مجموعه پایدار [ ویرایش ]

مجموعه پایدار یک بازی (همچنین به عنوان راه حل von Neumann-Morgenstern شناخته می شود ( فون نویمان و مورگنسترن 1944 )) اولین راه حل پیشنهادی برای بازی هایی با بیش از 2 بازیکن بود. اجازه دهیدv یک بازی باشید و بگذارید یشود دو imputations ازv. سپسایکس تسلط دارد ی اگر برخی ائتلافS \ neq \ vacetset  ارضا می کند x_ {i}> y_ {i} ، \ forall ~ i \ in S و\ sum _ {{i \ in S}} x_ {i} \ leq v (S). به عبارت دیگر ، بازیکنان درس بازپرداختها را ترجیح می دهید ایکس به کسانی که از ی، و در صورت تهدید می توانند ائتلاف بزرگ را ترک کنند ی استفاده می شود زیرا بازپرداختی که به دست می آورند به خودی خود حداقل به اندازه تخصیصی که در زیر دریافت می کنند است ایکس.

مجموعه ای پایدار مجموعه ای از است imputations که ارضا دو ویژگی:

  • پایداری داخلی: هیچ بردار بازپرداخت در مجموعه پایدار توسط یک بردار دیگر در مجموعه حاکم است.
  • پایداری خارجی: تمام بردارهای بازپرداخت خارج از مجموعه ، حداقل یک بردار در مجموعه حاکم است.

فون نویمان و مورگنسترن مجموعه پایدار را مجموعه ای از رفتارهای قابل قبول در یک جامعه می دانند: هیچکدام به وضوح نسبت به دیگران ارجح نیستند ، اما برای هر رفتار غیرقابل قبول یک جایگزین ارجح است. تعریف بسیار کلی است که اجازه می دهد تا از مفهوم در طیف گسترده ای از قالب های بازی استفاده شود.

خواص [ ویرایش ]

  • یک مجموعه پایدار ممکن است وجود داشته باشد یا نباشد ( لوکاس 1969 ) ، و اگر وجود داشته باشد ، معمولاً بی نظیر نیست ( لوکاس 1992 ). پیدا کردن مجموعه های پایدار معمولاً دشوار است. این و سایر مشکلات منجر به توسعه بسیاری از مفاهیم راه حل دیگر شده است.
  • بخش مثبت بازی های تعاونی دارای مجموعه های پایدار و منحصر به فردی هستند که از هسته تشکیل شده اند ( اوون 1995 ، ص 240).
  • بخش مثبت بازی های تعاونی دارای مجموعه های پایدار و تبعیض آمیز است n-2بازیکنان حداقل در چنین مجموعه هاییn-3از بازیکنان تبعیض آمیز حذف شده است ( اوون 1995 ، ص 240).

هسته [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هسته (اقتصاد)

اجازه دهید vیک بازی باشید هسته ازv مجموعه ای از بردارهای بازپرداخت است

\ displaystyle C (v) = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {N}: \ sum _ {i \ in N} x_ {i} = v (N)؛ \ quad \ sum _ i \ in S} x_ {i} \ geq v (S)، \ forall ~ S \ subseteq N \ Right \}.}

به عبارت ، هسته اصلی مجموعه تعلقات است که تحت آن هیچ ائتلاف ارزش بیشتری از مبلغ پرداختی اعضای خود ندارد. بنابراین ، هیچ ائتلاف انگیزه ای برای ترک ائتلاف بزرگ و دریافت بازپرداخت بزرگتر ندارد.

خواص [ ویرایش ]

  • هسته از یک بازی ممکن است خالی (را ببینید قضیه بونداروا-شپلی ). بازی هایی با هسته های غیر خالی متعادل نامیده می شوند .
  • اگر غیر خالی باشد ، هسته لزوماً حاوی یک بردار منحصر به فرد نیست.
  • هسته است که در هر مجموعه ای پایدار موجود است، و اگر هسته پایدار است آن را مجموعه ای پایدار منحصر به فرد است. برای اثبات به ( دریسسن 1988 ) مراجعه کنید.

هسته اصلی یک بازی ساده با توجه به ترجیحات [ ویرایش ]

برای بازی های ساده ، تصور دیگری از هسته وجود دارد ، هنگامی که فرض می شود هر بازیکن نسبت به یک مجموعه ترجیح دارد ایکساز گزینه های دیگر. یک پروفایل یک لیست استp = (\ succ_i ^ p) _ {i \ in N ترجیحات شخصی \ succ_i ^ پ برایکس. اینجاx \ succ_i ^ py یعنی اون فرد من جایگزین را ترجیح می دهد {\ نمایشگر x}ایکس بهی در پروفایلپ. با توجه به یک بازی سادهv و یک پروفایلپ، یک رابطه غالب است\ succ _ {v} ^ {p در تعریف شده است ایکس توسط x \ succ _ {v} ^ {p} y اگر و تنها اگر ائتلاف برنده وجود دارد س (یعنی ، v (S) = 1) رضایت بخش x \ succ_i ^ py برای همه من در S. هستهC (v ، p) از بازی ساده v با توجه به مشخصات pپ تنظیمات ترجیحی مجموعه گزینه های جایگزین نشده است \ succ _ {v} ^ {p (مجموعه عناصر حداکثر ایکس با توجه به\ succ _ {v} ^ {p):

x \ در C (v ، p) اگر و فقط اگر وجود ندارد y \ in X به طوری که y \ succ _ {v} ^ {p} x.

تعداد ناکامورا از یک بازی ساده تعداد حداقل ائتلاف های برنده با تقاطع خالی است. قضیه ناکامورا بیان می کند که هستهC (v ، p) برای همه پروفایل ها خالی است پاز بدون دور (معادل آن، متعدی تنظیمات) اگر و تنها اگرایکسمتناهی و تعداد کاردینال (تعداد عناصر) از آن استایکس کمتر از تعداد ناکامورا است v. گونه ای از کومبه و میهارا می گوید هسته اصلیC (v ، p) برای همه پروفایل ها خالی است پاز موارد برگزیده که حداکثر عنصر حداکثر را دارند و اگر فقط تعداد کاردینال باشدایکس کمتر از تعداد ناکامورا استv. ( برای جزئیات بیشتر به شماره ناکامورا مراجعه کنید .)