از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، نابرابریهای سیستولیک برای منحنیها روی سطوح نخستین بار توسط چارلز لوونر در سال 1949 مورد مطالعه قرار گرفت (منتشر نشده ؛ یادداشت را در انتهای مقاله PM Pu در '52 مشاهده کنید). با توجه به یک سطح بسته ، systole آن ، دارای سیستم علامت گذاری شده ، با کمترین طول یک حلقه تعریف می شود که تا نقطه ای از سطح آن قابل انعقاد نیست. منطقه سیستولیک یک متریک تعریف می شود منطقه نسبت / SYS 2 . سیستولیک نسبت SR مقدار متقابل سیستم است 2 / منطقه. همچنین به مقدمه هندسه سیستولیک مراجعه کنید .

 

فهرست

Torus [ ویرایش ]

کوتاهترین حلقه روی یک توروس

در سال 1949 Loewner در ثابت نابرابری خود برای معیارهای در چنبره T 2 ، یعنی که نسبت سیستولیک SR (T 2 ) است بالا توسط محدود2 / {\ sqrt {3}}، با برابری در مورد مسطح (انحنای ثابت) از توروس دو طرفه (به شبکه شش ضلعی مراجعه کنید ).

هوضای  پروژکتور حقیقی[ ویرایش ]

نتیجه مشابهی توسط نابرابری Pu برای هواپیمای واقعی پروژکتونی از سال 1952 داده شده است ، به دلیل Pao Ming Pu ، با حد بالایی π / 2 برای نسبت سیستولیک SR (RP 2 ) ، همچنین در مورد انحنای ثابت بدست آمده است.

بطری کلاین [ ویرایش ]

یک بطری کلین دستی (شبیه سازی)

برای بطری کلاین K ، باوارد (1986) حد بالایی به دست آورد\ pi / {\ sqrt {8}} برای نسبت سیستولیک:

\ mathrm {SR} (K) \ leq {\ frac {\ pi} {\ sqrt {8}}}،

بر اساس کار بلاتر از دهه 1960.

جنس 2 [ ویرایش ]

سطح محور از جنس 2 محدودیت Loewner را برآورده می کند\ mathrm {SR} (2) \ leq {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}، نگاه کنید به (Katz-Sabourau '06). مشخص نیست که آیا هر سطح از جنس مثبت محدودیت Loewner را برآورده می کند یا خیر. حدس زده شده است که همه آنها انجام می دهند. پاسخ برای جنس 20 و بالاتر توسط (Katz-Sabourau '05) تأیید کننده است.

جنس خودسرانه [ ویرایش ]

برای یک سطح بسته از جنس گرم ، Hebda و Burago (1980) نشان داد که SR نسبت سیستولیک (گرم) است بالا توسط ثابت 2. سه سال بعد محدود، میخائیل گروموف پیدا بالایی برای SR محدود (گرم) داده شده توسط یک ثابت بار

{\ frac {(\ log g) ^ {2}} {g}.

یک مرز پائین مشابه (با یک ثابت کوچکتر) توسط Buser و Sarnak به دست آمد. یعنی ، آنها سطوح هیپربولیک ریمان حسابی را با رفتار سیستول به عنوان یک زمان ثابت به نمایش گذاشتند\ log (g). توجه داشته باشید که مساحت 4π (g-1) از قضیه گاوس-بنت است ، به طوری که SR (g) به صورت نامتعارف مانند زمان ثابت رفتار کند.{\ tfrac {(\ log g) ^ {2}} {g}.

بررسی رفتار بدون علامت برای جنس بزرگ گرمسيستول سطوح هيپربوليك ثابت كننده هاي ثابتي است. بنابراین ، سطح هورویتز \ سیگما _ {گرم}تعریف شده توسط یک برج از زیر گروه های اصلی سازگاری از گروه (مثل 2،3،7) گروه مثلث هایپربولیک محدودیت را برآورده می کند

\ mathrm {sys} (\ Sigma _ {g}) \ geq {\ frac {4} {3}} \ log g،

نتیجه آنالیز نظم کواترنیون هورویتز . محدودیت مشابهی برای گروههای بخاری حسابی عمومی تر است . این نتیجه 2007 توسط میخائیل کاتز ، مری شپس و اوزی ویشن نابرابری را به دلیل پیتر سارناك و پیتر بوسر در مورد گروه های حسابی تعریف شده بهبود می بخشد.\ mathbb {Q} ، از سال 1994 ، که حاوی یک ماده افزودنی ثابت nonzero بود. برای سطوح Hurwitz از نوع اصلی سازگاری ، نسبت سیستولیک (SR (g بدون علامت است

{\ frac {4} {9 \ pi}} {\ frac {(\ log g) ^ {2}} {g}.

با استفاده از نابرابری آنتروپی کاتوک ، حد بالایی بدون علامت زیر برای SR (g) در (Katz-Sabourau 2005) یافت شد:

{\ frac {(\ log g) ^ {2}} {\ pi g}} ،

همچنین ببینید (Katz 2007) ، ص. 85. با تلفیق دو تخمین ، فرد برای رفتار بدون علامت نسبت سیستولیک سطوح ، مرزهای محکم به دست می آورد.

کره [ ویرایش ]

همچنین یک نسخه از نابرابری برای اندازه گیری های موجود در کره وجود دارد ، برای ثابت L که به عنوان حداقل طول یک ژئودزیک بسته از متریک تعریف شده است. در سال 80 ، گروموف حد پایین تر حدس زد1/2 {\ sqrt {3}}برای منطقه نسبت / L 2 . مرز پایین تر از 1/961 به دست آمده توسط کروک در سال 88 به تازگی توسط Nabutovsky ، Rotman و Sabourau بهبود یافته است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Systoles_of_surfaces