منیفولد نمادین

در هندسه دیفرانسیل ، موضوع ریاضیات ، یک منیفولد سمپلتیک یک مانیفولد صاف است ، $م$ ، مجهز به دو شکل دیفرانسیل nondegenerate بسته $\ امگا$ ، به نام شکل سمبلیک . مطالعه منیفولدهای سمپلیک هندسه سمپلتیک یاتوپولوژی سمپلیک نامیده می شود . مانیفولدهای نمادین به طور طبیعی در فرمولهای انتزاعی مکانیک کلاسیک و مکانیک تحلیلی به عنوان بستههای منجمد مانیفولد بوجود می آیند . به عنوان مثال ، در فرمول هامیلتونی مکانیک کلاسیک ، که یکی از اصلی ترین انگیزه های این زمینه را فراهم می کند ، مجموعه کلیه پیکربندی های ممکن یک سیستم به عنوان منیفولد مدل می شود و این بسته بتونه منیفولد فضای فاز سیستم را توصیف می کند.

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

منیفولدهای نمادین از مکانیک کلاسیک ناشی می شوند . به طور خاص ، آنها تعمیم فضای فاز یک سیستم بسته هستند. [1] در راه همان معادلات همیلتون اجازه می دهد یک به استخراج تحول زمانی یک سیستم از مجموعه ای ازمعادلات دیفرانسیل ، فرم ها symplectic باید اجازه می دهد به دست آوردن یک میدان برداری توصیف جریان در سیستم را از دیفرانسیل DH یک تابع هامیلتونی H . [2] بنابراین ما به یک نقشه خطی TM → T ∗ M یا معادل آن ، یک عنصر T ∗ M احتیاج داریم.⊗ T ∗ م . اجازه ω معنی بخش از T * M ⊗ T * M ، نیاز است که اهم باشد غیر منحط تضمین می کند که برای هر دیفرانسیل DH است مربوط منحصر به فرد میدان برداری وجود دارد V H به طوری که DH = ω ( V H .،.) . از آنجا که یکی آرزو می کند که همیلتونی در امتداد خطوط جریان ثابت باشد ، باید dH ( V H ) = ω ( V H، V H ) = 0 ، که نشان میدهد که ω است متناوب و از این رو شکل 2.سرانجام ، این شرط را ضروری می سازد که ω نباید تحت خطوط جریان تغییر کند ، یعنی مشتقات Lie از ω در امتداد V H از بین می رود. با استفاده از فرمول Cartan ، این مقدار (در اینجا) است $\ displaystyle \ iota _ {X}}$ است کالا داخلی ):

$\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V_ {H}} (\ omega) = 0 \؛ \ Leftrightarrow \؛ \ mathrm {d} (\ iota _ {V_ {H}} \ omega) + \ iota _ {V_ {H}} \ mathrm {d} \ omega = \ mathrm {d} (\ mathrm {d} \، H) + \ mathrm {d} \ omega (V_ {H}) = \ mathrm {d} \ امگا (V_ {H}) = 0$

به طوری که در تکرار این آرگومان برای عملکردهای مختلف صاف $ح$ به طوری که مربوطه $V_ {H}$ فضای مماس را در هر نقطه ای که استدلال در آن اعمال می شود ، ببنید ، می بینیم که نیاز به مشتق ناپدید شدن Lie در امتداد جریانهای $V_ {H}$ مربوط به صاف دلخواه $ح$ معادل الزامی است که ω باید بسته شود .

تعریف [ ویرایش ]

یک شکل دلپذیر در یک منیفولد صاف $م$ دیفرانسیل بسته غیر انحطاطی بسته بسته 2 شکل است $\ امگا$ . [3] [4] در اینجا ، غیر انحطاط به معنای هر نکته است $p \ in M$ ، جفت شدن متقارن متقارن در فضای مماس $display \ نمایشگر T_ {p} M$ تعریف شده توسط $\ امگا$ غیر انحطاطی است یعنی اگر وجود داشته باشد ${\ نمایشگر X \ در T_ {p} M$ به طوری که ${\ displaystyle \ امگا (X ، Y) = 0$ برای همه ${\ نمایشگر Y \ در T_ {p} M$ ، سپس ${\ نمایشگر X = 0$ . از آنجایی که در ابعاد عجیب و غریب ، ماتریسهای متقارن و متقارن همیشه مفرد هستند ، این شرط آن است $\ امگا$ be novengenerate دلالت بر این امر دارد $م$ ابعاد یکنواختی دارد. [3] [4] شرط بسته به این معنی است که مشتق خارجی از $\ امگا$ ناپدید می شود یک منیفولد دلسوز یک جفت است ${\ نمایش صفحه نمایش (M ، \ امگا)$ جایی که $م$ یک منیفولد صاف است و $\ امگا$ یک شکل دلسوز است اختصاص دادن یک فرم دلخواه به $م$ به عنوان دادن گفته می شود $م$ ساختار ها symplectic .

منیفولد سمپلکت خطی [ ویرایش ]

یک مدل خطی استاندارد وجود دارد ، یعنی یک فضای بردار دلسوز $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n.$ اجازه دهید ${\ displaystyle \ {v_ {1} ، \ ldots ، v_ {2n \}}$ پایه ای برای $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n.$ فرم ها symplectic ما تعریف می کنیم ω بر این اساس شرح زیر است:

$\ displaystyle \ omega (v_ {i، v_ {j}) = {\ fill {موارد} 1 & j-i = n {\ متن {با \ 1 \ leqslant i \ leqslant n \\ - 1 & i-j = n {\ text {با}} 1 \ leqslant j \ leqslant n \\ 0 & {\ text {در غیر این صورت}} \ end {موارد}}}$

در این حالت فرم سمپلتیک به یک فرم درجه دوم ساده کاهش می یابد . اگر من N نشان دهنده N × N ماتریس سپس ماتریس، Ω، از این فرم درجه دوم توسط داده 2 نفر × 2 نفر بلوک ماتریس :

$\ displaystyle \ امگا = {\ آغاز {pmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \ end {pmatrix}}.}$

زیرشاخه های لاگرانژی و دیگر [ ویرایش ]

چندین مفهوم هندسی طبیعی از زیرمجموعه یک منیفولد دلسوز وجود دارد ${\ نمایش صفحه نمایش (M ، \ امگا)$ .

زیرمجموعه های دلخواه از $م$ (بالقوه از هر ابعاد یکسان) زیرمجموعه ها هستند ${\ displaystyle S \ زیرمجموعه M$ به طوری که $\ امگا | _ {S$ یک شکل دلخواه است $س$ .

submanifold های isotropic submanifolds هایی هستند که فرم سمپلتیک به صفر محدود می شود ، یعنی هر فضای مماس یک زیر فضای ایزوتروپی از فضای مماسمی منیفولد محیط است. به طور مشابه ، اگر هر زیر فضای مماس به زیر فرعی همزای ایزوتروپیک باشد (دو برابر یک فضای فرعی ایزوتروپیک) ، زیرمنفولد Co-isotropic نامیده می شود .

زیرشاخه های لاگرانژی از یک منیفولد دلسوز $(م ، \ امگا)$ زیرمجموعه هایی هستند که محدودیت شکل سمپلتیک در آنها وجود دارد $\ امگا$ به $زیر مجموعه L$ یعنی ناپدید می شود ، یعنی $\ displaystyle \ متن {کم نور}} L = {\ tfrac {1} {2}} \ dark M$ . submanifolds Langrangian حداکثر submanifold های ایزوتروپیک هستند.

مهمترین مورد submanifolds های ایزوتروپی ، submanifolds لاگرانژی است . زیر مجموعه چندگانه لاگرانژی ، به عنوان تعریف ، یک زیرمنش ایزوتروپیک با ابعاد حداکثر ، یعنی نیمی از بعد منیفولد دلخواه محیط است.یک مثال مهم این است که نمودار یک سیمپلکتومورفیسم در منیفولد سمپلکت محصول ( M × M ، ω - ω ) لاگرانژی است. تقاطع آنها ویژگی های سفتی را نشان نمی دهد که توسط مانیفولد های صاف در اختیار ندارند. حدس آرنولد می دهد از مجموع submanifold است تعداد بتیبه عنوان یک حد پایین برای تعداد تقاطع های خود یک زیرمنفرد صاف لاگرانژی ، به جای مشخصه اویلر در مورد صاف.

مثالها [ ویرایش ]

اجازه دهید $\ displaystyle \ mathbb {R} _ {{\ textbf {x}}، {\ textbf {y}}} ^ {2n}}$ دارای مختصات جهانی دارای برچسب هستند $(x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n} ، y_ {1} ، \ ldots ، y_ {n}).$ سپس ، ما می توانیم تجهیز کنیم $\ displaystyle \ mathbb {R} _ {{\ textbf {x}}، {\ textbf {y}}} ^ {2n}}$ با فرم تقارن معمولی

$\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} x_ {1} \ wedge \ mathrm {d} y_ {1} + \ cdots + \ mathrm {d} x_ {n} \ wedge \ mathrm {d} y_ {n }$

یک زیرمنفرد استاندارد لاگرانژی وجود دارد که توسط آن داده شده است $\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathbf {x}} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {\ mathbf {x}، \ mathbf {y}} ^ {2n}}$ . فرم $\ امگا$ ناپدید می شود $\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathbf {x}} ^ {n}$ زیرا با توجه به هر جفت بردار مماس $\ displaystyle X = f_ {i} ({\ textbf {x}}) \ partial _ {x_ {i}، Y = g_ {i} ({\ textbf {x}}) \ جزئی _ _ x_ _ من } ،}$ ما آن را داریم ${\ displaystyle \ omega (X، Y) = 0.$ برای توضیح ، پرونده را در نظر بگیرید $n = 1$ . سپس، $\ displaystyle X = f (x) \ جزئی _ {x} ، Y = g (x) \ جزئی _ {x} ،}$ و $\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y.}$ توجه کنید که وقتی این کار را گسترش می دهیم

$\ displaystyle \ omega (X، Y) = \ omega (f (x) \ partial _ {x}، g (x) \ جزئی _ {x}) = {\ frac {1} {2}} f (x ) g (x) (\ mathrm {d} x (\ partial _ {x}) \ mathrm {d} y (\ partial _ {x}) - \ mathrm {d} y (\ partial _ {x}) \ mathrm {d} x (\ جزئی {{x}))}$

هر دو اصطلاح داریم $\ displaystyle \ mathrm {d} y (\ partial _ {x})}$ با استفاده از فاکتور ، که 0 است.

بسته نرم افزاری منیفولد بصورت محلی در فضایی شبیه به مثال اول مدل سازی می شود. نشان می دهد که ما می توانیم این فرم های قرین دار را به هم چسبانیم ، از این رو این بسته ، یک منیفولد دلسوز را تشکیل می دهد. یک نمونه غیر مهم تر از یک زیرشاخه Lagrangian بخش صفر دسته بسته های منفجره است. به عنوان مثال ، اجازه دهید

$\ displaystyle X = \ {(x، y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y ^ {2} -x = 0 \}.$

سپس ، ما می توانیم ارائه دهیم $T ^ * X$ مانند

$\ displaystyle T ^ {*} X = \ {(x، y، \ mathrm {d} x، \ mathrm {d} y) \ in \ mathbb {R} ^ {4}: y ^ {2} -x = 0،2y \ mathrm {d} y- \ mathrm {d} x = 0 \}}$

جایی که ما در حال نمادها هستیم $\ displaystyle \ mathrm {d} x، \ mathrm {d} y$ به عنوان مختصات $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4} = T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ما می توانیم زیر مجموعه را در جایی مختصات در نظر بگیریم $\ displaystyle \ mathrm {d} x = 0$ و $\ displaystyle \ mathrm {d} y = 0$ بخش صفر را در اختیار ما قرار می دهد. این مثال می تواند برای هر منیفولد تعریف شده توسط محل ناپدید شدن عملکردهای صحیح تکرار شود $f_ {1} ، \ ldots ، f_ {k}$ و تفاوت های آنها $\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {1}، \ ldots، df_ {k}}$ .

با استفاده از تئوری مورس ، می توان طبقه مفید دیگری از زیرمنویچهای لاگرانژی را یافت. با توجه به عملکردی مورس $\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ و به اندازه کافی کوچک $\ varepsilon$ می توان یک زیرمنفرد لاگرانژی را ساخت که توسط مکان ناپدید شده ساخته شده است $\ displaystyle \ mathbb {V} (\ varepsilon \ cdot \ mathrm {d} f) \ زیر مجموعه T ^ {*} M}$ . برای یک عملکرد مورس عمومی ، یک تقاطع لاگرانژی داریم که توسط آن داده شده است

$\ displaystyle M \ cap \ mathbb {V} (\ varepsilon \ cdot \ mathrm {d} f) = {\ text {Crit}} (f)$ .

همچنین مشاهده کنید: رده سمپلکت

زیرشاخه های ویژه لاگرانژی [ ویرایش ]

در مورد منیفولدهای Kahler (یا مانیفولد Calabi-Yau ) می توانیم انتخاب کنیم

$\ displaystyle \ امگا = \ امگا _ {1} + \ mathrm {i} \ امگا _ {2$ بر M $م$ به عنوان یک شکل n-Holomorphic ، که در آن است $\ امگا _ {1$ قسمت واقعی است و $\ امگا _ {2$ خیالی یک فرعی فرعی لاگرانژی $ل$ نامیده می شود ویژه اگر علاوه بر شرایط لاگرانژی بالا محدودیت $\ امگا _ {2$ به $ل$ در حال از بین رفتن است به عبارت دیگر ، قسمت واقعی $\ امگا _ {1$ محدود به $ل$ فرم حجم را روشن می کند $ل$ . مثالهای زیر به عنوان زیرمنشهای ویژه لاگرانژی شناخته می شوند ،

زیر مجموعه های پیچیده لاگرانژی از منیفولدهای HyperKahler ،
نقاط ثابت یک ساختار واقعی از مانیفولدهای Calabi-Yau.

حدس SYZ شده است برای submanifolds لاگرانژی خاص آن را ثابت اما به طور کلی، آن باز است، و به مطالعه به ارمغان می آورد بسیاری از اثرات تقارن آینه . ببینید ( هیچچین 1999 )

فیبراسیون لاگرانژی [ ویرایش ]

fibration لاگرانژی از چند برابر symplectic M است fibration در آن همه از الیاف submanifolds لاگرانژی هستند. از آنجا که M یک بعدی است ، می توانیم مختصات محلی را بدست آوریم ( p 1 ،…، p n ، q 1 ،…، q n ) و با قضیه Darboux شکل دلخواه ω حداقل به صورت محلی می تواند به صورت ω = written نوشته شود. p k ∧ d q k ، جایی که d نشان دهنده ی مشتق خارجی استو ∧ محصول خارجی را نشان می دهد . با استفاده از این مجموعه می توانیم به صورت محلی از M به عنوان بسته نرم افزاری cotangent استفاده کنیم

$\ displaystyle T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} ،}$ و فیبراسیون لاگرانژی به عنوان فیبرهای بی اهمیت است

$\ displaystyle \ pi: T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} \ به \ mathbb {R} ^ {n}.$ این تصویر متعارف است.

نقشه برداری لاگرانژی [ ویرایش ]

اجازه دهید L یک submanifold لاگرانژی چند برابر symplectic ( K ، ω) داده شده توسط غوطه ور من : L ↪ K ( من است که به نام غوطه وری لاگرانژی ).اجازه دهید π : K ↠ B یک fibration لاگرانژی K . کامپوزیت ( π ∘ i ): L ↪ K ↠ B یک نقشه برداری لاگرانژی است . مجموعه ای مقدار بحرانی از پی ∘ مناست که به نامتند تند .

دو نقشه لاگرانژی ( π 1 ∘ i 1 ): L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 و ( π 2 ∘ i 2 ): L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 معادل لاگرانژی گفته می شود در صورت وجود دیفرانمورفیسم σ ، τ و ν ازاین قبیل که هر دو طرف از نمودار داده شده در رفت و آمد درست ، و τ صورت فرم قرینه را حفظ می کند.[4] به صورت نمادین:

$\ tau \ circ i_ {1} = i_ {2} \ circ \ sigma، \ \ nu \ circ \ pi _ {1} = \ pi _ {2} \ circ \ tau، \ \ tau ^ {*} \ omega _ {2} = \ امگا _ {1} \ ، ،$

که در آن τ * ω 2 نشان دهنده تماس کشش از ω 2 توسط τ .

موارد خاص و کلیات [ ویرایش ]

چند برابر symplectic عطا با یک متریک است که سازگار با فرم ها symplectic یک IS تقریبا چند برابر Kahler از به این معنا که بسته نرم افزاری مماس است ساختار تقریبا پیچیده ، اما این نیاز نیست انتگرال .

منیفولدهای نمادین موارد خاصی از مانیفولد پواسون هستند . تعریف منیفولد دلسوزانه ایجاب می کند که شکل دلسوزانه در همه جا غیر انحطاط باشد ، اما اگر این شرط نقض شود ، ممکن است منیفولد هنوز یک مانیتور پواسون باشد.

چند برابر multisymplectic از درجه ک چند برابر مجهز به nondegenerate بسته است ک دندانی. [5]

یک منیفولد چند حلقه ای یک بسته نرم افزاری Legendre است که دارای یک ارزش مماس از جنس پلی آمپلیکی است. $(n + 2)$ -فرم؛ از آن در نظریه میدانی همیلتون استفاده شده است. [6]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_manifold

+ نوشته شده در سه شنبه دهم تیر ۱۳۹۹ ساعت 8:6 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی