تفاضل محدود یک عبارت ریاضی از فرم است(f (x + b) − f (x + a . اگر تفاضل محدود است تقسیم b- ، یکی می شود خارج قسمت تفاوت . تقریب مشتقات با اختلاف محدود نقش اصلی را در روشهای اختلاف محدود برای حل عددی معادلات دیفرانسیل ، به ویژه مشکلات ارزش مرزی ایفا می کند .

برخی از روابط عود را می توان به عنوان معادلات اختلاف با جایگزینی نماد تکرار با اختلاف محدود نوشت .

امروزه اصطلاح "تفاوت محدود" غالباً به عنوان مترادف با تقریب اختلاف محدود در مشتقات ، بخصوص در زمینه روشهای عددی مترادف گرفته می شود . [1] [2] [3] تقریب اختلاف محدود مقدار های اختلاف متناهی در اصطلاحات استفاده شده در بالا هستند.

اختلافات محدود توسط بروک تیلور در سال 1715 معرفی شد و همچنین به عنوان اشیاء ریاضی انتزاعی در آثار جورج بولی (1860) ، LM میلن-تامسون (1933) و کرولی جردن (1939) مورد مطالعه قرار گرفت. اختلافات محدود ، منشأ آنها را به یکی از الگوریتم های جاست برگی ( حدود  1592 ) و کارهای دیگران از جمله اسحاق نیوتن ردیابی می کند . حساب رسمی اختلافات محدود را می توان به عنوان جایگزینی برای حساب بی نهایت از دیدگاه ها دید . [4]

 

فهرست

انواع [ ویرایش ]

معمولاً سه نوع در نظر گرفته شده است: اختلافات محدود رو به جلو ، عقب و مرکزی . [1] [2] [3]

تفاوت رو به جلو یک عبارت از فرم است

\ displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x + h) -f (x).

بسته به کاربرد ، فاصله h ممکن است متغیر یا ثابت باشد. در صورت حذف ، h 1 به دست می آید: (Δ [  f  ] ( x ) = Δ 1 [  f  ] ( x  .

یک اختلاف عقب از مقادیر تابع در x و x - h استفاده می کند ، به جای مقادیر x + h و  x :

\ displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh).

سرانجام ، تفاوت اصلی توسط

\ displaystyle \ delta _ {h} [f] (x) = f \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} h \ Right) -f \ left (x - {\ tfrac {1} {2 } h \ درست).

رابطه با مشتقات [ ویرایش ]

3 نوع از روش اختلاف محدود. مرکزی بهترین تقریب مشتق را دارد

تفاوت محدود غالباً به عنوان تقریب مشتق ، معمولاً در تمایز عددی مورد استفاده قرار می گیرد .

مشتق یک تابع f را در یک نقطه X توسط تعریف حد .

f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x) {h}.

اگر h به جای نزدیک شدن به صفر ، مقدار ثابت (غیر صفر) داشته باشد ، در آن صورت سمت راست معادله فوق نوشته می شود

\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x) {h}.

از این رو ، اختلاف رو به جلو که با h تقسیم می شود ، وقتی H کوچک باشد ، مشتق را تقریب می کند . خطای این تقریب را می توان از قضیه تیلور بدست آورد . ما با فرض اینکه f متفاوت است ، ما داریم

\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x) {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to }

همان فرمول تفاوت عقب افتاده را دارد:

\ displaystyle {\ frac {\ nabla _ {h} [f] (x) {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to }

با این حال ، تفاوت مرکزی (که به آن محور نیز گفته می شود) یک تقریب دقیق تر را نشان می دهد. اگر f دو بار متفاوت باشد ،

\ displaystyle {\ frac {\ delta _ {h} [f] (x) {h}} - f '(x) = O \ left (h ^ {2} \ Right).

مشکل اصلی [ استناد مورد نیاز ] با روش تفاوت مرکزی این است که توابع نوسان می تواند مشتق صفر را به همراه آورد. اگر F  ( NH ) = 1 برای N عجیب و غریب، و F  ( NH ) = 2 برای N حتی، پس از آن F  '( NH ) = 0 اگر آن را با طرح تفاوت مرکزی محاسبه می شود. این امر به ویژه اگر دامنه f گسسته باشد مشکل ساز است. همچنین مشتق متقارن را ببینید

نویسندگانی که اختلافات محدود برای آنها به معنای تقریب اختلاف محدود است ، تفاوتهای رو به جلو / عقب / مرکزی را به عنوان مقدارهای داده شده در این بخش تعریف می کنند (به جای استفاده از تعاریف گفته شده در بخش قبلی). [1] [2] [3]

تفاوت های مرتبه بالاتر [ ویرایش ]

این مقاله برای تأیید نیاز به استنادهای اضافی دارد . لطفاً با افزودن استناد به منابع معتبر ، این مقاله را بهبود بخشید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. منابع را پیدا کنید: "تفاوت نهایی"  -  اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
         ( جولای 2018 ) ( یاد بگیرید که چگونه و چه زمانی این پیام الگوی را حذف کنید )

به روش مشابه ، می توان تقریب اختلاف محدود را با مشتقات مرتبه بالاتر و اپراتورهای دیفرانسیل بدست آورد. به عنوان مثال ، با استفاده از فرمول تفاوت مرکزی فوق برای (f ′(x + h/2) , f ′(x − h/2 و با استفاده از یک فرمول اختلاف مرکزی برای مشتقات f  ′ در x ، تقریب اختلاف مرکزی مشتقات دوم f را بدست می آوریم :

مرتبه دوم مرکزی

\ displaystyle f '' (x) \ تقریبی {\ frac {\ دلتا _ {h} ^ {2} [f] (x) {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + h) -f (x) {h}} - {\ frac {f (x) -f (xh) {h}}} {h}} = {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh) {h ^ {2}}}.

به همین ترتیب می توان فرمولهای متفاوت متفاوتی را به روش بازگشتی اعمال کرد.

مرتبه دوم رو به جلو

\ displaystyle f '' (x) \ تقریبی {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x) {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + 2h) -f (x + h)} {h}} - {\ frac {f (x + h) -f (x) {h}}} {h}} = {\ frac {f ( x + 2h) -2f (x + h) + f (x)} {h ^ {2}}}.}

مرتبه دوم به عقب

\ displaystyle f '' (x) \ تقریبی {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {2} [f] (x) {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}} - {\ frac {f (xh) -f (x-2h)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x) -2f (xh) + f (x-2h)} {h ^ {2}}}.

به طور کلی، N هفتم سفارش جلو، عقب، و مرکزی تفاوت ها بر اساس ترتیب داده می شود،

رو به جلو

\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} {\ binom {n} {i}} f {\ bigl (} x + (ni) h {\ bigr)} ،}

یا برای h = 1 ،

\ Delta ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (- 1) ^ {nk} f (x + k)

به عقب

\ displaystyle \ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih) ،}

مرکزی

\ displaystyle \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f \ left (x + \ left ({\ frac {n} {2}} - i \ Right) h \ Right).

این معادلات پس از علامت جمع جمع از ضرایب دوتایی استفاده می کنند (N
i) . هر ردیفمثلث پاسکالبرای هر مقدارiضریب را فراهم می کند.

توجه داشته باشید که تفاوت اصلی ، برای n عادی ، h توسط عدد صحیح ضرب شده است. این اغلب یک مشکل است زیرا به معنای تغییر فاصله discretization است. ممکن است با در نظر گرفتن میانگین 

 δn[ f ](x − h/2) , δn[ f ](x + h/2) .

تفاوت های رو به جلو که برای یک دنباله اعمال می شود ، گاه تبدیل دگرگونی توالی نامیده می شود ، و دارای تعدادی از ویژگی های جالب ترکیبی است. اختلافات رو به جلو ممکن است با استفاده از انتگرال نورلوند- برنج ارزیابی شود . نمایش انتگرال برای این نوع سری ها جالب است ، زیرا انتگرال اغلب با استفاده از تکنیک های بصورت مجانبی یا تکنیک های زین قابل ارزیابی است. در مقابل ، ارزیابی سری عددی بسیار دشوار است برای ارزیابی عددی ، زیرا ضرایب دوتایی برای n بزرگ به سرعت رشد می کند .

رابطه این اختلافات مرتبه بالاتر با مشتقات مربوطه ساده است ،

\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}} (x) = {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac { \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x) {h ^ {n}}} + O left سمت چپ (h ^ {2} \ سمت راست).

اختلافات مرتبه بالاتر همچنین می تواند برای ایجاد تقریب بهتر استفاده شود. همانطور که گفته شد ، اختلاف مرتبه اول مشتقات مرتبه اول را تا یک ترم سفارش h تقریب می کند . با این حال ، ترکیب

\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x) - {\ frac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x) {h}} = - {\ frac {f (x + 2h) -4f (x + h) + 3f (x) {2h}

تخمین F  '( x را ) تا مدت سفارش ساعت 2 . این امر را می توان با گسترش بیان فوق در سریال تیلور یا با استفاده از حساب اختلافات محدود اثبات کرد که در زیر توضیح داده شده است.

در صورت لزوم ، اختلاف محدود می تواند در هر نقطه با ایجاد اختلاط اختلافات رو به جلو ، عقب و مرکزی محور باشد.

هسته های دلخواه [ ویرایش ]

با استفاده از جبر خطی می توان تقریب اختلاف محدود را ایجاد کرد که با استفاده از تعداد دلخواه نقاط از سمت چپ و تعداد (احتمالاً متفاوت) نقاط سمت راست نقطه ارزیابی ، برای هر مشتق سفارش. این شامل حل یک سیستم خطی است به گونه ای که گسترش تیلور از مجموع آن نقاط در نقطه ارزیابی به بهترین شکل باعث گسترش تیلور از مشتق مورد نظر می شود. چنین فرمولهایی را می توان به صورت گرافیکی روی یک شبکه شش ضلعی یا الماس نشان داد. [5]

این برای افتراق یک عملکرد در یک شبکه مفید است ، جایی که با نزدیک شدن به لبه شبکه ، باید از یک طرف نقاط کمتری و کمتری نمونه برداری کنید.

جزئیات این یادداشت ها بیان شده است .

تفاضل محدود ضرایب ماشین حساب سازه تقریب تفاضل محدود برای غیر استاندارد (و حتی غیر صحیح) استنسیل استنسیل با توجه به دلخواه و یک مرتبه مشتق مورد نظر.

خواص [ ویرایش ]

  • برای همه مثبت k و n

\ displaystyle \ Delta _ {kh} ^ {n} (f، x) = \ sum \ limit _ {i_ {1} = 0} ^ {k-1} \ sum \ limit _ {i_ {2} = 0 } ^ {k-1} \ cdots \ sum \ limit _ {i_ {n} = 0} ^ {k-1} \ Delta _ {h} ^ {n} \ left (f، x + i_ {1} h + i_ {2} h + \ cdots + i_ {n} h \ Right).

\ Delta _ {h} ^ {n} (fg، x) = \ sum \ limit _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n {k}} \ Delta _ {h} ^ {k} (f، x) \ Delta _ {h} ^ {nk} (g، x + kh).

در معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: روش اختلاف محدود

کاربرد مهم اختلافات محدود در آنالیز عددی به ویژه در معادلات دیفرانسیل عددی است که هدف از آن حل راه حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی است . ایده این است که مشتقات ظاهر شده در معادله دیفرانسیل را با اختلافات محدود که تقریباً تقریبی آنهاست جایگزین کنیم. روشهای حاصل روشهای اختلاف محدود نامیده می شوند .

کاربردهای متداول روش اختلاف محدود در رشته های علوم محاسباتی و مهندسی مانند مهندسی حرارتی ، مکانیک سیالات و غیره است.

سریال نیوتن [ ویرایش ]

سری نیوتن شامل شرایط نیوتن معادله تفاضلی رو به جلو ، به نام بعد از اسحاق نیوتن ؛ در اصل ، این فرمول درون یابی نیوتن است ، که برای اولین بار در کتاب ریاضیات Principia در سال 1687 منتشر شد ، [6] یعنی آنالوگ گسسته از گسترش مداوم تیلور ،

\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {k} [f] (a)} {k!}} \، (xa) _ k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {xa} {k}} \، \ Delta ^ {k} [f] (a)،}

که برای هر عملکرد چند جملهای f و برای بسیاری از کارکردهای تحلیلی (اما نه همه) دارای آن است (هنگامی که f از نوع نمایی باشد ، ندارد) {\ صفحه نمایش \ pi\ pi . این به راحتی مشاهده می شود ، زیرا عملکرد سینوس در چند عدد از بین می رود\ pi ؛ سری مربوط به نیوتن به طور مشابه صفر است ، زیرا تمام اختلافات محدود در این حالت صفر است. با این حال ، به وضوح ، عملکرد سینوس صفر نیست.). در اینجا ، بیان

\ displaystyle {\ binom {x} {k}} = {\ frac {(x) _ {k}} {k!}}}

است ضریب دو جمله ای ، و

(x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)

" در حال افتادن فاکتوریل " یا "فاکتوریل پایین" است ، در حالی که کالای خالی ( x ) 0 تعریف شده است 1. در این مورد خاص ، فرض واحدهای مرحله برای تغییر در مقادیر x ، h = 1 وجود دارد. از تعمیم زیر است.

توجه داشته باشید که مکاتبات رسمی این نتیجه با قضیه تیلور است . از نظر تاریخی ، این ، و همچنین هویت Chu-Vandermonde ،

\ displaystyle (x + y) _ {n = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \، (y) _ {k ،}

(پیروی از آن ، و مطابق با قضیه Binomial ) ، در مشاهدات که به سیستم حساب دیفرانسیل رسیده رسیده است .

برای نشان دادن چگونگی استفاده از فرمول نیوتن در عمل واقعی ، نخستین اصطلاحات دوبرابر کردن دنباله فیبوناچی f = 2 ، 2 ، 4 ، را در نظر بگیرید ... می توان چند جمله ای را یافت که این مقادیر را تولید کند ، با محاسبه اول جدول تفاوت ، و سپس اختلافات مربوط به x 0 (تحت تأکید) را در فرمول به شرح زیر جایگزین کنید ،

{\ شروع {ماتریس} {\ آغاز {آرایه} {| c || c | c | c |} \ hline x & f = \ Delta ^ {0} & \ Delta ^ {1 & \ Delta ^ {2} \\ \ hline 1 & {\ underline {2} }&& \\&& {\ underline {0}} & \\ 2 & 2 && {\ underline {2}} \\ &&& 2 & \\ 3 & 4 && \ \\ hline \ end {array}} & \ quad begin \ fill {تراز شده} f (x) & = Delta ^ {0} \ cdot 1+ \ Delta ^ {1} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {1}} {1 !}} + \ Delta ^ {2} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {2}} {2!}} \ quad (x_ {0} = 1) \\\\ & = 2 \ cdot 1 + 0 \ cdot {\ dfrac {x-1} {1}} + 2 \ cdot {\ dfrac {(x-1) (x-2)} {2} \ \\\\ & = 2 + (x-1) (x-2) \\\ end {تراز شده}} \ end {ماتریس}}

در مورد مراحل غیر یکنواخت در مقادیر x ، نیوتن اختلافات تقسیم شده را محاسبه می کند ،

\ displaystyle \ Delta _ {j، 0} = y_ {j}، \ qquad \ Delta _ {j، k} = {\ frac {\ Delta _ {j + 1، k-1 - \ Delta _ {j ، k-1}} {x_ {j + k} -x_ {j}}} \ quad \ ni \ quad \ left \ {k> 0، \؛ j \ leq \ max \ left (j \ Right) -k \ Right \} ، \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Delta _ {0، k}

سری محصولات ،

\ displaystyle {P_ {0}} = 1 ، \ quad \ quad P_ {k + 1} = P_ {k} \ cdot \ سمت چپ (\ xi -x_ {k} \ سمت راست) ،}

و چند جملهای حاصل شده محصول مقیاس پذیر است ، [7]

f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ left (\ xi \ Right) .

در تجزیه و تحلیل با ص اعداد adic ارزیابی ، قضیه مالر بیان می کند که این فرض که F تابع چند جمله ای است می توان تضعیف تمام راه را به این فرض که F صرفا مداوم است.

قضیه کارلسون در صورت وجود شرایط لازم و کافی را برای منحصر به فرد بودن سری نیوتن فراهم می کند. با این حال ، به طور کلی یک سری از نیوتن وجود ندارد.

سریال نیوتن به همراه سری های استرلینگ و سریال سلبرگ یک مورد خاص از سری تفاوت های کلی است که همه اینها از نظر تفاوت های رو به جلو مناسب ارزیابی شده اند.

فرمول فشرده و کمی کلی تر و گره های برابر است

\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0 {\ binom {\ frac {xa} {h}} {k}} \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {\ binom {k} {j}} f (a + jh).

حساب اختلافات محدود [ ويرايش ]

تفاوت رو به جلو را می توان به عنوان یک عملگر به نام عملگر تفاوت در نظر گرفت که عملکرد f را به Δ h [  f  ] می کشد . [8] [9] این اپراتور مقدار دارد

\ displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I،}

که در آن T ساعت است اپراتور تغییر با گام ساعت ، تعریف شده توسط T ساعت [  F  ] ( X ) = F  ( X + ساعت ) ، و من است اپراتور هویت .

تفاوت محدود سفارشات بالاتر را می توان به صورت بازگشتی به عنوان Δ تعریف کردn
ساعتΔ ساعت (Δn - 1
ساعت) . تعریف معادل دیگر Δn
ساعت= [ T h - I ] n .

تفاوت اپراتور Δ ساعت است عملگر خطی ، به عنوان مثل ارضا آن Δ ساعت [ αf + βg ] ( X ) = آلفا Δ ساعت [  F  ] ( X ) + بتا Δ ساعت [ G ] ( X ) .

همچنین یک قانون ویژه لایبنیتس را که در بالا ذکر شده است راضی می کند ، Δ h ( f  ( x ) g ( x )) = (Δ h f  ( x )) g ( x + h ) + f  ( x ) (Δ h g ( x )) . جملات مشابه اختلافات عقب مانده و مرکزی را در بر می گیرد.

بطور رسمی با استفاده از سریال تیلور با توجه به ساعت h ، فرمول را به دست می آورد

\ displaystyle \ Delta _ {h} = hD + {\ frac {1 {{2!}} h ^ {2} D ^ {2} + {\ frac {1} {3!}} h ^ {3} D ^ {3} + \ cdots = \ mathrm {e} ^ {hD} -I،

که در آن D نشان دهنده اپراتور زنجیره مشتق، نقشه برداری F به مشتق شده از آن F  ، . گسترش معتبر است که هر دو طرف در عمل توابع تحلیلی ، برای به اندازه کافی کوچک ساعت . بنابراین ، T h = e hD ، و به طور رسمی وارونه بازده نمایی

\ displaystyle hD = \ log (1+ \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} + {\ tfrac { 1 {{3} Del \ Delta _ {h} ^ {3} + \ cdots.

این فرمول بدین معناست که هر دو اپراتور هنگام اعمال چند جمله ای نتیجه یکسانی می دهند.

حتی برای توابع تحلیلی ، سری در سمت راست همگرا تضمین نمی شود. ممکن است یک سری بدون علامت باشد. با این حال ، می توان از آن برای دستیابی به تقریب های دقیق تر برای مشتق استفاده کرد. به عنوان مثال ، حفظ دو شرط اول سری ، تقریب مرتبه دوم را به f  ′ ( x ) ذکر شده در انتهای بخش ، اختلافات مرتبه بالاتر می دهد .

فرمولهای مشابه برای اپراتورهای اختلاف عقب و متمایز هستند

\ displaystyle hD = - \ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ text و}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ سمت چپ ({\ tfrac {1} {2}) \ delta _ {h} \ درست).

حساب اختلاف اختلاف محدود مربوط به محاسبه مغزي كامپيناتيك ها است . این مکاتبات کاملا سیستماتیک است با توجه به هویت سوئیچ از مقدار umbral به مکمل زنجیره خود ( ساعت → 0 محدودیت)،

\ displaystyle \ left [{\ frac {\ Delta _ {h}} {h}}، x \، T_ {h} ^ {- 1} \ Right] = [D، x] = I

تعداد زیادی از روابط دیفرانسیل رسمی حساب دیفرانسیل استاندارد شامل توابع f  ( x ) بنابراین به صورت سیستماتیک به آنالوگهای اختلاف محدود مغزی که شامل f  ( xT ) است ، می پردازند.− 1
ساعت) .

به عنوان مثال، آنالوگ umbral یک اصطلاحی X N یک تعمیم از بالا سقوط فاکتوریل (است Pochhammer K-نماد )،

\ displaystyle ~ (x) _ {n} \ equiv \ left (xT_ {h} ^ {- 1} \ Right) ^ {n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x - (n-1) h {\ bigr)} ،

به طوری که

\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h} x (x) _ {n} = n (x) _ {n-1}،}

از این رو فرمول درون یابی نیوتن فوق (با تطبیق ضرایب در گسترش یک عملکرد دلخواه f  ( x ) در چنین نمادها) و غیره.

به عنوان مثال ، سینوس کبدی است

\ displaystyle \ sin \ left (x \، T_ {h} ^ {- 1} \ Right) = x - {\ frac {(x) _ {3}} {3!}} + {\ frac {(x ) _ {5}} 5}}} - {\ frac {(x) _ {7}} {7!}} + \ cdots

همانطور که در حد پیوستار ، عملکرد ویژه عملکرد Δ ساعت/ساعت همچنین به نظر می رسد یک نمایی است ،

\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h) ^ {\ frac {x} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h}} {h } e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}}} = \ lambda e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h} ،}

و از این رو ، مبالغ فوریه از توابع پیوسته به آسانی به مبالغ فوریه فشرده نقشه برداری می شوند ، یعنی شامل همان ضرایب فوریه است که ضرب های این نمایی های پایه کبدی را ضرب می کند. [10] این umbral نمایی در نتیجه به مقدار نمایی تابع مولد از علامت Pochhammer .

به عنوان مثال ، نقش تابع دلتا دیراک به خبرنگار کروی خود ، عملکرد سینوس سینال ،

\ displaystyle \ delta (x) \ mapsto \ frac {\ sin \ left [{\ frac {\ pi} {2}} \ چپ (1 + {\ frac {x} {h}} \ Right) \ Right ]} {\ pi (x + ساعت)}} ،}

و غیره [11] معادلات اختلاف اغلب با تکنیکهای بسیار شبیه به روشهای حل معادلات دیفرانسیل قابل حل هستند .

اپراتور معکوس اپراتور اختلاف تفاوت رو به جلو ، بنابراین سپس انتگرال کروی ، مبلغ نامعین یا عملگر ضد دیفرانسیل است.

قوانین برای حسابگر اپراتورهای اختلاف محدود [ ویرایش ]

مشابه قوانین برای یافتن مشتق ، ما این موارد را داریم:

  • حکومت ثابت : اگر ج است ثابت ، پس از آن

\ displaystyle \ Delta c = 0

\ دلتا (af + bg) = a \، \ Delta f + b \، \ Delta g

تمام قوانین فوق به همان اندازه در مورد هر اپراتور اختلاف نیز اعمال می شود ، از جمله ∇ مربوط به Δ .

\ displaystyle {\ آغاز {تراز شده} \ Delta (fg) & = f \، \ Delta g + g \، \ Delta f + \ Delta f \، \ Delta g \\\ nabla (fg) & = f \، \ nabla g + g \، \ nabla f- \ nabla f \، \ nabla g \ end {تراز شده}}

\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g} right \ Right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ fill {bmatrix \ nabla f & \ nabla g \\ f & g \ end {bmatrix left} \ چپ (\ det {\ آغاز {bmatrix} g & \ nabla g \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} \ Right) ^ {- 1}}

یا

\ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ Right) = {\ frac {g \، \ nabla ff \، \ nabla g {g \ cdot (g- \ nabla g)}

\ displaystyle \ آغاز {تراز شده} \ sum _ {n = a} ^ {b} \ Delta f (n) & = f (b + 1) -f (a) \\\ sum _ {n = a ^ {b} \ nabla f (n) & = f (b) -f (a-1) \ end {تراز شده}}

به منابع مراجعه کنید. [12] [13] [14] [15]

کلیات [ ویرایش ]

  • تفاضل محدود تعمیم است که معمولا به عنوان تعریف

\ Delta _ {h} ^ {\ mu} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ mu _ {k} f (x + kh) ،

که در آن μ = ( μ 0 ،… μ N ) بردار ضریب آن است. تفاوت بی نهایت تعمیم بیشتر، که در آن جمع متناهی بالا توسط یک جایگزین است سری نامتناهی . روش دیگر تعمیم ساخت ضرایب μm k به نقطه x بستگی دارد : μ k = μ k ( x ) ، بنابراین تفاوت متناسب وزنی را در نظر می گیریم . همچنین ممکن است مرحله h وابسته به نقطه x باشد : h = ساعت ( x)) . چنین تعمیماتی برای ساخت مدول مختلف استمرار مفید هستند .

  • تفاوت تعمیم یافته را می توان به عنوان حلقه چند جمله ای R [ T ساعت ] مشاهده کرد . منجر به جبر اختلاف می شود.
  • اپراتور تفاوت به وارونگی Möbius نسبت به یک مجموعه جزئی سفارش داده شده تعمیم می یابد .
  • به عنوان یک اپراتور پیچیدگی: از طریق فرمالیسم جبری بروز ، اپراتورها تفاوت و دیگر وارونگی موبیوس را می توان با نشان پیچیدگی با یک تابع در poset، به نام تابع موبیوس μ ؛ برای عملگر تفاوت ، μ توالی است (1 ، -1 ، 0 ، 0 ، 0 ، ...).

تفاوت محدود در چندین متغیر [ ویرایش ]

تفاوت های محدود را می توان در بیش از یک متغیر در نظر گرفت. آنها در چندین متغیر مشابه مشتقات جزئی هستند .

برخی تقریب مشتقات جزئی عبارتند از:

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} f_ {x} (x ، y) & \ تقریبی {\ frac {f (x + ساعت ، y) -f (xh ، y)} {2h} \\ f_ {y } (x، y) & \ تقریبا {\ frac {f (x، y + k) -f (x، yk)} {2k \ \\ f_ {xx} (x، y) & \ تقریبی {\ frac {f (x + h، y) -2f (x، y) + f (xh، y)} {h ^ {2}}} \\ f_ {yy (x، y) & \ تقریبی {\ frac f (x، y + k) -2f (x، y) + f (x، yk)} {k ^ {2}}} \\ f_ {xy (x، y) & \ تقریبی {\ frac {f (x + h ، y + k) -f (x + h، yk) -f (xh، y + k) + f (xh، yk)} hk 4hk}}. \ end {تراز شده}}}

از طرف دیگر ، برای برنامه هایی که محاسبه f پرهزینه ترین مرحله است ، و هر دو مشتقات اول و دوم باید محاسبه شوند ، یک فرمول کارآمدتر برای مورد آخر

\ displaystyle f_ {xy} (x، y) \ تقریبی {\ frac {f (x + h، y + k) -f (x + h، y) -f (x، y + k) + 2f (x ، y) -f (xh ، y) -f (x، yk) + f (xh، yk)} hk 2hk}}،}

از آنجا که تنها مقادیر محاسبه که قبلاً برای چهار معادله قبلی لازم نیست ،

(f  ( x + h ، y + k  و( f  ( x - h ، y - k  است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference#Calculus_of_finite_differences