر عملگر {\displaystyle R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}}

نمی تواند یک عملگر پیوسته به خوبی تعریف شده باشد. خود الحاقی T همچنان حقیقی بودن طیف را تضمین می کند. بنابراین ایده اساسی کار با عملگرهای نامحدود این است که به جای آن به حلال R λ نگاه کنیم که در آن λ غیر حقیقی است. این یک عملگر معمولی محدود است ، که یک نمایش طیفی را می پذیرد که سپس می تواند به نمایش طیفی خود T منتقل شود . به عنوان مثال، از یک استراتژی مشابه برای مطالعه طیف عملگر لاپلاس استفاده می شود: به جای پرداختن مستقیم به عملگر، در عوض به عنوان یک حل کننده مرتبط مانند پتانسیل ریز یا پتانسیل Bessel به نظر می رسد .

یک نسخه دقیق از قضیه طیفی در این مورد این است: [ 109 ]

قضیه - با توجه به یک عملگر خود الحاقی T در فضای H هیلبرت، وضوح منحصر به فردی از اتحاد E در مجموعه‌های بورل R وجود دارد ، به طوری که{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{x,y}(\lambda )}برای همه x ∈ D ( T ) و y ∈ H . اندازه گیری طیفی E بر روی طیف T متمرکز است .

همچنین نسخه ای از قضیه طیفی وجود دارد که برای عملگرهای عادی نامحدود اعمال می شود.

در فرهنگ عامه

[ ویرایش ]

در رمان Gravity's Rainbow (1973)، رمانی از توماس پینچون ، یکی از شخصیت‌ها «سامی هیلبرت اسپیس» نام دارد، جناسی درباره «فضای هیلبرت». این رمان همچنین به قضایای ناتمامی گودل اشاره دارد . [ 110 ]

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

  • نمادپورتال ریاضی
  • فضای باناخ – فضای برداری هنجاردار که کامل شده است
  • فضای فوک - فضای حالت چند ذره
  • قضیه اساسی فضاهای هیلبرت
  • فضای هادامارد - فضای متریک کامل ژئودزیکی با انحنای غیر مثبت
  • فضای هاسدورف – نوع فضای توپولوژیکی
  • جبر هیلبرت
  • ماژول هیلبرت C* - اشیاء ریاضی که مفهوم فضاهای هیلبرت را تعمیم می‌دهند.
  • منیفولد هیلبرت - منیفولد بر اساس فضاهای هیلبرت مدل شده است
  • ضرب نیمه داخلی L - تعمیم ضرب داخلی که برای همه فضاهای عادی اعمال می شود
  • فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی - فضای برداری با توپولوژی تعریف شده توسط مجموعه های باز محدب
  • نظریه عملگر - رشته ریاضی
  • توپولوژی های عملگر - توپولوژی های مجموعه ای از عملگرها در فضای هیلبرت
  • فضای حالت کوانتومی - فضای ریاضی که سیستم های کوانتومی فیزیکی را نشان می دهد
  • فضای هیلبرت جعلی - ساخت و ساز که مطالعه مقادیر ویژه "محدود" و پیوسته را در تحلیل عملکردی به هم مرتبط می کند.
  • فضای برداری توپولوژیکی - فضای برداری با مفهوم نزدیکی