از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، توپولوژی دیفرانسیل زمینه ای است که با توابع متمایز بر روی منیفولدهای متفاوت ، تفاوت دارد . این ارتباط نزدیک با هندسه دیفرانسیل است و آنها در کنار هم تئوری هندسی منیفولدهای متفاوت را تشکیل می دهند .

 

فهرست

توضیحات [ ویرایش ]

توپولوژی دیفرانسیل خواص و ساختارهایی را که فقط نیاز به یک ساختار صاف بر روی منیفولد دارند تعریف می کند. منیفولدهای صاف "نرمتر" از مانیفولدها با ساختارهای هندسی اضافی هستند ، که می تواند به عنوان مانع برای انواع خاصی از معادلها و تغییر شکل هایی که در توپولوژی دیفرانسیل وجود دارد ، عمل کند. به عنوان مثال ، حجم و انحنای ریمانیان متغیرهایی هستند که می توانند ساختارهای هندسی مختلف را در همان منیفولد صاف متمایز کنند - یعنی می توان مانیتورهای مشخصی را به طور صاف "صاف کرد" ، اما ممکن است نیاز به تحریف فضا و تأثیرگذاری بر انحنای یا حجم داشته باشد.

از طرف دیگر ، منیفولدهای صاف نسبت به منیفولدهای توپولوژیک سفت تر هستند . جان میلنور کشف کردند که برخی حوزه به بیش از یک ساختار صاف ببینید حوزه عجیب و غریب و قضیه دونالدسون . میشل كروایر منیفولدهای توپولوژیك و بدون ساختار صاف را به نمایش گذاشت. [1] برخی از ساختارهای نظریه منیفولد صاف ، مانند وجود بسته های مماس ، [2] می توانند در محیط توپولوژیکی با کار بسیار بیشتری انجام شوند ، و برخی دیگر نمی توانند.

یکی از موضوعات اصلی در توپولوژی دیفرانسیل مطالعه انواع خاصی از نگاشت صاف بین منیفولدهای، یعنی است immersions و submersions ، و تقاطع از submanifolds از طریق سنجش . عموماً یکی به خصوصیات و متغیرهای منیفولدهای صاف که توسط دیفئورمورفیسم حمل می شوند علاقه مند است ، نوع دیگری ویژه نقشه برداری صاف. نظریه مورس شاخه دیگری از توپولوژی دیفرانسیل، که در آن اطلاعات همبندی در مورد چند برابر از تغییرات در می آید آن است رتبه از ژاکوبین از یک تابع.

برای لیستی از مباحث توپولوژی دیفرانسیل ، به مرجع زیر مراجعه کنید: فهرست مباحث هندسه دیفرانسیل .

توپولوژی دیفرانسیل در مقابل هندسه دیفرانسیل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: هندسه و توپولوژی

توپولوژی دیفرانسیل و هندسه دیفرانسیل برای اولین بار با شباهت آنها مشخص می شود . هر دو آنها در درجه اول خواص منیفولدهای متفاوت را مورد بررسی قرار می دهند ، گاهی اوقات با انواع ساختارهایی که به آنها تحمیل می شود.

یک تفاوت عمده در ماهیت مشکلاتی است که هر موضوعی سعی دارد به آن بپردازد. از یک دیدگاه ، [3] توپولوژی دیفرانسیل با مطالعه در درجه اول آن دسته از مشکلات که ذاتاً جهانی هستند ، خود را از هندسه دیفرانسیل متمایز می کند . نمونه یک فنجان قهوه و یک دونات را در نظر بگیرید ( این مثال را ببینید ). از نظر توپولوژی دیفرانسیل ، دونات و فنجان قهوه یکسان هستند (به یک معنا). این یک دیدگاه ذاتاً جهانی است ، زیرا هیچ راهی وجود ندارد که توپولوژیست دیفرانسیل بتواند با نگاه کردن به یک قطعه کوچک ( محلی ) از هر یک از آنها بگوید که آیا این دو شیء یکسان هستند (به این معنا) . آنها باید به همه افراد دسترسی داشته باشند ( جهانی)) هدف - شی.

از نظر هندسه دیفرانسیل ، فنجان قهوه و دونات متفاوت است زیرا چرخاندن قهوه به گونه ای غیرممکن است که پیکربندی آن مطابق با دونات باشد. این همچنین یک روش جهانی برای فکر کردن در مورد مشکل است. اما یک تمایز مهم این است که هندسه برای تصمیم گیری در مورد این موضوع نیازی به کل جسم ندارد. به عنوان مثال ، فقط در یک تکه کوچک از دسته ، می تواند تصمیم بگیرد که فنجان قهوه با دونات متفاوت است زیرا دسته آن نازک تر (یا خمیده تر) از هر قطعه شیرینی است.

به طور خلاصه ، توپولوژی دیفرانسیل ساختارها را بر روی منیفولدها بررسی می کند که به تعبیری ساختار محلی جالبی ندارند. هندسه دیفرانسیل به بررسی ساختارهای روی منیفولدهایی که دارای یک ساختار جالب توجه محلی (یا حتی گاهی بی نهایت) هستند.

از نظر ریاضی تر ، به عنوان مثال ، مشکل ساختن پرفیومورفیسم بین دو مانیفولد با همان بعد ذاتاً جهانی است ، زیرا از نظر محلی به طور کلی دو چنین مانیفولد همیشه متفاوت هستند. به همین ترتیب، مشکل محاسبه مقدار در چند برابر است که ثابت تحت نگاشت مشتقپذیر ذاتا جهانی است، از هر گونه ثابت محلی خواهد بود و بی اهمیت به این معنا که آن را در حال حاضر در توپولوژی به نمایش گذاشته\ mathbb {R} ^ {n. علاوه بر این ، توپولوژی دیفرانسیل ، لزوماً خود را به مطالعه دیفئورمورفیسم محدود نمی کند. به عنوان مثال ، توپولوژی سمبلیک - زیر شاخه ای از توپولوژی دیفرانسیل - به بررسی خصوصیات جهانی مانیفولدهای دلسوز می پردازد. هندسه دیفرانسیل خود را با مشکلات - که ممکن است محلی یا جهانی باشد - که همیشه برخی از ویژگی های محلی غیر پیش پا افتاده را دارد نگران می کند . بنابراین هندسه دیفرانسیل ممکن است منیفولدهای متمایز مجهز به یک اتصال ، یک متریک (که ممکن است ریمانی ، شبه ریمانی یا فینسلر باشد ) ، نوع خاصی از توزیع (مانند ساختار CR ) و غیره را مطالعه کند.

این تمایز بین هندسه دیفرانسیل و توپولوژی دیفرانسیل مبهم است ، اما ، در سؤالهایی که بطور خاص مربوط به متغیرهای پراشیده موضعی محلی مانند فضای مماس در یک نقطه است. توپولوژی دیفرانسیل همچنین به سؤالاتی از این دست می پردازد ، که به طور خاص به ویژگی های نقشه برداری های مختلف مربوط می شود\ mathbb {R} ^ {n(برای مثال بسته نرم افزاری مماس ، بسته های جت ، قضیه پسوند ویتنی و موارد دیگر).

تمایز به صورت خلاصه مختصر است:

  • توپولوژی دیفرانسیل بررسی خصوصیات (نامتناهی ، محلی و جهانی) سازه ها بر روی مانیفولدهایی است که فقط دارای مدول های محلی بی اهمیت هستند .
  • هندسه دیفرانسیل چنین مطالعه ای بر روی سازه ها روی منیفولدها است که دارای یک یا چند مدولار محلی غیر پیش پا افتاده هستند .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_topology