از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

خط مستقیم غوطه خورده مستقیم با تقاطع های خود

در ریاضیات ، یک submanifold از یک منیفولد M است زیر مجموعه S که به خودی خود دارای ساختار چند برابر، و برای که گنجاندن نقشه S → M ارضا خواص معین. بسته به اینکه دقیقاً به چه خصوصیاتی مورد نیاز است ، انواع مختلفی از submanifold ها وجود دارد. نویسندگان مختلف اغلب تعاریف مختلفی دارند.

 

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

در زیر ما فرض کنیم تمام منیفولدهای هستند manifolds مشتقپذیر از کلاس C R برای ثابت R ≥ 1، و همه morphisms مشتقپذیر از کلاس هستند C R .

زیرشاخه های غوطه ور [ ویرایش ]

فاصله باز زیرمنیفولد غوطه ور با انتهای فاصله نقشه برداری به انتهای مشخص شده فلش

زیر مجموعه منفجر شده از منیفولد M تصویر S از نقشه غوطه وری f : N → M ؛ به طور کلی ، این تصویر به عنوان زیرمجموعه نخواهد بود ، و لازم نیست نقشه غوطه وری حتی یک تزریق کننده باشد (یک به یک) - این می تواند تقاطعات خود را داشته باشد. [1]

بیشتر دقت، می توان نیاز است که نقشه F : N → M یک تزریق (یک به یک)، که در آن ما آن پاسخ تزریقی غوطه ور ، و تعریف یک submanifold غوطه ور می شود زیر مجموعه تصویر S همراه با یک توپولوژی و ساختار دیفرانسیل به گونه ای که S یک مانیفولد باشد و f fef یک diffeomorphism است : این فقط توپولوژی روی N است که به طور کلی با توپولوژی زیر مجموعه موافق نخواهد بود: به طور کلی زیر مجموعه S یک زیرمجموعه M نیست ، در زیر مجموعه توپولوژی

با توجه به هر غوطه وری تزریقی F  : N → M تصویر از N در M می تواند منحصر به فرد با توجه به ساختار یک submanifold غوطه ور به طوری که F  : N → F ( N ) است diffeomorphism فراهم آورده است . از این رو نتیجه می گیرد که زیرمنوطه های غوطه ور دقیقاً تصاویر غوطه وری برای تزریق هستند.

توپولوژی زیرسطحی در زیرمنفرد غوطه ور نیازی به توپولوژی نسبی ارثی از M نیست . به طور کلی ، دقیق تر از توپولوژی زیر فضایی خواهد بود (یعنی مجموعه های باز بیشتری داشته باشید ).

submanifolds غوطه ور در تئوری گروه های دروغ اتفاق می افتد که در آن زیر گروه ها به طور طبیعی submanifolds غوطه ور هستند.

زیر پوشه های تعبیه شده [ ویرایش ]

submanifold جاسازی شده (همچنین به نام submanifold به طور منظم )، یک submanifold غوطه ور که نقشه گنجاندن یک است تعبیه توپولوژیکی . یعنی توپولوژی submanifold در S همان توپولوژی زیر فضایی است.

با توجه به هرگونه تعبیه f  : N → M از منیفولد N در M ، تصویر f ( N ) به طور طبیعی دارای یک زیرپوشه تعبیه شده است. یعنی زیرمنفردهای تعبیه شده دقیقاً تصاویر تعبیه شده است.

یک تعریف ذاتی از یک زیرمنفرد تعبیه شده وجود دارد که اغلب مفید است. بگذارید M یک منیفولد n بعدی باشد و اجازه دهید k یک عدد صحیح باشد به گونه ای که 0 ≤ k ≤ n باشد. K بعدی submanifold های جاسازی شده از M یک زیر مجموعه است S ⊂ M طوری که برای هر نقطه P ∈ S وجود دارد وجود دارد جدول ( U ⊂ M ، φ: U → R N ) حاوی ص طوری که φ ( S ∩ U) تقاطع یک هواپیمای بعدی k- با φ ( U ) است. جفت ها ( S ∩ U ، φ | S ∩ U ) برای ساختار دیفرانسیل در S یک اطلس تشکیل می دهند .

قضیه اسکندر و اردن Schoenflies قضیه نمونه های خوبی تعبیه شده صاف و نرم هستند.

سایر تغییرات [ ویرایش ]

برخی از تغییرات دیگر از submanifolds مورد استفاده در ادبیات وجود دارد. submanifold شسته و رفته یک منیفولد که مرز موافق با حدود کل بسیار زیاد است. [2] شارپ (1997) نوعی از زیرمنابع را تعریف می کند که در جایی بین یک زیرمنشه تعبیه شده و یک زیرمنشه غوطه ور قرار دارد.

بسیاری از نویسندگان زیرمجموعه های توپولوژیکی را نیز تعریف می کنند. اینها همان زیر فریم های C r با r = 0. هستند. [3] یک فرعی توپولوژیکی جاسازی شده لزوماً به معنای وجود یک نمودار محلی در هر نقطending گسترش تعبیه ، منظم نیست. Counterexamples شامل قوس وحشی و گره وحشی است .

خواص [ ویرایش ]

با توجه به هر زیرمنشرف غوطه ور S از M ، می توان فضای مماس به نقطه p در S را بطور طبیعی می توان به عنوان یک فضای فرعی خطی از فضای مماس به p در M تصور کرد . این از این واقعیت ناشی می شود که نقشه گنجاندن یک غوطه وری است و تزریق را فراهم می کند

i _ {\ ast}: T_ {p} S \ to T_ {p} M.

فرض کنید S یک زیرمجموعه غوطه ور از M است . اگر گنجاندن نقشه من  : S → M است بسته سپس S است که در واقع submanifold های جاسازی شده از M . برعکس ، اگر S یک فرعی تعبیه شده است که یک زیرمجموعه بسته نیز می باشد ، نقشه ورود به سیستم بسته می شود. نقشه گنجاندن i  : S → M بسته می شود اگر و فقط در صورت تهیه نقشه مناسب (به عنوان مثال تصاویر معکوس مجموعه های جمع و جور جمع و جور باشد). اگر i بسته باشد ، S نام داردبسته فرعی تعبیه شده از م . زیرمنفردهای تعبیه شده بسته ، زیباترین کلاس submanifold ها را تشکیل می دهند.

زیرشاخه های فضای مختصات واقعی [ ویرایش ]

منیفولدهای صاف گاهی اوقات به عنوان زیر مجموعه های تعبیه شده از فضای مختصات واقعی R n ، برای بعضی از n ها تعریف می شوند . این نقطه نظر معادل معمول، رویکرد انتزاعی است، چرا که، توسط ویتنی تعبیه قضیه ، هر دوم شمارا صاف (انتزاعی) متر -manifold می توان هموار در تعبیه شده R 2 متر .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Submanifold#Immersed_submanifolds