از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات قبل از دهه 1970 ، اصطلاح حساب دیواری به شباهت تعجب آور بین معادلات چند جمله ای به ظاهر نامربوط و برخی از تکنیک های سایه ای که برای "اثبات" آنها استفاده می شد ، اشاره داشت. این تکنیک ها توسط جان بلیسارد  ( 1861 ) معرفی شده و بعضاً از آن به عنوان روش نمادین Blissard یاد می شود . آنها اغلب به آدوارد لوکاس (یا جیمز جوزف سیلوستر ) نسبت داده می شود ، که از تکنیک بسیار استفاده کرده است. [1]

فهرست

تاریخچه کوتاه [ ویرایش ]

در دهه های 1930 و 1940 ، اریک معبد بل تلاش کرد تا محاسبات مغزی را بر روی یک سختگیرانه قرار دهد.

در دهه 1970 ، استیون رومن ، جیان کارلو روتا و دیگران محاسبات مغزی را با استفاده از کارکردهای خطی روی فضاهای چند جمله ای توسعه دادند. در حال حاضر ، محاسبات مغزی به مطالعه توالی های شفر ، از جمله توالی چند جمله ای از نوع Binomial و دنباله های Appell اشاره دارد ، اما ممکن است شامل تکنیک های مکاتبات سیستماتیک حساب دیفرانسیل محدود باشد.

حساب دیواری قرن نوزدهم [ ویرایش ]

این روش یک روش نمادین است که برای بدست آوردن هویت شامل توالی های فهرست بندی شده از اعداد با وانمود کردن اینکه شاخص ها نمایانگر هستند ، استفاده می شود . به معنای واقعی کلمه ، پوچ است و در عین حال موفقیت آمیز است: هویت های حاصل از حساب دیواره مغزی نیز می توانند به روش صحیح با روشهای پیچیده تری حاصل شوند که به معنای واقعی کلمه بدون مشکل منطقی قابل دستیابی هستند.

یک مثال شامل چند جمله ای برنولی است . به عنوان مثال ، گسترش باینومی معمولی را در نظر بگیرید (که حاوی ضریب دو جمله ای است ):

(y + x) ^ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ انتخاب k} y ^ {{nk}} x ^ {k}

و رابطه بسیار مشابه به نظر می رسد در چندجملهای برنولی :

B_ {n} (y + x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ انتخاب k} B _ {{nk}} (y) x ^ {k}.

مشتقات معمولی را نیز مقایسه کنید

{\ frac {d} x dx}} x ^ {n} = nx ^ {{n-1}}

به یک رابطه بسیار مشابه در چندجمله ای برنولی:

{\ frac {d} x dx}} B_ {n} (x) = nB _ {{n-1}} (x).

این شباهتها به شخص امکان می دهد اثبات های کبدی بسازد ، که بر روی سطح ، نمی تواند صحیح باشد ، اما به نظر می رسد به هر حال کار می کند. بنابراین ، به عنوان مثال ، با وانمود کردن که زیرنویس n  -  k نمایانگر است:

B_ {n} (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ انتخاب k} b ^ {{nk}} x ^ {k} = (b + x) ^ {n ،

و سپس تمایز ، نتیجه مطلوب حاصل می شود:

\ displaystyle B_ {n} '(x) = n (b + x) ^ {n-1} = nB_ {n-1} (x).

در بالا ، متغیر b یک "umbra" ( لاتین برای سایه ) است.

به فرمول فاضل نیز مراجعه کنید .

سری Umbral Taylor [ ویرایش ]

روابط مشابهی نیز در تئوری اختلافات محدود مشاهده شد . نسخه عمودی سریال تیلور با یک عبارت مشابه شامل تفاوت های K -th Forward ارائه شده است ]\ دلتا ^ {k} [f]یک عملکرد چند جمله ای f ،

f (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {k} [f] (0)} {k!}} (x) _ {k}

جایی که

(x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)

است نماد Pochhammer برای سقوط کالا متوالی در اینجا استفاده می شود. رابطه مشابهی باعث اختلافات عقب مانده و افزایش فاکتوریل می شود.

این سریال همچنین به عنوان سریال های نیوتن یا گسترش تفاوت های رو به جلو نیوتن شناخته می شود . قیاس به گسترش تیلور در حساب اختلافات محدود استفاده می شود .

بل و ریوردان [ ویرایش ]

در دهه های 1930 و 1940 ، اریک تمپل بل تلاش ناموفق کرد تا این نوع استدلال را از نظر منطقی سختگیرانه جلوه دهد. combinatorialist جان Riordan در کتاب خود ترکیبیاتی هویت در 1960s منتشر شده، تکنیک های مورد استفاده از این نوع گسترده.

حساب مدرن مغزی [ ویرایش ]

combinatorialist دیگر، جیان کارلو روتا ، اشاره کرد که رمز و راز ناپدید اگر کسی در نظر عملکردی خطی L در چندجمله ای در Z تعریف شده توسط

\ displaystyle L (z ^ {n}) = B_ {n} (0) = B_ {n}.}

سپس با استفاده از تعریف چند جمله های برنولی و تعریف و خطی بودن L می توان نوشت

\ displaystyle {\ آغاز {تراز شده} B_ {n} (x) & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ انتخاب k} B_ {nk} x ^ {k} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ انتخاب k} L \ left (z ^ {nk} \ Right) x ^ {k} \\ & = L \ left (\ sum _ {k = 0 ^ {n} {n \ انتخاب k} z ^ {nk} x ^ {k} \ راست) \\ & = L \ سمت چپ ((z + x) ^ {n} \ سمت راست) \ end {تراز شده}}

این باعث می شود فرد بتواند وقایع را جایگزین کندB_ {n} (x) توسط \ displaystyle L ((z + x) ^ {n})، این است که ، n را از یک متن به یک متن اضافه کنید (عملکرد اصلی حساب دیفرانسیل). به عنوان مثال ، اکنون می توانیم ثابت کنیم که:

\ displaystyle \ آغاز {تراز شده} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ انتخاب k} B_ {nk y (y) x ^ {k} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ انتخاب k} L \ left ((z + y) ^ {nk} \ Right) x ^ {k} \\ & = L \ left (\ sum _ k = 0} ^ {n {n \ انتخاب k} (z + y) ^ {nk} x ^ {k} \ درست) \\ & = L \ چپ ((z + x + y) ^ {n} \ درست) \\ & = B_ {n} (x + y). \ end {تراز شده}}

روتا بعدا اظهار داشت که سردرگمی زیادی در نتیجه عدم تمایز بین سه رابطه هم ارزی که اغلب در این موضوع اتفاق می افتد حاصل می شود ، که همه آنها با "=" مشخص شده اند.

در مقاله ای که در سال 1964 منتشر شد ، روتا برای ایجاد فرمول بازگشتی که توسط شماره های Bell که شامل پارتیشن های مجموعه های محدود است ، از روش های کبدی استفاده می کند.

در مقاله رومی و روتا که در زیر ذکر شد ، محاسبات مغزی به عنوان مطالعه جبر مغزی مشخص می شود ، که به عنوان جبر توابع خطی در فضای بردار چندجمله ای در یک متغیر x تعریف شده است ، با یک محصول L 1 L 2 از خطی. عملکردهای تعریف شده توسط

\ displaystyle \ left \ langle L_ {1} L_ {2} | x ^ {n} \ Right \ rangle = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ انتخاب k left \ left \ langle L_ 1} | x ^ {k} \ Right \ rangle \ left \ langle L_ {2} | x ^ {nk} \ Right \ rangle.}

هنگامی که توالی چند جمله ای توالی اعداد را به عنوان تصاویر y n در زیر نقشه برداری خطی L جایگزین می کند ، از این رو روش انسدادی به عنوان یک مؤلفه اساسی در نظریه های عمومی چند جمله ای ویژه Rota شناخته می شود ، و این تئوری محاسبات کبدی است که توسط برخی تعاریف جدیدتر از عبارت. [2] نمونه کوچکی از آن تئوری را می توان در مقاله در مورد توالی چند جمله ای از نوع دوجمله ای یافت . مقاله دیگر با عنوان دنباله شفر .

روتا بعداً در مقاله خود با شن ، محاسبات عمودی را به کار برد تا خصوصیات ترکیبی مختلف تجمعات را بررسی کند . [3]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Umbral_calculus