از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک ایزومتری (یا هماهنگی ، یا تحول سازگار ) یک تحول محور از راه دور بین فضاهای متریک است ، که معمولاً فرض می شود از نظر زیبایی شناختی است . [1]

ترکیب از دو مخالف isometries همسان مستقیم است. بازتاب در یک خط ، یک ایزومتری مخالف است ، مانند R 1 یا R 2 در تصویر. ترجمه T یک ایزومتری مستقیم است: یک حرکت سفت و سخت . [2]

 

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

با توجه به فضای متریک (آزادانه ، یک مجموعه و یک نقشه برای تعیین فاصله بین عناصر مجموعه) ، ایزومتری تحولی است که عناصر را به همان یا متریک فضای دیگر نقشه برداری می کند بطوریکه فاصله بین عناصر تصویر در فضای جدید متریک قرار می گیرد. برابر است با فاصله بین عناصر موجود در فضای اصلی متریک. در یک فضای اقلیدسی دو بعدی یا سه بعدی ، دو شکل هندسی اگر با یک ایزومتری مرتبط باشند ، متناسب هستند. [3] ایزومتری که به آنها مربوط می شود یا یک حرکت سفت و سخت (ترجمه یا چرخش) یا ترکیبی از یک حرکت سفت و انعکاس است .

ایزومتری ها اغلب در سازه هایی استفاده می شوند که یک فضا در فضای دیگری تعبیه شده است. به عنوان مثال، از اتمام از یک فضای متریک M شامل همسان از M به M ' ، یک مجموعه خارج قسمت از فضای توالی کوشی در M . فضای اصلی M بدین ترتیب به صورت ایزومتریک به زیر فضای یک فضای متریک کاملاً ایزومتریک است و معمولاً با این فضای فرعی مشخص می شود. سایر سازه های تعبیه شده نشان می دهد که هر فضای متریک به طور غیرمستقیم به عنوان یک زیر مجموعه بسته از برخی از فضای بردار هنجار شده ایزومتریک است.و اینکه هر فضای کاملاً متریک کاملاً برابر است با یک زیر مجموعه بسته از فضای Banach به طور همزمانی .

یک عملگر خطی ناحیه ایزومتریک ایزومتریک در فضای هیلبرت به عنوان یک اپراتور واحد شناخته می شود .

تعاریف رسمی [ ویرایش ]

اجازه دهید X و Y باشد فضاهای متریک با معیارهای د X و D Y . نقشه F  : X → Y یک نام همسان و یا فاصله حفظ اگر به هر ، ب ∈ X یکی

{\ displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a)، f (b) \ Right) = d_ {X} (a، b).[4]

ایزومتری به صورت خودکار تزریقی است . [1] در غیر این صورت ، دو نقطه متمایز ، a و b ، می توانند در همان نقطه نقشه برداری شوند ، در نتیجه با بدیهیات تصادفی متریک d در تضاد هستند . این اثبات شبیه به اثبات این است که یک دستور جاسازی شده بین مجموعه هایی که به طور جزئی مرتب شده اند ، تزریقی است. واضح است که هر ایزومتری بین فضاهای متریک ، تعبیه توپولوژیکی است.

همسان جهانی ، ریخت ایزومتریک و یا نقشه برداری تجانس است دوسویی همسان. مانند هر حیات دیگر ، ایزومتری جهانی عملکردی معکوس دارد . وارونگی یک ایزومتری جهانی نیز یک ایزومتری جهانی است.

دو فضاهای متریک X و Y نامیده می شوند ایزومتریک اگر یک همسان دوسویی از X به Y . مجموعه ای از isometries دوسویی از یک فضای متریک را به خود به شکل یک گروه با توجه به ترکیب تابع ، به نام گروه همسان .

مفهوم ضعیف تر ایزومتری مسیر یا ایزومتری قوس الکتریکی نیز وجود دارد :

همسان مسیر و یا همسان arcwise یک نقشه که حفظ است طول منحنی ؛ چنین نقشه ای لزوماً یک ایزومتری به معنای حفظ فاصله نیست ، و لزوماً نباید از نظر زیبایی شناختی و یا حتی تزریقی باشد. این اصطلاح اغلب به ساده ایزومتری خلاصه می شود ، بنابراین باید دقت کرد که از متن مورد نظر مشخص شود.

مثالها [ ویرایش ]

ایزومتری خطی [ ویرایش ]

با توجه به دو فضای بردار نرمال V وW، ایزومتری خطی یک نقشه خطی است display \ displaystyle A: V \ to W که هنجارها را حفظ می کند:

\ displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}

برای همه {\  v \ در V . [9] ایزومتری های خطی به معنای فوق نقشه هایی هستند که از لحاظ فاصله حفظ می شوند. آنها ایزومتری های جهانی هستند اگر و فقط اگر از نظر جسمی باشند .

در یک فضای داخلی محصول ، تعریف فوق به کاهش می یابد

\ displaystyle \ langle v، v \ rangle = \ langle Av، Av \ rangle

برای همه  v \ در V ، که معادل گفتن آن است \ displaystyle A ^ {\ خنجر} A = \ operatorname {من} _ {V}. این همچنین نشان می دهد که ایزومتری ها محصولات داخلی را نیز حفظ می کنند

\ displaystyle \ langle Au، Av \ rangle = \ langle u، A ^ {\ خنجر} Av \ rangle = \ langle u، v \ rangle.

ایزومترهای خطی همیشه عملگرهای یونیت نیستند ، زیرا موارد اضافی به آن نیاز دارند\ displaystyle AA ^ {\ خنجر} = \ operatorname {من} _ {V}}.

با قضیه Mazur-Ulam ، هرگونه ایزومتری از فضاهای بردار نرمال شده بر روی R ، وابسته است .

مانیفولدز [ ویرایش ]

ایزومتری مانیفولد هر نقشه نویسی (صاف) آن مانیفولد به درون خود است ، یا یک مانیفولد دیگر که مفهوم فاصله بین نقاط را حفظ می کند. تعریف ایزومتری نیاز به مفهوم متریک بر روی مانیفولد دارد. منیفولد با متریک (مثبت-مشخص) یک مانیفولد رییمانی است ، یکی با یک معیار نامشخص ، یک منیفولد شبه ریومانی است . بنابراین ، ایزومترها در هندسه ریمانی مورد مطالعه قرار می گیرند .

همسان محلی از یک ( شبه -) ریمانی به دیگری یک نقشه که است که برگردد تانسور متریک در منیفولد دوم به تانسور متریک در اولین. هنگامی که چنین نقشه ای نیز یک دیفئورمورفیسم باشد ، چنین نقشه ایزومتری (یا ایزومورفیسم ایزومتریک ) نامیده می شود و مفهومی از ایزومورفیسم ("یکسان بودن") را در رده Rm منیفولدهای ریمان فراهم می کند.

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید \ displaystyle R = (M ، g) و {\ displaystyle R '= (M'، g ') می شود دو (شبه-) منیفولد ریمانی ، و اجازه دهید  '{\ displaystyle f: R \ to R 'یک دیفورمورفیسم باشید. سپسfاگر ایزومتری (یا ایزومورفیسم ایزومتریک ) نامیده شود

\ displaystyle g = f ^ {*} g '، \ ،g = f ^ {{*}} g '، \ ،

جایی کهf ^ {{*}} g 'نشان دهنده بازپرداخت درجه (0 ، 2) تنسنج متریک است 'g ' توسط f. معادل ، از نظر پیشرو f _ {{*}}، ما این را برای هر دو زمینه بردار داریم v ، w بر م(یعنی بخشهایی از بسته نرم افزاری مماس\ ریاضی {T}} م) ،

g (v ، w) = g '\ سمت چپ (f _ {{*}} v ، f _ {{*}} w \ Right). \،

اگر fیک دیفرانسیل محلی است به گونه ای کهg = f ^ {{*}} g '، سپس fایزومتری محلی نامیده می شود .

کلیات [ ویرایش ]

  • با توجه به یک عدد واقعی مثبت ε ، یک ایزومتری ε یا ایزومتری تقریباً ( تقریب Hausdorff نیز گفته می شود ) یک نقشه استf: X \ به Y بین فضاهای متریک به گونه ای که
    1. برای x ، x ′ ∈ X یکی دارد | d Y (ƒ ( x ) ، ƒ ( x ′)) - d X ( x ، x ′) | <ε ، و
    2. برای هر نقطه y ∈ Y نقطه x ∈ X با d Y ( y ، ƒ ( x )) وجود دارد <ε

این است که ، یک ایزومتری فاصله را به درون ε حفظ می کند و هیچ عنصر کدوم را بیشتر از ε دور از تصویر یک عنصر از دامنه نمی گذارد. توجه داشته باشید که فرضیات ε-ایزومتری به صورت مداوم فرض نمی شود .

  • اموال همسان محدود مشخصه نزدیک به ماتریس ایزومتریک برای بردار پراکنده.
  • شبه ایزومتری تعمیم سودمند دیگری است.
  • همچنین ممکن است یک عنصر در یک جبر انتزاعی C * -algebra به عنوان ایزومتری تعریف شود:

    a \ in \ mathfrak {A ایزومتری است اگر و فقط اگر  a ^ * \ cdot a = 1 .

توجه داشته باشید که همانطور که در مقدمه ذکر شد ، این لزوماً یک عنصر واحد نیست ، زیرا به طور کلی فرد دارای معکوس سمت چپ وارونگی راست نیست.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry