از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، یک اپراتور دلتا یک عملگر خطی متغیر متغیر استQ \ colon {\ mathbb {K}} [x] \ longrightarrow \ mathbb {K}} [x]در فضای برداری از چند جمله ای در یک متغیرایکسبیش از یک زمینه \ mathbb {K}  که درجه را با یک کاهش می دهد.

این را بگویمساست تغییر-equivariant معنی است که اگرg (x) = f (x + a)، سپس

{(Qg) (x) = (Qf) (x + a)}. \،

به عبارت دیگر ، اگرf" تغییر " استگرم، سپس Qf همچنین یک تغییر استQg، و همان " بردار تغییر "آ.

گفتن اینکه یک اپراتور درجه یک را کاهش می دهد به معنای این است که اگرf چند جمله ای از درجه استن، سپس  QfQf یا چند جمله ای درجه است n-1یا در صورت n = 0، Qf 0 است

بعضی اوقات اپراتور دلتا به عنوان یک تغییر خطی متغیر متغیر در چندجملهای در تعریف می شودایکس آن نقشه ها ایکسبه یک ثابت غیرزرو. به نظر می رسد ضعیف تر از تعریفی که در بالا گفته شد ، این ویژگی دوم می تواند معادل تعریف تعریف شده در چه زمانی باشد\ displaystyle \ mathbb {K}} دارای صفر مشخصه است ، زیرا معادله تغییر حالت یک شرایط نسبتاً قوی است.

 

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

(\ دلتا f) (x) = f (x + 1) -f (x) \ ،

اپراتور دلتا است.

  • تمایز با توجه به x ، نوشته شده به عنوان D ، همچنین یک اپراتور دلتا است.
  • هر عملگر فرم

\ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} c_ {k} D ^ {k}

(که در آن D N (ƒ) = ƒ ( n را ) است که N هفتم مشتق شده) باc_ {1} \ neq 0اپراتور دلتا است. نشان داده می شود که همه اپراتورهای دلتا را می توان به این شکل نوشت. به عنوان مثال ، عملگر تفاوت ارائه شده در بالا می تواند به عنوان گسترش یابد

\ Delta = e ^ {D} -1 = \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {k}} {k!}.

  • مشتق تعمیم حسابگر مقیاس زمانی که عامل اصلی اختلاف رو به جلو را با مشتقات محاسبه استاندارد متحد می کند ، یک اپراتور دلتا است.
  • در علوم رایانه و سایبرنتیک ، اصطلاح "اپراتور دلتا گسسته" (δ) معمولاً به معنای عملگر تفاوت تلقی می شود.

{(\ delta f) (x) = {{f (x + \ Delta t) -f (x) \ over {\ Delta t}}} ،

تقریب اویلر مشتق معمول با زمان نمونه مورد نظر در\ دلتا تی. فرمول دلتا در مقایسه با عملگر شیفت در نمونه گیری سریع تعداد قابل توجهی از مزیت های عددی را بدست می آورد.

چند جمله ای های اساسی [ ویرایش ]

هر اپراتور دلتا {\ نمایشگر Q}سیک توالی منحصر به فرد از "چند جملهای اساسی" دارد ، یک توالی چند جمله ای که با سه شرط تعریف شده است:

  • p_ {0} (x) = 1؛
  • p _ {{n}} (0) = 0؛
  • (Qp_ {n}) (x) = np _ {{n-1}} (x) ، \؛ \ forall n \ in {\ mathbb N.

چنین توالی چند جمله ای اساسی همیشه از نوع Binomial است و می توان نشان داد که هیچ دنباله دیگری از نوع Binomial وجود ندارد. اگر دو شرط اول بالا از بین برود ، شرط سوم می گوید این توالی چند جمله ای یک دنباله شفر است - یک مفهوم کلی تر.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Delta_operator