ا

در زمینه ریاضی تجزیه و تحلیل ، قضیه نش - موسر ، کشف شده توسط ریاضیدانان جان فوربز نش و نامگذاری شده برای او و یورگن موزر ، عمومی سازی از قضیه عملکرد معکوس در فضاهای Banach به تنظیمات است که نقشه راه حل مورد نیاز برای مسئله خطی است. محدود نیست.

 

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

بر خلاف مورد فضای Banach ، که در آن غیرقابل برگشت بودن مشتقات در یک نقطه برای یک نقشه غیرقابل برگشت محلی است ، قضیه نش-مسر نیاز به مشتق بودن در یک محله غیرقابل برگشت دارد. این قضیه به طور گسترده ای برای اثبات وجود محلی برای معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی در فضاهای توابع صاف استفاده می شود . این خصوصاً زمانی مفید است که معکوس به مشتقات "گمشده" شود ، و بنابراین قضیه عملکرد ضمنی فضای Banach قابل استفاده نیست.

تاریخچه [ ویرایش ]

قضیه نش-موزر به گذشته (1956) بازمیگردد ، که قضیه را در مورد خاص مسئله تعبیه ایزومتریک اثبات کرد . از مقاله او مشخص است که روش وی قابل تعمیم است. به عنوان مثال موسر ( 1966a ، 1966b ) نشان داد كه روشهای نش را می توان با موفقیت برای حل مشكلات مدارهای دوره ای در مکانیك آسمانی در تئوری KAM به كار برد.. با این حال ، پیدا کردن یک فرمول عمومی مناسب بسیار دشوار است. تا به امروز هیچ نسخه ای فراگیر وجود ندارد. نسخه های مختلفی به دلیل گروومف ، همیلتون ، هورمندر ، موزر ، سن ریموند ، شوارتز و سرگرات در منابع زیر آورده شده است. آنچه در مورد هامیلتون ، به نقل از زیر ، به ویژه مورد استناد قرار می گیرد.

مشکل از دست دادن مشتقات [ ویرایش ]

این در تنظیمات اصلی قضیه نش-موزر ، مسئله مشکل تعبیه ایزومتریک معرفی خواهد شد. اجازه دهید\ امگا  یک زیر مجموعه باز باشد.\ mathbb {R}} ^ {n. نقشه را در نظر بگیرید

\ displaystyle P: C ^ {1} (\ Omega؛ \ mathbb {R} ^ {N}) \ to C ^ {0} {\ big (} \ امگا؛ {\ متن {Sym}} _ {n \ بار n} (\ mathbb {R}) {\ بزرگ)}

داده شده توسط

\ displaystyle P (f) _ {ij} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {N} {\ frac {\ جزئی f ^ {\ alpha}} {\ جزئی u ^ {i}}} {\ frac {\ جزئی f ^ {\ alpha}} {\ جزئی u ^ {j}}}.

در حل Nash از مسئله جاسازی ایزومتریک (همانطور که در راه حلهای معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی انتظار می رود) یک قدم بزرگ بیانیه ای از فرم شماتیک است "اگر f به گونه ای باشد که P ( f ) مثبت باشد ، برای هر ماتریس ارزش تابع گرم است که نزدیک به P ( F ) وجود دارد، F G با P ( F G ) = گرم ".

طبق روش استاندارد ، انتظار می رود که قضیه عملکرد معکوس فضای Banach را اعمال کند. بنابراین، برای مثال، ممکن است انتظار برای محدود P به C 5 (Ω؛ ℝ N ) و برای غوطه وری F در این حوزه، به مطالعه خطی C 5 (Ω؛ ℝ N ) → C 4 (Ω؛ SYM N × n (ℝ) داده شده توسط

\ displaystyle {\ widetilde {f}} \ mapsto \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {N} {\ frac {\ جزئی f ^ {\ alpha}} {\ جزئی جزئی u ^ {من}}} {\ frac {\ partial {\ widetilde {f}} ^ {\ beta}} {\ partial u ^ {j}}} + \ sum _ \ alpha = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial {\ widetilde {f}} ^ {\ alpha}} {\ جزئی u ^ {i}}} {\ frac {\ جزئی f ^ {\ beta}} {\ جزئی u ^ {j}}}.

اگر کسی می تواند نشان دهد که این قابل برگشت بودند ، با معکوس محدود ، آنگاه قضیه عملکرد معکوس فضای Banach به طور مستقیم اعمال می شود.

با این حال ، یک دلیل عمیق وجود دارد که چنین فرمولاسیون نمی تواند کار کند. مسئله این است که یک عملگر دیفرانسیل مرتبه دوم P ( f ) وجود دارد که همزمان با یک اپراتور دیفرانسیل مرتبه دوم است که به f اعمال می شود .به طور دقیق: اگر f غوطه وری است پس از آن

\ displaystyle R ^ {P (f)} = | H (f) | ^ {2} - | h (f) | _ {P (f)} ^ {2 ،}

که در آن R P ( F ) انحنای اسکالر از متریک ریمانی است P ( F )، H ( F ) نشان دهنده میانگین انحنای غوطه ور ج ، و ساعت ( F ) نشان دهنده شکل اساسی دوم خود را؛ معادله فوق معادله گاوس از تئوری سطح است.بنابراین، اگر P ( F ) است C 4 ، پس از آن R P ( F ) به طور کلی تنها C 2 . سپس ، طبق معادله فوق ، f به طور کلی می تواند تنها باشدج 4 ؛ اگر C 5 بود پس از آن | ح | 2 - | ساعت | 2 را باید حداقل C 3 . منبع مسئله را می توان کاملاً موجز به صورت زیر بیان کرد: معادله گاوس نشان می دهد که یک عملگر دیفرانسیل Q وجود دارد به این ترتیب که ترتیب ترکیب Q با P کمتر از جمع سفارشات P و Q است .

در متن ، نتیجه نهایی این است که معکوس برای خطی سازی P ، حتی اگر به عنوان نقشه C ∞ (Ω؛ Sym n × n (ℝ)) → C ∞ (Ω؛ ℝ N ) وجود داشته باشد ، نمی تواند در حد مناسب محدود شود. فضاهای Banach ، و بنابراین قضیه عملکرد ضمنی فضای Banach قابل استفاده نیست.

دقیقا همان استدلال، می توان به طور مستقیم نمی فضای باناخ ضمنی تابع قضیه اعمال حتی اگر یکی از فضاهای هولدر، که فضاهای Sobolev، یا هر یک از C K فاصله است. در هر یک از این تنظیمات ، یک معکوس برای خطی سازی P محدود نخواهد شد.

این مشکل از دست دادن مشتقات است . یک انتظار بسیار ساده است که ، به طور کلی ، اگر P یک عملگر دیفرانسیل سفارش k باشد ، پس اگر P ( f ) در C m باشد ، f باید در C m + k باشد . با این حال ، این تا حدودی نادر است. در مورد operatrs دیفرانسیل یکنواخت بیضوی، معروف برآورد Schauder به نشان می دهد که این انتظار ساده و بی تکلف است برخاسته، با اخطار است که باید جایگزین C K فضاهای با دارنده فضاهای C K ، α؛ این مسئله هیچ مشکلی اضافی برای کاربرد قضیه عملکرد ضمنی فضای Banach ایجاد نمی کند. با این حال ، تجزیه و تحلیل بالا نشان می دهد که این انتظار ساده لوحانه برای نقشه تحمل نمی شود که یک غوطه وری را به معیار ریمانیایی ناشی از آن ارسال می کند. با توجه به اینکه این نقشه از دستور 1 است ، با برعکس کردن اپراتور ، مشتق "مورد انتظار" به دست نمی آید. همین شکست در مشکلات هندسی متداول است ، جایی که عمل گروه پرفیومورفیسم عامل اصلی آن است و در مشکلات معادلات دیفرانسیل هایپربولیک ، جایی که حتی در بسیار ساده ترین مشکلات نیز یکنواختی مورد انتظار یک راه حل وجود ندارد. همه این مشکلات زمینه های مشترکی را برای کاربردهای قضیه نش-موزر فراهم می کند.

شکل شماتیک راه حل نش [ ویرایش ]

این بخش فقط با هدف توصیف یک ایده انجام می شود و به همین دلیل عمداً نادرست است. برای ملموس، فرض کنید که P سفارش یک عملگر دیفرانسیل در برخی از فضاهای تابع است، به طوری که آن را به یک نقشه را تعریف می کند P : C K 1 → C K برای هر ک . فرض کنید که در برخی از C K 1 تابع F ، خطی DP F : C K 1 → C K حق معکوس است S : C K → C K؛ در زبان فوق این بیانگر "از دست دادن یک مشتق" است. یک مشخص می شکست تلاش برای استفاده از مشاهده روش نیوتن برای اثبات فضای باناخ ضمنی تابع قضیه در این زمینه: اگر گرم ∞ است نزدیک به P ( F ) در C K و یک تعریف تکرار

\ displaystyle f_ {n + 1} = f_ {n} + S {\ big (} g _ {\ infty -P (f_ {n) {\ big) ،

پس از آن F 1 ∈ C K 1 نشان می دهد که گرم ∞ - P ( F N ) است در C K ، و سپس F 2 در است C K . توسط همان استدلال، ج 3 در است C K -1 ، و F 4 در است C K -2 ، و غیره. در بسیاری از مراحل ، تکرار باید پایان یابد ، زیرا همه منظم را از دست می دهد و مرحله بعدی حتی تعریف نخواهد شد.

راه حل نش در سادگی بسیار چشمگیر است. فرض کنید برای هر t > 0 یک عملگر صاف کننده t t وجود دارد که یک عملکرد C n را به عهده می گیرد ، یک عملکرد صاف را برمی گرداند و وقتی t بزرگ است ، هویت تقریبی می یابد . سپس تکرار نیوتن "صاف" شد

\ displaystyle f_ {n + 1} = f_ {n} + S {\ big (} \ theta _ {n} (g _ {\ infty} -P (f_ {n})) {\ big)}

به طور شفاف با همان مشکل قبلی نسخه "غیرمستقیم" روبرو نمی شود ، زیرا این یک تکرار در فضای توابع صاف است که هرگز عادی را از دست نمی دهد. بنابراین شخص دارای توالی به خوبی تعریف شده از توابع است. تعجب اصلی رویکرد نش این است که این دنباله در واقع به یک تابع f ∞ با P ( f ∞ ) = g con تبدیل می شود . برای بسیاری از ریاضیدانان ، این مسئله تعجب آور است ، زیرا "رفع" پرتاب در یک اپراتور صاف کننده برای غلبه بر مشکل عمیق در روش استاندارد نیوتن خیلی سطحی به نظر می رسد. به عنوان مثال ، در این مورد میخائیل گروموف می گوید

شما باید در زمینه تجزیه و تحلیل تازه کار باشید یا یک نبوغ مانند نش برای باور داشتن هر چیزی از این دست می تواند همیشه درست باشد. [...] [این] ممکن است شما را به عنوان عملکرد موفقیت آمیز تلفن همراه با اجرای مکانیکی از دیو ماکسول به شما واقع گرایانه کند ... مگر اینکه شما شروع به دنبال محاسبات نش کنید و با تعجب بی حد و حصر خود متوجه شوید که صاف کردن کار می کند.

سخنان حقیقت "تکرار نیوتن صاف" کمی پیچیده تر از شکل فوق است ، هرچند بسته به جایی که شخص برای درج اپراتورهای صاف کننده انتخاب کند ، چند شکل نابرابر وجود دارد. تفاوت عمده این است که یکی نیاز به معکوس ازDP F برای کل یک محله باز از انتخاب F و سپس یکی با استفاده از "واقعی" نیوتن تکرار، مربوط به (با استفاده از نماد تک متغیر)

x_ {n + 1} = x_ {n - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}

به عنوان مخالف

\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {0})}} ،

دومی که بیانگر اشکال ذکر شده در بالا است. این امر بسیار مهم است ، زیرا همگرایی درجه دوم بهبود یافته "واقعی" تکرار نیوتن به منظور دستیابی به همگرایی به طور قابل توجهی برای مقابله با خطای "هموار سازی" استفاده می شود. برخی رویکردهای خاص ، به ویژه نش و هامیلتون ، از راه حل یک معادله دیفرانسیل معمولی در فضای عملکرد به جای تکرار در فضای عملکرد پیروی می کنند. رابطه دومی با سابق در اصل رابطه ای با روش اویلر بارابطه معادله دیفرانسیل است.

فرمول قضیه همیلتون [ ویرایش ]

جمله زیر در همیلتون (1982) ظاهر می شود :

اجازه دهید F و G باشد اهلی فضاهای فریشه ، اجازه دهید U ⊂ F باشد یک زیر مجموعه باز، و اجازه دهید{\ displaystyle P: U \ rightarrow Gیک نقشه اهلی صاف باشید. فرض کنید که برای هر یک{\ displaystyle f \ in U خطی سازی{\ displaystyle dP_ {f}: F \ to G به عنوان یک نقشه غیرقابل برگشت است و خانواده وارونها ،display \ نمایشگر U \ برابر G \ تا F ،کاملاً صاف است سپس P به صورت محلی غیرقابل برگشت است و هر محلی معکوس استP ^ {{- 1} نقشه هموار صاف است

به طور مشابه ، اگر هر خط بندی فقط تزریقی باشد ، و خانواده ای از وارونه های سمت چپ ، کوبی صاف باشند ، P پس از آن به صورت محلی تزریقی است. و اگر هر یک از این خط ها فقط بصری باشند ، و خانواده ای از وارون های راست ، نرم و صاف باشند ، پس P بصورت محلی از لحاظ معکوس کاملاً صاف است .

فاصله های Tame Fréchet [ ویرایش ]

یک فضای طبقه بندی شده Fréchet از داده های زیر تشکیل شده است:

  • فضای بردار F
  • مجموعه ای قابل توجه از مضراب\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {n}: F \ to \ mathbb {R} به طوری که

\ displaystyle \ | f \ | _ {0} \ leq \ | f \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {2} \ leq \ cdots

برای همه {\ displaystyle f \ in F. یکی این موارد را ملزم به برآورده کردن شرایط زیر می کند:

  • اگر f \ in F چنین است که \ displaystyle \ | f \ | _ {n} = 0 برای همهn = 0،1،2 ، \ ldots  سپسf = 0
  • اگر {\ displaystyle f_ {j} \ در F دنباله ای است که برای هر کدام n = 0،1،2 ، \ ldots  و همه \ varepsilon> 0 وجود دارد {\ displaystyle N_ {n ، \ varepsilon به طوری که \ displaystyle j، k> N_ {n، \ varepsilon} دلالت دارد،\ displaystyle \ | f_ {j} -f_ {k} \ | _ {n} <\ varepsilon، سپس وجود دارد f \ in Fبه گونه ای که برای هر n ، یکی دارد

\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ | f_ {j} -f \ | _ {n} = 0.

در صورت برآورده شدن شرط زیر ، چنین فضای طبقه بندی شده Frecchet رام می شود:

  • وجود دارد یک فضای باناخ وجود دارد B و نقشه های خطی L : F → Σ ( B ) و M : Σ ( B ) → F به طوری که M یک وارون راست است L ، و به طوری که:
  • r و b وجود دارد به گونه ای که برای هر n > b یک عدد C n به گونه‌ای است که وجود دارد

\ displaystyle \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} e ^ {nk} \ | L (f) _ {k} \ | _ {B} \ leq C_ {n} \ | f \ | _ r + n}

برای هر f ∈ F ، و

\ displaystyle \ | M (\ {x_ {i} \}) \ | _ {n} \ leq C_ {n} \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} e ^ {(r + n) k } \ | x_ {k} \ | _ {B}

برای هر { x i } ∈Σ ( B ).

در اینجا Σ ( B ) نشان دهنده فضای برداری از توالی کاهش نمایی در B ، یعنی

\ displaystyle \ Sigma (B) = {\ Big \} {\ text {نقشه}} x: \ mathbb {N} \ به B \ text {st}} \ sup _ {k \ in \ mathbb {N }} e ^ {nk} \ | x_ {k} \ | _ {B} <\ infty {\ متن {برای همه \ n \ in \ mathbb {N} {\ Big \}}.

زحمت تعریف با مثال های اولیه فضاهای کاملاً درجه بندی شده Fréchet قابل توجیه است:

  • اگر M یک منیفولد صاف جمع و جور (با یا بدون مرز) باشد ، پس از آنکه به هر یک از ساختارهای درجه بندی زیر داده شود ، C ∞ ( M ) یک فضای فرتی مرتب و مرتب است.
  • گرفتن\ displaystyle \ | f \ | _ {n}می شود C N -norm از F
  • گرفتن\ displaystyle \ | f \ | _ {n}برای C α ، N- α از f برای α α ثابت باشد
  • گرفتن\ displaystyle \ | f \ | _ {n}می شود W N ، P -norm از F برای ثابت ص
  • اگر M صاف منیفولد-با-مرز جمع و جور است پس از آن C 0 ∞ ( M )، فضای توابع صاف که مشتقات همه ناپدید در مرز یک فضای فریشه سالم درجه بندی است، با هر یک از موارد فوق ساختارهای درجه بندی.
  • اگر M یک منیفولد صاف جمع و جور باشد و V → M یک بسته نرم افزاری بردار صاف است ، در این صورت فضای بخش های صاف ، با هر یک از ساختارهای درجه بندی شده ، مطبوع است.

برای تشخیص ساختار ترسیمی این مثالها ، یک توپولوژیکی M را در یک فضای اقلیدسی تعبیه می کند ، B به عنوان فضای توابع L 1 در این فضای اقلیدسی قرار می گیرد و نقشه L با محدودیت مضاعف تبدیل فوریه تعریف می شود. جزئیات در صفحات 133-140 مقاله همیلتون است.

به طور مستقیم همانطور که در بالا ارائه شد ، معنی و طبیعی بودن شرط "اهلی" کاملاً مبهم است. اگر نمونه های اساسی ذکر شده در بالا را دوباره بررسی کنیم ، وضعیت مشخص می شود که در آن توالی های مربوط به "کاهش نمایی" در فضاهای Banach از محدودیت تبدیل فوریه ناشی می شود. به یاد بیاورید که یکنواختی یک عملکرد در فضای اقلیدسی ارتباط مستقیمی با میزان پوسیدگی تبدیل فوریه آن دارد. بنابراين "طراوت" به عنوان شرايطي در نظر گرفته شده است كه امكان انتزاع انديشه "عملگر هموار ساز" را در فضاي عملكرد مي دهد. با توجه به فضای Banach B و فضای مربوطه Σ ( B ) از توالی های کاهشی نمایی در B ، آنالوگ دقیق یک عملگر صاف کننده را می توان به روش زیر تعریف کرد.: ℝ → ℝ یک عملکرد صاف است که بر روی (-∞ ، 0) از بین می رود ، به طور یکسان برابر با یک در (1 ، ∞) است ، و مقادیر را فقط در فاصله زمانی می گیرد [0،1]. سپس برای هر عدد واقعی t را تعیین کنید θ t : Σ ( B ) → Σ ( B ) توسط

{\ displaystyle (\ theta _ {t} x) _ {i} = s (ti) x_ {i}.}

اگر کسی ایده شماتیکی از اثبات ابداع شده توسط نش و به ویژه استفاده او از اپراتورهای هموار کننده را بپذیرد ، شرایط "اهلی" پس از آن منطقی می شود.

نقشه های مرتب سازی صاف [ ویرایش ]

بگذارید F و G فضاهای Fréchet را درجه بندی کنند. اجازه دهید U یک زیر مجموعه باز از F ، به این معنی که برای هر F در U است N و ε> 0 به طوری که || f 1 || n <ε دلالت بر این دارد که f 1 نیز در U موجود است .

بگذارید P : U → G یک نقشه صاف باشد. یکی می گوید که آن را اهلی اگر برای همه ک ∈ℕ مشتق D K P : U × F × ⋅⋅⋅ × F → G ارضا موارد زیر است:

  • r و b وجود دارد به گونه ای که n > b دلالت دارد

\ displaystyle \ big \ |} D ^ {k} P (f، h_ {1}، \ ldots، h_ {k}) {\ big \ |} _ {n} \ leq C_ {n} {\ Big (} \ | f \ | _ {n + r} + \ | h_ {1} \ | _ {n + r} + \ cdots + \ | h_ {k} \ | _ {n + r} +1 {\ بزرگ )}}

برای همه ( F ، ساعت 1 ، ...، ساعت K ) ∈ U × F × ⋅⋅⋅ × F .

مثال اساسی می گوید ، در یک منیفولد صاف و کاملاً جمع و جور ، یک عملگر دیفرانسیل جزئی غیر خطی (احتمالاً بین بخشهای بسته های بردار بر روی مانیفولد) یک نقشه اهلی صاف است. در این حالت ، r را می توان سفارش اپراتور دانست.

اثبات قضیه [ ویرایش ]

به S اجازه دهید S را از خانواده نقشه برداری معکوس U × G → F نشان دهد . مورد خاص را در نظر بگیرید که F و G فضاهای توالی کاهشی نمایی در فضاهای Banach است ، یعنی F = Σ ( B ) و G = Σ ( C ). (مشاهده این مسئله که اثبات مورد کلی کافی است) دشوار نیست.) برای یک عدد مثبت c ، معادله دیفرانسیل معمولی را در Σ ( B ) در نظر بگیرید.

\ displaystyle f '= cS {\ Big () \tata _ {t} (f)، \ theta _ {t} {\ big (} g _ {\ infty} -P (f) {\ big)} {\ بزرگ )}.}

همیلتون نشان می دهد که اگر P (0) = 0 و گرم ∞ به اندازه کافی کوچک در Σ (است C )، و سپس راه حل این معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه F (0) = 0 به عنوان یک نقشه برداری [0 وجود دارد، ∞) → Σ ( B ) ، و آن f ( t ) به عنوان t ∞ ∞ به محلول P (f) = g ver تبدیل می شود .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Nash%E2%80%93Moser_theorem