نقشه برداری در فوتبال آمریکایی نشان دادن اثبات قرار Gromov حدس منطقه پر کردن در مورد بیضوی (نگاه کنید به توضیح در زیر).

در ریاضیات ، هندسه سیستولیک مطالعه سیستولیک است ویژگیهای از منیفولدهای و polyhedra به ، به عنوان در ابتدا توسط تصور چارلز Loewner و توسعه یافته توسط میخائیل گروموف ، مایکل فریدمن ، پیتر Sarnak ، میخائیل کاتز ، لری گوث ، و دیگران، در ریاضی آن، ارگودیک ، و تظاهرات توپولوژیکی همچنین به معرفی مقدماتی کندتر در هندسه سیستولیک مراجعه کنید .

 

فهرست

مفهوم سیستول [ ویرایش ]

کوتاهترین حلقه روی یک توروس

سیستول از یک جمع و جور فضای متریک X ناوردا متریک است X ، تعریف می شود حداقل طول یک noncontractible حلقه در X (یعنی یک حلقه است که نمی توان به یک نقطه در فضای محیط قرارداد X ). به زبان فنی تر، ما طول بیش از حداقل رساندن حلقه های رایگان نمایندگی کوچک اما با اهمیت کلاسهای conjugacy در گروه اساسی از X . هنگامی که X یک نمودار است ، از سال 1947 توسط WT Tutte از اصطلاحات اصطلاحا اصطلاحاً تردد نامیده می شود.. [1] احتمالاً با الهام از مقاله Tutte ، Loewner در اواخر دهه 1940 شروع به فکر کردن در مورد سؤالات سیستولیک روی سطوح کرد و در نتیجه پایان نامه 1950 توسط دانش آموز خود Pao Ming Pu انجام شد . اصطلاح واقعی "سیستول" به خودی خود توسط مارسل برگر تا ربع قرن بعد ابداع نشده است .

ظاهراً این خط تحقیق با توجه به یادداشت رنه تام ، در گفتگو با برگر در كتابخانه دانشگاه استراسبورگ در طول سال تحصیلی 1961-62 ، اندكی پس از انتشار مقالات R. Accola و C تحریک شد. بلاتر با اشاره به این نابرابریهای سیستولیک ، گزارش شده است که توما فریاد زد: میس c'est عاشقانه! [این نتایج از اهمیت اساسی برخوردار است!]

پس از آن ، برگر موضوع را در یک سری مقالات و کتابها محبوب کرد ، که اخیراً در شماره مارس 2008 "اطلاعیه های انجمن ریاضی آمریکا" منتشر شده است (به مقاله زیر مراجعه کنید). کتابشناسی در وب سایت برای هندسه سیستولیک و توپولوژی در حال حاضر حاوی بیش از 160 مقاله است. هندسه سیستولیک یک زمینه با سرعت در حال توسعه است که شامل تعدادی از نشریات اخیر در مجلات پیشرو است. اخیراً (به مقاله 2006 كاتز و رودیاك در زیر مراجعه كنید) ، پیوند با گروه Lusternik-Schnirelmann پدیدار شده است. وجود چنین پیوندی را می توان به عنوان یک قضیه در توپولوژی سیستولیک تصور کرد .

خاصیت یک چند ضلعی متقارن متمرکز در 3 فضا [ ویرایش ]

هر محدب مرکزی متقارن چند وجهی P در R 3 اذعان می کند یک جفت مخالف (واقع در طرف مقابل) امتیاز و یک مسیر به طول L پیوستن به آنها و دروغ گفتن در مرز ∂ P از P ، رضایت

L ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {4}} {\ mathrm {منطقه}} (\ P جزئی).

فرمول جایگزین به شرح زیر است. هر بدنه محدب متقارن متقارن از سطح سطح A را می توان از طریق یک طول طول فشرده کرد\ sqrt {\ pi A}با تنگترین تناسب بدست آمده توسط یک کره. این ویژگی معادل مورد خاص نابرابری Pu است (در زیر مراجعه کنید) ، یکی از اولین نابرابریهای سیستولیک.

مفاهیم [ ویرایش ]

برای بیان یک ایده اولیه از عطر و طعم این زمینه می توان مشاهدات زیر را انجام داد. به نظر می رسد قسمت اصلی اظهارات تام به برگر که در بالا ذکر شد ، زیر باشد. هرگاه کسی با نابرابری در رابطه با متغیرهای هندسی روبرو شود ، چنین پدیده ای به خودی خود جالب است. بیشتر از این وقتی نابرابری شدید است (یعنی مطلوب). نابرابری ایزواتریمتریک کلاسیک مثال خوبی است.

یک توروس

در سؤالات سیستولیک در مورد سطوح ، هویتهای هندسی انتگرال-نقش مهمی دارند. به طور تقریبی ، یک منطقه مربوط به هویت یکپارچه و از طرف دیگر به طور متوسط ​​انرژی یک خانواده مناسب از حلقه ها وجود دارد. با نابرابری كوشی- شوارتز ، انرژی مرز بزرگی برای مربع طول است. از این رو فرد نابرابری بین ناحیه و مربع سیستول به دست می آورد. چنین رویکردی هم برای نابرابری لوور موثر است

\ mathrm {sys}} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {{\ sqrt {3}}}} \ cdot {\ mathrm {منطقه}}

برای توروس ، جایی که مورد برابری توسط مشعل تخت حاصل می شود که تحولات عرشه آنها مشبک اعداد صحیح آیزنشتاین را تشکیل می دهد ،

انیمیشن از سطح رومی که نمایانگر (P 2 ( R  در R 3 است

و برای نابرابری Pu برای فضای حقیقی پروژکتور( P 2 ( R :

\ mathrm {sys}} ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot {\ mathrm {منطقه}}،

با برابری که معیار انحنای گاوسی ثابت را نشان می دهد .

در واقع کاربرد فرمول محاسباتی برای واریانس نسخه زیر از نابرابری torus Loewner با نقص ایزوستیک است:

\ mathrm {منطقه}} - {\ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} m \ mathrm {sys}} ^ {2} \ geq {\ mathrm {var}} (f)،

در جایی که f عامل سازگاری متریک با توجه به واحد مسطح مساحت واحد در کلاس شکل دهنده آن است. این نابرابری را می توان شبیه به نابرابری بونزن با نقص ایزواتریمتریک ، تقویت نابرابری ایزواتریمتریک دانست.

اخیراً تعدادی از نابرابریهای جدید از این نوع کشف شده است ، از جمله محدوده های پایین جهانی حجم. جزئیات بیشتر در سیستولهای سطوح ظاهر می شود .

نابرابری سیستولیک گروموف [ ویرایش ]

عمیق ترین نتیجه در این زمینه است نابرابری قرار Gromov برای هموتوپی 1-سیستول از ضروری N -manifold M :

\ operatorname {sys \ pi} _ {1} {} ^ {n} \ leq C_ {n} \ operatorname {vol} (M)،

که در آن C N یک ثابت جهانی تنها بسته به ابعاد است M . در اینجا systole هموتوپی sysπ 1 با تعریف حداقل طول یک حلقه غیرقابل انعطاف در M است . منیفولد ضروری نامیده می شود اگر کلاس اساسی آن [M] نمایانگر یک کلاس غیرمذهبی در همولوژی گروه بنیادی خود باشد. اثبات شامل تغییر جدیدی به نام شعاع پر شدن است که توسط گروموف معرفی شده و به شرح زیر است.

ضریب Z یا Z 2 با توجه به اینکه آیا M دارای جهت گیری باشد ، توسط A مشخص می شود. سپس کلاس اساسی ، با عنوان [M] ، از یک منیفولد جمع و جور n و بصورت M تولید می شودH_ {n} (M؛ A) = A. با توجه به تعبیه M در فضای Euclidean E ، ما مجموعه ای قرار داده ایم

\ mathrm {FillRad}} (M \ زیر مجموعه E) = \ inf \ left \ {\ epsilon> 0 \ left | \؛ \ iota _ {\ epsilon} ([M]) = 0 \ in H_ {n ( U _ {\ epsilon} M) \ Right. \ Right \} ،

که در آن ι ε همریخت گنجاندن ناشی از گنجاندن است M در آن ε-محله U ε M در E .

برای تعریف شعاع پرشدن مطلق در شرایطی که M مجهز به یک متریک g ریمانی باشد ، گروموف به شرح زیر است. یکی از جاسازی به دلیل C. Kuratowski سوءاستفاده می کند. یکی از آنها M را در فضای باناخ (L ∞ ( M  توابع محدود بورل روی M ، مجهز به هنجار\ | \؛ \ |. یعنی ، ما یک نقطه x ∈ M را برای تابع f x ∈ L ∞ ( M ) تعریف شده با فرمول( f x (y) = d (x، y برای همه y ∈ M ، جایی که d عملکرد فاصله تعریف شده توسط متریک با مثلث نابرابری که داریمd (x، y) = \ | f_ {x} -f_ {y} \ |،بنابراین ، جابجایی به شدت ایزومتریک است ، به این معنا که فاصله داخلی و فاصله محیط با یکدیگر همخوانی دارند. چنین فضای محکم ایزومتریک غیرممکن است اگر فضای محیط یک فضای هیلبرت باشد ، حتی اگر M دایره ریمانی باشد (فاصله بین نقاط مخالف باید π باشد ، نه 2!). سپس E = L ∞ ( M ) را در فرمول بالا تنظیم می کنیم و تعریف می کنیم

{\ mathrm {FillRad}} (M) = {\ mathrm {FillRad} left \ سمت چپ (M \ زیرمجموعه L ^ {{\ infty}} (M) \ درست).

یعنی ، گروموف نابرابری شدیدی را در رابطه با سیستول و شعاع پر شدن ثابت کرد ،

{\ mathrm {sys \ pi}} _ {1} \ leq 6 \؛ {\ mathrm {FillRad}} (M) ،

معتبر برای همه منیفولدها ضروری M ؛ و همچنین نابرابری

\ mathrm {FillRad}} \ leq C_ {n} {\ mathrm {vol}} _ {n} {} ^ {{1 / n}} (M) ،

معتبر برای همه منیفولدهای بسته M .

خلاصه ای از اثبات ، بر اساس نتایج اخیر در تئوری اندازه گیری هندسی توسط S. ونگر ، که بر اساس کارهای قبلی توسط L. Ambrosio و B. Kirchheim بنا شده است ، در بخش 12.2 از کتاب "هندسه سیستولیک و توپولوژی" ارجاع شده در زیر آمده است. یک رویکرد کاملاً متفاوت در اثبات نابرابری گروموف اخیراً توسط لری گوت ارائه شده است . [2]

نابرابری پایدار گروموف [ ویرایش ]

تفاوت معنی داری بین متغیرهای 1-سیستولیک (تعریف شده از نظر طول حلقه ها) و بالاترین ، k- sistolical invariants (از نظر مناطق چرخه و غیره تعریف شده است) باید در نظر داشته باشید. در حالی که تعدادی از نابرابریهای سیستولیک بهینه ، که شامل 1 سیستول است ، اکنون به دست آمده است ، تقریباً تنها نابرابری بهینه شامل خالص ترین k -systoles بالاتر ، نابرابری بهینه 2 سیستولیک پایدار Gromov است.

\ mathrm {stsys}} _ {2} {} ^ {n} \ leq n! \؛ {\ mathrm {vol}} _ {n 2n}} ({\ mathbb {CP}} ^ {n})

برای فضای پیش بینی پیچیده ، که در آن حد بهینه توسط متریک متقارن Fubini-Study به دست آمده است ، با اشاره به پیوند مکانیک کوانتومی . در اینجا پایدار 2-سیستول یک مانیفولد ریمانی M با تنظیم تعریف می شود

{\ mathrm {stsys}} _ {2} = \ lambda _ {1} \ left (H_ {2} (M، {\ mathbb {Z}}) _ {{{\ mathbb {R}}}}، \ | \؛ \ | \ درست) ،

جایی که \ | \؛ \ |هنجار پایدار است ، در حالی که λ 1 کمترین هنجار یک عنصر غیرزوای شبکه است. فقط نابرابری پایدار گروموف چقدر استثنایی است ، فقط اخیراً مشخص شد. یعنی، کشف شد که، بر خلاف انتظار، متریک متقارن در هواپیما تصویری quaternionic است نه systolically مطلوب آن متریک، در تضاد با 2-سیستول در مورد پیچیده است. در حالی که هواپیمای پروژکتور کواترنیونیبا متریک متقارن خود دارای نسبت سیستولیک پایدار با ابعاد متوسط ​​10/3 است ، نسبت آنالوگ برای متریک متقارن 4-فضا پروژکتور پیچیده مقدار 6 را می دهد ، در حالی که بهترین حد بالایی موجود برای چنین نسبت متریک دلخواه است. در هر دو فضا 14 است. این حد بالایی مربوط به ویژگی های جبر Lie E7 است . اگر یک مانیفولد 8 با هولوگونی Spin (7) استثنایی و بتی شماره 4 وجود داشته باشد ، در واقع مقدار 14 در واقع بهینه است. منیفولد با اسپین (7) هولوگونی توسط دومینیک جویس به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است .

مرزهای پایین برای 2 سیستول [ ویرایش ]

به طور مشابه ، فقط در مورد تنها حد پایین غیرمستقیم برای k -systole با k = 2 ، نتیجه کار اخیر در تئوری سنج و منحنی های J-holomorphic است . مطالعه مرزهای پایین تر برای 2-سیستول کنفورمی 4 مانیفولد منجر به اثبات ساده تراکم تصویر نقشه دوره ، توسط جیک سلیمان شده است .

مشکل Schottky [ ویرایش ]

شاید یکی از قابل توجه ترین کاربردهای سیستولها در چارچوب مسئله Schottky باشد ، توسط P. Buser و P. Sarnak ، که Jacobians از سطوح ریمان را در بین گونه های ابلیایی به طور عمده قطبی قرار داده است ، و پایه و اساس حسابی سیستولیک را پایه گذاری می کند.

دسته Lusternik – Schnirelmann [ ویرایش ]

پرسیدن سؤالات سیستولیک اغلب سوالات را در زمینه های مرتبط تحریک می کند. بنابراین ، یک مفهوم از دسته سیستولیک منیفولد تعریف شده و مورد بررسی قرار گرفته است ، و نمایشگاهی از ارتباط با دسته Lusternik-Schnirelmann (دسته LS). توجه داشته باشید که دسته سیستولیک (و همچنین دسته LS) طبق تعریف یک عدد صحیح است. نشان داده شده است که دو دسته برای هر دو سطح و 3-منیفولد همزمان هستند. علاوه بر این ، برای 4 مانیفولد با گرایش ، دسته سیستولیک برای گروه LS محدوده پایین تری است. پس از برقراری ارتباط ، تأثیر متقابل است: نتایج شناخته شده در مورد گروه LS سوالات سیستولیک را تحریک می کند ، و بالعکس.

تغییر جدید توسط کاتز و رودیاک معرفی شده است (به تصویر زیر مراجعه کنید). از آنجایی که معلوم می شود متغیر نزدیک با دسته Lusternik-Schnirelman (دسته LS) ارتباط دارد ، به آن دسته سیستولیک گفته می شود .

دسته سيستوليك منيفولد M برحسب كيسه هاي مختلف K از M تعريف شده است . تقریباً صحبت کردن ، این ایده به شرح زیر است. با توجه به مضرب M ، فرد به دنبال طولانی ترین محصول سیستولهایی است که برای کل حجم M (بدون یک مستقل ثابت از متریک) محدودیت "بدون انحنای" می دهد . طبیعی است که متغیرهای سیستولیک پوشش M را نیز در این تعریف بگنجانید. تعداد عوامل در چنین "طولانی ترین محصول" طبق تعریف دسته سیستولیک M است .

به عنوان مثال ، گروموف نشان داد که یک n- manifold ضروری با توجه به توان n'th قدرت هموتوپی 1-سیستول مقدار محدودتری پایین را می پذیرد (بخش بالا را ببینید). از این رو نتیجه می گیرد که دسته سیستولیک یک n- manifold ضروری دقیقاً n است . در حقیقت ، برای بسته های n- manifolds ، حداکثر مقدار هر دو دسته LS و دسته سیستولیک به طور همزمان بدست می آید.

نکته دیگر در مورد وجود رابطه جذاب بین این دو دسته ، ارتباط با همیشگی بنام حجامت است. بنابراین ، طول جام واقعی برای هر دو دسته یک حد پایین تر به نظر می رسد.

دسته سیستولیک در موارد متعددی از جمله مورد منیفولیدهای با ابعاد 2 و 3 با مقادیر LS همزمان است. در بعد 4 اخیراً نشان داده شد که دسته سیستولیک برای دسته LS محدودیتی پایین است.

هندسه فشار خون سیستولیک [ ویرایش ]

بررسی رفتار بدون علامت برای جنس بزرگ g از سیستول سطوح پرکربولیک بعضی از ثابت های جالب را نشان می دهد. بنابراین، هورویتز سطوح Σ گرم تعریف شده توسط یک برج از زیرگروه همنهشتی اصلی (2،3،7) گروه مثلث هذلولی برآورده محدود

{\ mathrm {sys}} \ pi _ {1} (\ Sigma _ {g}) \ geq {\ frac {4 {3}} \ log g،

و محدودیت مشابهی برای گروههای بخاری حسابی عمومی تر است . نتیجه این نتایج در سال 2007 توسط Katz ، Schaps و Vishne نتایج پیتر سارناك و پیتر بوسر را در مورد گروههای حساب شده تعریف شده در Q ، از مقاله اصلی سال 1994 خود تعمیم می دهد (به تصویر زیر مراجعه كنید).

کتابشناسی برای سیستولهای موجود در هندسه قند خون در حال حاضر چهل مقاله دارد. نمونه های جالب توسط ارائه سطح Bolza ، quartic را کلاین ، سطح Macbeath ، نخست هورویتز سه گانه .

ارتباط با نقشه های هابیل-ژاکوبی [ ویرایش ]

خانواده ای از نابرابری های سیستولیک بهینه به عنوان کاربردی از تکنیک های بوراگو و ایوانف به دست آمده ، با بهره گیری از نقشه های مناسب هابیل-ژاکوبی ، که به شرح زیر است.

بگذارید M یک منیفولد باشد ، π = π 1 ( M ) ، گروه بنیادی آن و f : π be π ab به عنوان نقشه فراموشی آن است . بگذارید tor زیر گروه پیچشی π ab باشد. بگذارید g : π ab → π ab / tor با استفاده از پیچش از اهمیت بیشتری برخوردار باشد. واضح است ، π ab / tor = Z b ، جایی که b = b 1 ( M ). اجازه دهید φ: π → Z ب شود همریخت تشکیل شده است.

تعریف: پوشش{\ bar {M}}از مانیفولد M مربوط به زیر گروه Ker (φ) ⊂ π پوشش جهانی (یا حداکثر) آزاد آبلیان نامیده می شود.

حال فرض کنید M دارای یک معیار ریمانی است . بگذارید E فضای فرمهای هارمونیک 1 بر روی M باشد ، با E دوگانه به طور عادی با (H 1 ( M ، R  مشخص می شود. توسط یکپارچه سازی هارمونیک 1-فرم جدایی ناپذیر در امتداد مسیرهای از basepoint X 0 ∈ M ، ما یک نقشه به دایره به دست آوردن R / Z = S 1 .

به همین ترتیب ، برای تعریف نقشه M → H 1 ( M ، R ) / H 1 ( M ، Z ) R بدون انتخاب مبنایی برای زندگی شناسی ، به شرح زیر استدلال می کنیم. بگذارید x نقطه ای در پوشش جهانی باشد{\ tilde {M}از م . بنابراین x با یک نقطه از M به همراه یک مسیر c از x 0 به آن نشان داده می شود. با ادغام در مسیر c ، یک فرم خطی به دست می آوریم ،h \ to \ int _ {c} h، در E . بنابراین یک نقشه بدست می آوریم{\ tilde {M}} \ به E ^ {*} = H_ {1} (M ، \ mathbf {R}})، که ، علاوه بر این ، به یک نقشه فرود می آید

\ overline {A} _ {M}: \ overline {M} \ to E ^ {*}، \؛ \؛ c \ mapsto \ left (h \ mapsto \ int _ {c} h \ Right)،

جایی که {\ overline {M}} پوشش جهانی آبلیان رایگان است.

تعریف: انواع ژاکوبی (ژاکوبی چنبره) از M این حلقه است J 1 ( M ) = H 1 ( M ، R ) / H 1 ( M ، Z ) R

تعریف: نقشه آبل-ژاکوبی A_ {M}: M \ به J_ {1} (M) ،از نقشه بالا با عبور به قسمت های دیگر بدست می آید. نقشه Abel-Jacobi تا ترجمه های toros Jacobi بی نظیر است.

به عنوان نمونه می توان نابرابری زیر را ذکر کرد ، به دلیل D. Burago ، S. Ivanov و M. Gromov .

بگذارید M یک منیفولد n Riimannian با ابعاد n با اولین بتی با n باشد ، بطوریکه نقشه از M تا گورهای ژاکوبی آن دارای درجه غیروزارو باشد. سپس M نابرابری سیستولیک پایدار مطلوب را برآورده می کند

\ mathrm {stsys}} _ {1} {} ^ {{n}} \ leq \ gamma _ {n} {\ mathrm {vol}} _ {n} (M)،

جایی که \ گاما _ {nثابت هرمیتیت کلاسیک است .

زمینه های مرتبط ، آنتروپی حجم [ ویرایش ]

نشان داده شده است که پدیده های بدون علامت برای سیستول سطوح جنس بزرگ مربوط به پدیده های جالب ارگونجیک و خصوصیات زیرگروه های سازگار گروه های حسابی است .

نابرابری Gromov در سال 1983 برای سیستول هموتوپی ، به ویژه ، یک مرز پایین یکنواخت برای منطقه یک سطح کروی از نظر سیستول آن دلالت دارد. چنین حد و مرزها نابرابری های لوور و پو ، هرچند به روشی غیر مطلوب را تعمیم می دهد.

مقاله تركیباتویك Gromov 1983 همچنین حاوی مرزهای بدون علامت مربوط به سیستول و ناحیه می باشد كه باعث بهبود یونیواخت (در همه ابعاد معتبر) می شود.

اخیراً کشف شده است (به مقاله كاتز و سابورو در زیر مراجعه كنید) كه آنتروپی حجم h ، به همراه نابرابری بهینه A. Katok برای h ، واسطه "درست" در اثبات شفاف از عدم علامت M. Gromov محدود به نسبت سیستولیك از سطوح جنس بزرگ.

نتیجه کلاسیک A. Katok بیان می کند که هر متریک روی سطح بسته M با ویژگی منفی اویلر نابرابری بهینه مربوط به آنتروپی و منطقه را برآورده می کند.

به نظر می رسد که حداقل آنتروپی یک سطح بسته می تواند با نسبت سیستولیک بهینه آن مرتبط باشد. یعنی ، از نظر سیستول آن ، حد بالایی برای آنتروپی یک سطح سیستولیک انتهایی وجود دارد. با تلفیق این حد بالایی با حد مطلوب پایین کاتوک از نظر حجم ، اثبات جایگزین ساده تری از برآورد مجانبی گروموف برای نسبت سیستولیکی مطلوب سطوح جنس بزرگ بدست می آید. علاوه بر این ، چنین رویکرد ثابت ثباتی بهبود یافته ای در قضیه گروموف دارد.

به عنوان یک کاربرد ، این روش نشان می دهد که هر متریک روی سطح جنس حداقل 20 نابرابری توروس Loewner را برآورده می کند. این بهترین تخمین قبلی از 50 را که از برآورد Gromov حاصل شده است ، بهبود می بخشد.

پر کردن حدس منطقه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: حدس منطقه

حدس ناحيه پرشدن گروموف در يك وضعيت هيپرليپتيك ثابت شده است (رجوع كنيد به بنگرت و همكاران را در زير مشاهده كنيد).

حدس منطقه پر ادعا میکند که در میان همه پر کردن ممکن از دایره ریمانی 2π طول توسط یک سطح با اموال به شدت ایزومتریک، نیمکره دور دارای کمترین منطقه است. در اینجا دایره ریمانیان به منیفولد 1 بعدی بسته ریمانی منحصر به فرد از کل 1 جلد 2π و قطر ریمانی π π اشاره دارد.

برای توضیح حدس، ما با مشاهده است که دایره استوایی واحد 2-حوزه، شروع S 2 ⊂ R 3 ، یک دایره ریمانی S 1 از 2π طول و قطر π.

به طور دقیق تر ، عملکرد فاصله ریمانی از S 1 محدودیت فاصله ریمانی محیط در کره است. این ویژگی نه توسط imbedding استاندارد از دایره واحد در صفحه اقلیدسی، که در آن یک جفت از نقاط مخالف در فاصله 2 هستند، نه π راضی است.

ما تمام پرهای S 1 را با یک سطح در نظر می گیریم ، به گونه ای که متریک محدود که با درج دایره به عنوان مرز سطح تعریف می شود ، معیار ریمانی یک دایره به طول 2π است. قرار دادن دایره به عنوان مرز سپس تعبیه به شدت ایزومتریک دایره نامیده می شود.

در سال 1983 گروموف حدس زد که نیمکره گرد "بهترین" راه پر کردن دایره در بین تمام سطوح پر شده است.

مورد پر کردن به سادگی متصل به نابرابری Pu است . به تازگی ، پرونده پر کردن جنس -1 نیز به طور قطعی حل و فصل شده است (به مرجع بانگرت و همکاران زیر مراجعه کنید). یعنی ، معلوم می شود که می توان از یک فرمول قدیمی نیم قرن توسط J. Hersch از هندسه انتگرال سوء استفاده کرد. یعنی ، خانواده حلقه های شکل 8 را در یک فوتبال ، با نقطه تقاطع خود در استوا (در شکل ابتدای مقاله ببینید). فرمول هرش مساحت یک متریک را در کلاس کنفورماسیونی فوتبال بیان می کند ، به عنوان میانگین انرژی های حلقه های شکل 8 از خانواده. کاربرد فرمول هرش به قطر هیپرالیپتیک از سطح ریمان حدس ناحیه پر شدن را در این مورد اثبات می کند.

دیگر انشعابات سیستولیک hyperellipticity در جنس 2 شناسایی شده است.

نظرسنجی ها [ ویرایش ]

نظرسنجی های موجود در این زمینه شامل بررسی ام. برگر(1993) ، بررسی (گرو(1996 ، کتاب گرو(1999) ، کتاب پانورامیک برگر(2003) و همچنین کتاب کتز(2007) است. این منابع ممکن است به یک مبتدی کمک کند تا وارد این زمینه شود. آنها همچنین حاوی مشکلات باز برای کار کردن هستند.

همچنین مشاهده کنید