بطری کلاین

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نمایانگر دو بعدی بطری کلاین که در فضای سه بعدی غوطه ور است

ساختار بطری سه بعدی کلاین

در توپولوژی ، شاخه ای از ریاضیات ، به بطری کلاین ( / K L aɪ N / ) یک مثال از یک است غیر orientable سطح ؛ این یک منیفولد دو بعدی است که علیه آن نمی توان یک سیستم برای تعیین یک بردار معمولی تعریف کرد. به طور غیررسمی ، این یک سطح یک طرفه است که اگر به آن سفر کنید ، می توانید در حالی که مسافر را وارونه می چرخید ، به نقطه مبدا بازگردید. سایر اشیاء غیرقابل هدایت مرتبط عبارتند از: نوار Möbius و صفحه پروژکتور واقعی. در حالی که یک نوار Möbius یک سطح با مرز است ، یک بطری کلاین هیچ مرزی ندارد (برای مقایسه ، یک کره یک سطح جهت دار و بدون مرز است).

بطری کلاین برای اولین بار در سال 1882 توسط ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین توصیف شد . شاید در ابتدا Kleinsche Fläche ("سطح Klein") نامیده شده و سپس به عنوان Kleinsche Flasche ("بطری کلاین") تفسیر نادرست شود که در نهایت ممکن است منجر به تصویب این اصطلاح در زبان آلمانی نیز شده باشد. [1]

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

مربع زیر یک چند ضلعی اساسی بطری کلاین است. ایده این است که مانند نمودارهای زیر ، لبه های رنگی مربوطه را با فلش ها مطابقت دهید. توجه داشته باشید که این یک چسب "انتزاعی" است به این معنا که تلاش برای تحقق این امر در سه بعد منجر به یک بطری کلین با خود می شود.

برای ساخت بطری کلاین ، فلش های قرمز مربع را به هم چسبانید (طرف چپ و راست) و در نتیجه یک استوانه بکشید. برای چسباندن انتهای استوانه به هم به گونه ای که فلش های موجود در حلقه ها مطابقت داشته باشد ، یک سر آن یک طرف از کنار سیلندر عبور می کند. این دایره ای از تقاطع خود را ایجاد می کند - این غوطه وری بطری کلاین در سه بعد است.

این غوطه وری برای تجسم بسیاری از خواص بطری کلاین مفید است. به عنوان مثال ، بطری کلاین هیچ مرزی ندارد ، جایی که سطح به طور ناگهانی متوقف می شود ، و غیر جهت دار است ، همانطور که در یک طرفه بودن غوطه وری منعکس می شود.

بطری های کلاین را در موزه علوم لندن غوطه ور کرد

یک بطری کلین دست ساز

مدل فیزیکی رایج یک بطری کلاین ساختاری مشابه است. موزه علم لندن دارای مجموعه ای از شیشه ای دست دمیده بطری کلاین بر روی صفحه نمایش، برگزاری نمایشگاه تغییرات بسیاری در این موضوع توپولوژیکی. این بطری ها از سال 1995 تهیه شده و توسط آلن بنت برای موزه ساخته شده است . [2]

بطری کلاین ، به طور مناسب ، خود را از هم جدا نمی کند. با این وجود ، راهی برای تجسم بطری کلاین وجود دارد که در چهار بعد موجود است. با افزودن یک بعد چهارم به فضای سه بعدی ، می توان خود تقاطع را از بین برد. به آرامی یک قطعه از لوله حاوی تقاطع را در طول بعد چهارم ، بیرون از فضای اصلی سه بعدی فشار دهید. یک قیاس مفید در نظر گرفتن یک منحنی خود تلاقی در هواپیما است. تقاطع خود را می توان با بلند کردن یک رشته از هواپیما از بین برد.

تکامل زمان یک شکل کلاین در فضای xyzt

برای روشن شدن فرض کنید که ما زمان را به عنوان بعد چهارم اتخاذ می کنیم. در نظر بگیرید که چگونه می توان شکل را در فضای xyzt ساخت . تصویر همراه ("تکامل زمان ...") یک تحول مفید از شکل را نشان می دهد. در t = 0 دیوار از جوانه جایی در نزدیکی نقطه "تقاطع" جوانه می زند. بعد از اینکه شکل برای مدتی رشد کرد ، اولین بخش دیوار شروع به نزول می کند ، مانند گربه چشایر ناپدید می شود اما لبخند همیشگی خود را پشت سر می گذارد. تا زمانی که جبهه رشد به جایی می رسد که جوانه بوده است ، هیچ چیز برای تقاطع وجود ندارد و رشد بدون سوراخ کردن ساختار موجود کامل می شود. 4-شکل تعریف شده در فضای 3 بعدی وجود ندارد اما به راحتی در 4 فضا قابل درک است.

بطور رسمی ، بطری کلاین فضای کمتری است که به عنوان مربع [0،1] × [0،1] با طرفین مشخص شده توسط روابط (0 ، y ) ~ (1 ، y ) برای 0 ≤ y ≤ 1 و ( x ، 0) ~ (1 - x ، 1) برای 0 ≤ x ≤ 1 .

خواص [ ویرایش ]

مانند نوار مبیوس ، بطری کلاین یک مانیفولد دو بعدی است که دارای جهت گیری نیست . برخلاف نوار Möbius ، بطری کلاین یک مانیفولد بسته است ، به این معنی که یک منیفولد جمع و جور و بدون مرز است. در حالی که نوار Möbius را می توان در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 تعبیه کرد ، بطری کلاین نمی تواند. با این حال می توان آن را در R 4 جاسازی کرد .

بطری کلاین را می توان به عنوان یک دسته فیبر بر روی دایره S 1 ، با فیبر S 1 ، به شرح زیر مشاهده کرد: یکی مربع (ماژول لبه شناسایی رابطه هم ارزی) را از بالا گرفته تا E ، فضای کل ، در حالی که فضای پایه B توسط فاصله واحد در y ، مدول 1 ~ 0 داده می شود . طرح π: E → B سپس توسط π ([ x ، y ]) = [ y ] داده می شود .

بطری کلاین می تواند ساخته شود (در یک فضای چهار بعدی، چرا که در فضای سه بعدی آن را نمی تواند بدون اجازه دادن به سطح را به خود همدیگر را قطع انجام می شود) با پیوستن به لبه های دو موبیوس نوار با هم، همانطور که در زیر توضیح داده لیمریک توسط لئو موزر : [3]

یک ریاضیدان به نام کلاین
فکر کرد که گروه مبیوس الهی بود.
او گفت: "اگر
لبه های دو را چسب
بزنید ، مانند من ، یک بطری عجیب خواهید گرفت."

ساخت و ساز اولیه از بطری کلاین با شناسایی لبه مقابل یک مربع نشان می دهد که بطری کلاین می توان با توجه به پیچیده CW ساختار با یک 0 سلول P ، دو 1-سلول های C 1 ، C 2 و 2 سلول D . آن مشخصه اویلر بنابراین 1 - 2 + 1 = 0 . همگنورفیسم مرزی توسط ∂ D = 2 C 1 و ∂ C 1 = ∂ C 1 = 0 داده شده است و بازده گروههای همسانی بطری کلاین K را H قرار می دهد.0 ( K ، Z ) = Z ، H 1 ( K ، Z ) = Z × ( Z / 2 Z ) و H n ( K ، Z ) = 0 برای n > 1 .

است 2-1 وجود دارد را پوشش نقشه از چنبره به بطری کلاین، به دلیل دو نسخه از منطقه اساسی از بطری کلاین، یکی بودن در کنار تصویر آینه از دیگر قرار می گیرد، عملکرد یک منطقه اساسی از چنبره. پوشش جهانی از هر دو چنبره و بطری کلاین هواپیما است R 2 .

گروه اساسی از بطری کلاین می تواند به عنوان تعیین گروهی از تحولات عرشه از پوشش جهانی و دارای ارائه 〈 ، ب | AB = ب -1 〉 .

شش رنگ برای رنگ آمیزی هر نقشه روی سطح بطری کلاین کافی است. این تنها استثناء بر حدس Heawood است ، عمومی سازی از قضیه چهار رنگ ، که به هفت مورد نیاز است.

یک بطری کلاین بهم متصل به دو فضای پروژکتوری هومومورف است . همچنین یک کره به علاوه دو کلاه متقاطع هومومورف است .

هنگام تعبیه در فضای اقلیدسی ، بطری کلاین یک طرفه است. با این حال ، 3 فضای توپولوژیکی دیگری نیز وجود دارد و در برخی از نمونه های غیرمجاز ، یک بطری کلاین به گونه ای تعبیه شده است که به صورت دو طرفه باشد ، هرچند به دلیل ماهیت فضای آن ، غیرمترقبه باقی می ماند. [4]

Dissection [ ویرایش ]

از بین بردن بطری کلاین نوارهای Möbius به وجود می آید.

جدا کردن یک بطری کلاین به نیمه در امتداد صفحه تقارن آن منجر به دو نوار آینه ای Möbius می شود یعنی یکی با نیم پیچ چپ و دیگری با نیم پیچ دست راست (یکی از این موارد در سمت راست تصویر). . به یاد داشته باشید که تقاطع تصویر واقعاً وجود ندارد.

منحنی های ساده بسته [ ویرایش ]

یکی از توضیحات در مورد انواع منحنی های بسته بسته که ممکن است در سطح بطری کلاین ظاهر شود ، با استفاده از اولین گروه همولوژی بطری کلاین محاسبه شده با ضرایب عدد صحیح ارائه شده است. این گروه از نظر Z × Z 2 ایزومورف است. برای بازگشت به جهت گیری ، تنها کلاس های همسانی که حاوی منحنی های بسته ای ساده هستند به شرح زیر است: (0/0) ، (1،0) ، (1،1) ، (2،0) ، (0،1). اگر به عقب برگردید از جهت یك منحنی بسته ساده ، اگر در یكی از دو ضربدری كه بطری كلین را تشکیل می دهد قرار دارد ، در كلاس هومولوژی (1،0) یا (1،1) قرار دارد. اگر بطری کلاین را به دو نوار Möbius برش دهد ، در کلاس هومولوژی (2،0) است. اگر بطری کلاین را به یک ناحیه حلقوی برش دهد ، در کلاس هومولوژی (0،1) قرار دارد. و اگر یک دیسک محدود باشد ، آن را در کلاس هومولوژی (0/0) قرار می دهید.

پارامتر کردن [ ویرایش ]

غوطه وری "شکل 8" از بطری کلاین.

سطح مقطع کلوچه Klein با استفاده از منحنی شکل هشت ( اشیای قیمتی Gerono ).

شکل 8 غوطه وری [ ویرایش ]

برای غوطه ور شدن شکل "8" یا "شیرینی" از بطری کلاین ، می توان با یک نوار Möbius شروع کرد و آنرا پیچ کرد تا لبه به خط میانی برسد. از آنجا که فقط یک لبه وجود دارد ، می تواند خود را در آنجا ملاقات کند ، و از خط میانی عبور کند. این پارامتر به ویژه بسیار ساده به عنوان یک غرفه "شکل 8" با نیم پیچ و تاب دارد:

$\ fill {تراز} x & = \ چپ (r + \ cos \ frac {\ theta} {2} \ sin v - \ sin \ frac {\ theta} {2} \ sin 2v \ Right) \ cos \ theta \ \ y & = \ left (r + \ cos \ frac {\ theta} {2} \ sin v - \ sin \ frac {\ theta} {2} \ sin 2v \ Right) \ sin \ theta \\ z & = \ sin \ frac {\ theta} {2} \ sin v + \ cos \ frac {\ theta} {2} \ sin 2v \ end {تراز کردن}$

برای 0 ≤ θ <2π ، 0 ≤ v <2π و r > 2.

در این غوطه وری ، دایره تقاطع خود (جایی که گناه ( v ) صفر است) یک دایره هندسی در صفحه xy است. ثابت ثابت r شعاع این دایره است. پارامتر θ زاویه را در صفحه xy و همچنین چرخش شکل 8 می دهد و v موقعیت اطراف مقطع 8 شکل را مشخص می کند. با پارامتر کردن فوق ، سطح مقطع یک منحنی 2: 1 Lissajous است .

4-D غیر متقاطع [ ویرایش ]

یک پارامتر 4-D غیر متقاطع را می توان بعد از توروس تخت مدل کرد :

$\ \ شروع {تراز} x & = R \ چپ (\ cos \ frac {\ theta} {2} \ cos v- \ sin \ frac {\ theta} {2} \ sin 2v \ Right) \\ y & = R \ left (\ sin \ frac {\ theta} {2} \ cos v + \ cos \ frac {\ theta} {2} \ sin 2v \ Right) \\ z & = P \ cos \ theta \ left (1+ \ epsilon} \ sin v \ Right) \\ w & = P \ sin \ theta \ left (1 + {\ epsilon} \ sin v \ Right) \ end تراز کردن}$

جایی که R و P ثابتهایی هستند که نسبت ابعاد را تعیین می کنند ، θ و V شبیه به آنچه در بالا تعریف شده است. v موقعیت اطراف شکل -8 و همچنین موقعیت موجود در صفحه xy را تعیین می کند. θ زاویه چرخش شکل 8 و موقعیت اطراف صفحه zw را تعیین می کند. ε هر ثابت کوچک است و ε گناه v یک دست انداز کوچک وابسته به v در فضای zw است تا از تقاطع خود جلوگیری کند. Vبرجستگی باعث می شود تا خود متقاطع شکل 2-D / planar شکل 8 به یک "تراشه سیب زمینی" به سبک 3 بعدی شکل یا زین در فضای xyw و xyz منتقل شود. هنگام ε = 0 تقاطع خود یک حلقه در صفحه zw <0، 0، cos θ ، sin θ > است.

لوله مجهز به torus 3D toros / 4D Möbius [ ویرایش ]

غوطه وری غرق در بطری کلاین.

torus pinched شاید ساده ترین پارامتر کردن بطری کلاین در سه بعد و چهار بعد باشد. این طوسی است که در سه بعد شلاق می زند و از یک طرف خود را پشت سر می گذارد. متأسفانه ، در سه بعد این پارامتریزه دارای دو نقطه خرج کردن است که باعث می شود برای بعضی از برنامه ها نامطلوب شود. در چهار بعد دامنه z به دامنه w می چرخد و هیچ تقاطع و نقاط سوراخ وجود ندارد.

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} x (\ تتا ، \ varphi) و = (R + r \ cos \ تتا) \ cos {\ varphi} \\ y (\ تتا ، \ varphi) و = (R + r \ cos \ theta) \ sin \ varphi} \\ z (\tata، \ varphi) & = r \ sin \ theta \ cos \ left ({\ frac {\ varphi {2}} \ Right) \\ w (\tata ، \ varphi) & = r \ sin \ theta \ sin \ left ({\ frac {\ varphi} {2}} \ Right) \ end {تراز شده}}}$

می توان این را به عنوان لوله یا استوانه ای دید که مانند یک توروس پیچیده می شود ، اما سطح مقطع دایره ای آن در چهار بعد می چرخد و "پشت" را همانطور که دوباره وصل می شود ، نشان می دهد ، دقیقاً همانطور که یک مقطع نوار Mbius قبل از اتصال مجدد می چرخد. طرح بصری سه بعدی از این ، برج باریک نشان داده شده در بالا است. دقیقاً همانطور که یک نوار Musbius زیرمجموعه ای از یک torus solid است ، لوله Möbius زیرمجموعه ای از یک کروی بسته شده toroidally ( کروی جامد ) است.

شکل بطری [ ویرایش ]

پارامتر کردن غوطه وری 3 بعدی بطری خود پیچیده تر است. در اینجا نسخه ای که توسط رابرت اسرائیل یافت شده است: [ نیاز به استناد ]

بطری کلین با شفافیت جزئی

${\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} x (u ، v) = - & {\ frac {2} {15}} \ cos u \ left (3 \ cos {v} -30 \ sin {u} +90 \ cos ^ {4} {u} \ sin {u} \ Right .- \\ & \ left.60 \ cos ^ {6} {u} \ sin {u} +5 \ cos {u} \ cos {v \ sin {u} \ Right) \\ y (u، v) = - & {\ frac {1} {15}} \ sin u \ left (3 \ cos {v} -3 \ cos ^ {2} u} \ cos {v} -48 \ cos ^ {4} {u} \ cos {v} +48 \ cos ^ {6} {u} \ cos {v} \ درست .- \\ & 60 \ sin {u +5 \ cos {u} \ cos {v} \ sin {u} -5 \ cos ^ {3} {u} \ cos {v} \ sin {u} - \\ & \ left.80 \ cos ^ {5} {u} \ cos {v} \ sin {u} +80 \ cos ^ {7} {u} \ cos {v} \ sin {u} \ Right) \\ z (u، v) = & {\ frac {2} 15}} \ left (3 + 5 \ cos {u} \ sin {u} \ Right) \ sin {v} \ end {تراز شده}}}$

برای 0 ≤ u <π و 0 ≤ v <2π.

کلاس های هموتوپی [ ویرایش ]

تعبیه های منظم سه بعدی بطری کلاین در سه کلاس هموتوپی منظم قرار می گیرند (چهار مورد در صورت نقاشی یکی از آنها). [5] این سه نماینده هستند

بطری کلاین "سنتی"
بطری شکل Klein با دست چپ
بطری دست راست شکل -8 کلاین

تعبیه بطری Klein سنتی دستاورد است . تعبیه شکل 8 به صورت کایرال است (تعبیه کردن torus pinched در بالا به طور مرتب انجام نمی شود زیرا دارای نقاط خرابکاری است بنابراین در این بخش ربطی ندارد). سه تعبیه بالا در سه ابعاد به راحتی قابل تبدیل به یکدیگر نیستند. اگر بطری Klein سنتی به طول انجام شود ، به دو نوار مخالف کایرال Möbius تجزیه می شود.

اگر یک بطری Klein شکل دست چپ سمت چپ بریده شود ، آن را به دو نوار Musbius در سمت چپ ، و به طور مشابه برای بطری دست راست شکل -8 کلاین تجزیه می شود.

اگر بطری Klein سنتی به دو رنگ تزئین شده باشد ، این عمل باعث ایجاد افسردگی در آن می شود و چهار کلاس هموتوپی ایجاد می کند.

کلیات [ ویرایش ]

تعمیم بطری کلاین به جنس بالاتر در مقاله در مورد چند ضلعی اساسی آورده شده است .

در یکی دیگر از ایده ها، ساخت 3-منیفولدهای ، شناخته شده است که بطری کلاین جامد است homeomorphic به ضرب دکارتی از یک نوار موبیوس و یک بازه بسته. بطری کلاین جامد نسخه غیر orientable از است چنبره جامد ، معادل. ${\ displaystyle D ^ {2} \ بار S ^ {1}.$

سطح کلین [ ویرایش ]

سطح کلاین است، به عنوان برای سطوح ریمان ، یک سطح را با یک اطلس اجازه می دهد که انتقال نقشه با استفاده از می شود تشکیل شده ترکیب پیچیده . می توان به اصطلاح ساختار dianalytic فضا را بدست آورد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 10:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی