حساب تانسور

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

بخشی از یک سری مقالات درباره

حساب تانسور

فرمالیسم
ماتریس تنسور خارجی هندسی
تعاریف
مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خط انتگرال سطحی جلد انتگرال ژاکوبین حصیر

تخصصی[نمایش]

واژه نامه حساب[نمایش]

در ریاضیات ، حساب تانسور ، آنالیز تانسور یا حساب Ricci یک پسوند محاسبات بردار به زمینه های تنسور ( تانورهایی است که ممکن است در یک مانیفولد متفاوت باشد ، به عنوان مثال در زمان فضایی ).

توسط Gregorio Ricci-Curbastro و شاگردش Tullio Levi-Civita ، [1] توسط آلبرت انیشتین مورد استفاده قرار گرفت تا نظریه نسبیت عام خود را توسعه دهد . در مقابل با حساب بی نهایت ، محاسبه تانسور اجازه می دهد تا معادلات فیزیک را به شکلی مستقل از انتخاب مختصات روی مانیفولد قرار دهید.

حساب Tensor در فیزیک و مهندسی کاربردهای واقعی دارد ، از جمله انعطاف پذیری ، مکانیک پیوسته ، الکترومغناطیس (به توضیحات ریاضی میدان الکترومغناطیسی مراجعه کنید ) ، نسبیت عام (رجوع کنید به ریاضیات نسبیت عام ) و نظریه میدان کوانتومی .

هندسه تأثیرگذار شیینگ شن شن چرن با محقق اصلی محاسبات بیرونی الی کارتان ، نقش حسابگر تانسور را خلاصه می کند: [2]

در موضوع هندسه دیفرانسیل ما ، جایی که در مورد منیفولدها صحبت می کنید ، یکی از مشکلات این است که هندسه توسط مختصات توصیف می شود ، اما مختصات معنی ندارند. آنها مجاز به تحول هستند. و برای رسیدگی به این نوع شرایط ، ابزار مهمی همان به اصطلاح تجزیه و تحلیل تانسور یا حساب Ricci است که برای ریاضیدانان جدید بود. در ریاضیات شما یک تابع دارید ، عملکرد را می نویسید ، محاسبه می کنید ، یا اضافه می کنید ، یا ضرب می کنید ، یا می توانید تفاوت قائل شوید. شما چیز خیلی مشخصی دارید در هندسه وضعیت هندسی توسط اعداد شرح داده می شود ، اما می توانید شماره های خود را به طور دلخواه تغییر دهید. بنابراین برای رسیدگی به این کار ، شما نیاز به حساب Ricci دارید.

فهرست

نماد Tensor از شاخصهای بالایی و پایینی در اشیاء استفاده می کند که برای نشان دادن یک شیء متغیر به عنوان کواریانس (شاخص پایین) ، تضاد (شاخص بالایی) ، یا کواریان مخلوط و اختلاف نظر (دارای هر دو شاخص بالا و پایین) استفاده می شود. در واقع در نحو ریاضی معمولی در هنگام برخورد با سیستم های مختصات دکارتی از شاخص های کواریان استفاده می کنیم $(x_ {1} ، x_ {2} ، x_ {3})$ غالبا بدون درک این یک استفاده محدود از نحو تانسور به عنوان اجزای نمایه شده کواریانس است.

نماد Tensor اجازه می دهد تا شاخص بالایی در شیء وجود داشته باشد که با عملکردهای عادی از نحو ریاضی معمولی اشتباه گرفته شود. به عنوان مثال ، در نحو ریاضی عادی ، $\ displaystyle e = mc ^ {2} = mcc$ با این حال ، در نحو تانسور ، باید از پرانتز در اطراف یک شی استفاده شود تا آن را به قدرت تبدیل کند تا از یک شاخص تانسور در مقابل یک عملیات قدرت عادی استفاده کند. در نحو تانسور می نوشتیم ، ${\ displaystyle e = m (c ^ {1}) ^ {2} = m (c ^ {1}) (c ^ {1})}$ و ${\ displaystyle e = m (c ^ {2}) ^ {2} = m (c ^ {2}) (c ^ {2})}$ . عدد موجود در پرانتز داخلی مؤلفه تضاد را در جایی که تعداد پرانتز خارجی قدرت افزایش مقادیر را به آن متمایز می کند ، متمایز می کند. البته این فقط یک معادله دلخواه است ، می توانستیم مشخص کنیم که c یک تانسور نیست و می دانیم که این متغیر خاص نیازی به پرانتز در اطراف خود ندارد تا بتواند کیفیت c را به توان 2 برساند ، اما اگر c بردار بود. سپس می توان آن را به عنوان یک تنشور نشان داد و این تنسور باید از شاخصهای ریاضی معمولی که نشان دهنده افزایش مقدار به یک قدرت است ، متمایز شود.

مفاهیم کلیدی [ ویرایش ]

تجزیه بردار [ ویرایش ]

نمادهای اعلانگر اجازه می دهد تا یک بردار ${\ displaystyle \ vec {V}}$ به جمع بندی انیشتین تبدیل می شود که نمایانگر محصول نقطه داخلی یک بردار پایه است ( $\ displaystyle \ vec {Z}} _ {i}$ $\ displaystyle \ vec {Z}} ^ {i}$ ) با بردار مؤلفه ( $V_ {من$ یا $v ^ {من$ )

$\ displaystyle {\ vec {Z}} = V ^ {i} {\ vec {Z}} _ {i} = V_ {i} {\ vec {Z}} ^ {i}}$

هر بردار دارای دو بازنمایی متفاوت است که یکی از آنها به عنوان مؤلفه ضد تقارن یاد می شود ( $v ^ {من$ ) با پایه کواریان ( $\ displaystyle \ vec {Z}} _ {i}$ ) و دیگری به عنوان یک مؤلفه کوواریانت ( $V_ {من$ ) با مبنای متناقض ( $\ displaystyle \ vec {Z}} ^ {i}$ ) (اشیاء تانسور با تمام شاخص های بالایی به عنوان Contravariant گفته می شوند و اشیاء Tensor به این همه شاخص های پایین تر به عنوان کواریانس گفته می شوند.) نیاز به تمایز بین Contravariant و کواریانس از این واقعیت ناشی می شود که وقتی یک بردار دلخواه را با بردار پایه خود قرار می دهیم. مربوط به یک سیستم مختصات خاص ، دو روش برای تفسیر این محصول نقطه وجود دارد ، یا ما آن را به عنوان طرح بردار پایه بر روی بردار دلخواه مشاهده می کنیم ، یا ما آن را به عنوان طرح بردار دلخواه بر روی بردار پایه مشاهده می کنیم ، هر دو نمایش محصولات dot کاملاً معادل است ، اما دارای عناصر مختلف و بردارهای پایه مختلف:

$\ displaystyle {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {Z}} = {\ vec {Z}} \ cdot {\ vec {V}} = {\ vec {V}} ^ {T} {\ vec {Z}} = {\ vec {Z}} ^ {T} ve \ vec {V}} = proj _ {\ vec {Z}} ({\ vec {V}}) = proj _ {\ vec {V } ({\ vec {Z}}) = V_ {i} {\ vec {Z}} ^ {i} = V ^ {i} {\ vec {Z}} _ {i}}$

به عنوان مثال ، در فیزیک شما با یک زمینه بردار شروع می کنید ، آن را با توجه به پایه کواریانس تجزیه می کنید ، و به این ترتیب است که مختصات متناقض را بدست می آورید. در مورد مختصات دنده ای ارتونومیک ، پایه کواریان و ضد برابری یکسان هستند ، زیرا مبنای تعیین شده در این مورد فقط ماتریس هویت است ، با این حال ، برای سیستم coodinate غیر وابسته مانند قطبی یا کروی نیاز به تمایز بین تجزیه با استفاده از Contravariant است. یا پایه کوواریانت برای تولید اجزای سیستم مختصات تنظیم شده است.

تجزیه بردار کواریانت [ ویرایش ]

$\ displaystyle {\ vec {V}} = V ^ {i} {\ vec {Z}} _ {i}$

متغیر	شرح	تایپ کنید
${\ displaystyle \ vec {V}}$	وکتور	ثابت
$\ displaystyle V ^ {من}}$	اجزای ضد تقارن (مجموعه سفارش داده شده از مقیاسها)	گونه
$\ displaystyle \ vec {Z}} _ {i}$	پایه های کوواریانت (مجموعه بردارهای سفارش داده شده)	گونه

تجزیه بردار متناقض [ ویرایش ]

$\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ tilde {\ mathcal {Z}}} ^ {i}}$

متغیر	شرح	نوع
${\ displaystyle \ vec {V}}$	وکتور	ثابت
$V_ {من$	اجزای کوواریانت (مجموعه سفارش داده شده از مقیاسها)	گونه
$\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {Z}}} ^ {i}$	پایه های متعارض (مجموعه سفارش از پنهان )	گونه

تانسور متریک [ ویرایش ]

تانسور متریک ماتریسی را با عناصر مقیاس نشان می دهد ( $Z_ {ij$ یا $Z ^ {ij}$ ) و یک جسم تانسور است که با استفاده از عملیاتی به نام انقباض ، برای بالا بردن یا پایین آوردن شاخص در یک شی دیگر از تانسور استفاده می شود ، بنابراین اجازه می دهد تا یک تانسور کواریانس به یک تانسور مخالف تبدیل شود و بالعکس.

مثال پایین آوردن شاخص با استفاده از تانسور متریک:

$\ displaystyle Z_ {i} = Z_ {ij} Z ^ {j}}$

مثال بالا بردن شاخص با استفاده از تانسور متریک:

$\ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {ij} Z_ {j}}$

تانسور متریک است تعریف می شود:

$\ displaystyle Z_ {ij} = {\ vec {Z}} _ {i} \ cdot {\ vec {Z}} _ {j}}$

$\ displaystyle Z ^ {ij} = {\ vec {Z}} ^ {i} \ cdot {\ vec {Z}} ^ {j}}$

این بدان معناست که اگر ما هر ترکیب از یک بردار پایه را بگیریم و آنها را در مقابل یکدیگر قرار دهیم ، و سپس آنها را در یک ماتریس مربع قرار دهیم ، یک تنسور متریک خواهیم داشت. احتیاط در اینجا این است که کدام یک از دو بردار در جابجایی برای طرح ریزی در برابر بردار دیگر استفاده می شود ، یعنی ویژگی تمایز متریک کواریانس در مقایسه با تنسنج متریک برابری.

دو طعم متریک متریک وجود دارد: (1) تانسور متریک متناقض ( $Z ^ {ij}$ ) و (2) تانسور متریک کواریانس ( $Z_ {ij$ ) این دو طعم تانسور متریک با هویت مرتبط هستند:

$\ displaystyle Z_ {ik} Z ^ {jk} = \ delta _ {i} ^ {j}}$

برای orthonormal دستگاه مختصات دکارتی ، تانسور متریک فقط است دلتای کرونکر $\ دلتا _ {ij$ یا $\ دلتا ^ {ij$ ، که فقط یک ماتریس هویت است ، و $\ displaystyle \ delta _ {ij} = \ delta ^ {ij} = \ delta _ {j} ^ {i}}$ .

Jacobian [ ویرایش ]

علاوه بر این ، یک تنشور را می توان به راحتی از یک unbarred (x) به یک مختصات منع تبدیل کرد ( ${\ bar {x}}$ ) سیستم دارای مجموعه های مختلفی از بردارهای پایه:

$\ displaystyle f (x ^ {1} ، x ^ {2} ، \ dots ، x ^ {n}) = f {\ bigg (} x ^ {1} ({\ bar {x}}) ، x ^ {2} ({\ bar {x}}) ، \ نقطه ، x ^ {n} ({\ bar {x}}) {\ bigg) = {\ bar {f}} ({\ bar {x } ^ {1} ، {\ bar {x}} ^ {2}، \ dots، {\ bar {x}} ^ {n}) = {\ bar {f}} {\ bigg (} {\ bar {) x}} ^ {1} (x)، {\ bar {x}} ^ {2} (x)، \ dots، {\ bar {x}} ^ {n} (x) \ bigg)}}$

با استفاده از روابط ماتریس Jacobian بین سیستم مختصات منع و نامحدود ( $\ displaystyle {\ bar {J}} = J ^ {- 1}$ ) Jacobian بین سیستم منع و غیرمستقیم در تعیین بردارهای پایه کوواریانت و برابری مؤثر است ، به این ترتیب برای اینکه این بردارها وجود داشته باشند ، باید رابطه زیر را نسبت به سیستم محروم و غیرمستقیم برآورده کنند:

بردارهای متضاد ملزم به پیروی از قوانین هستند:

$\ displaystyle v ^ {i} = {\ bar {v}} ^ {r} {\ frac {\ جزئی x ^ {i} ({\ نوار {x}})} {\ جزئی {\ نوار {x } ^ {r}}}}$

$\ displaystyle {\ bar {v}} ^ {i} = v ^ {r} {\ frac {\ partial \ bar {x}} ^ {i} (x) {\ جزئی x ^ {r}} }$

بردارهای کواریانت ملزم به پیروی از قوانین هستند:

$\ displaystyle v_ {i} = {\ bar {v}} _ {r} {\ frac {\ partial \ bar {x}} ^ {i} (x) {\ جزئی x ^ {r}} }$

$\ displaystyle {\ bar {v}} _ {i} = v_ {r} {\ frac {\ جزئی x ^ {r} ({\ نوار {x}})} {\ جزئی {\ نوار {x} ^ {من}}}}$

دو طعم ماتریس Jacobian وجود دارد:

1. ماتریس J نمایانگر تغییر از مختصات غیرمستقیم به ممنوع است. برای یافتن J ، "گرادیان منع" را می گیریم ، یعنی مشتق جزئی با توجه به $\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}$ :

${\ displaystyle J = {\ bar {\ nabla}} f (x ({\ bar {x}}))}$

2. ${\ نمایشگر {\ نوار {J}}}$ ماتریس ، نمایانگر تغییر از مختصات منع به نامحدود. برای پیدا کردن ${\ نمایشگر {\ نوار {J}}}$ ما "گرادیان غیرمستقیم" را می گیریم ، یعنی مشتق جزئی با توجه به $x ^ {من$ :

$\ displaystyle {\ bar {J}} = \ nabla {\ bar {f}} ({\ bar {x} x (x))}$

بردار گرادیان [ ویرایش ]

حساب Tensor تعمیم به فرمول بردار شیب از حساب استاندارد است که در تمام سیستم های مختصات کار می کند:

$\ displaystyle {\ fill {ماتریس n \ nabla F = \ nabla _ {i} F {\ vec {Z}} ^ {i} \\ کجا ، \ nabla _ {i} F = {\ frac {\ جزئی F } {\ جزئی Z ^ {i}}} \ end {ماتریس}}$

در مقابل ، برای حساب استاندارد ، فرمول بردار شیب وابسته به سیستم مختصات در حال استفاده است (به عنوان مثال: فرمول بردار شیب دکارتی در مقابل فرمول بردار شیب قطبی در مقابل فرمول بردار شیب کروی و غیره). در حساب استاندارد ، هر سیستم مختصات بر خلاف حساب تانسور که فقط یک فرمول شیب دارد فقط فرمول مخصوص خود را دارد ، برای همه سیستم های مختصات معادل است. این امر با درک تانسور متریک که از محاسبات تانسور استفاده می کند ، امکان پذیر است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_calculus

+ نوشته شده در پنجشنبه پنجم تیر ۱۳۹۹ ساعت 2:2 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی