ریاضیات

در توپولوژی و شاخه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای هاسدورف ، از هم جدا فضای یا T 2 فضای یک فضای توپولوژیک که در آن برای هر دو نقطه مجزا وجود دارد محله از هر که از متلاشی شدن از یکدیگر. از بسیاری از بدیهیات جدایی که می تواند به یک فضای توپولوژیکی تحمیل شود ، "شرایط هاسدورف" (T 2 ) رایج ترین مورد استفاده و بحث است. این به معنای آن منحصر به فرد از محدودیت از توالی ، شبکه ، و فیلتر . [1]

فضاهای هاوسدورف به نام فلیکس هاسدورف ، یکی از بنیانگذاران توپولوژی نامگذاری شده است. تعریف اصلی هاوسدورف از یک فضای توپولوژیکی (در سال 1914) شامل شرایط هاسدورف به عنوان بدیهی است .

فهرست

• 1تعاریف
• 2برابری
• 3مثال و غیر مثال
• 4خصوصیات
• 5مقدمات در مقابل عادت
• 6انواع مختلف
• 7جبر توابع
• 8طنز دانشگاهی
• 9همچنین ببینید
• 10یادداشت
• 11منابع

تعاریف [ ویرایش ]

نقاط x و y ، که توسط محلات مربوطه U و V از هم جدا شده اند.

نکته ها  و  در یک فضای توپولوژیکی می توان توسط محله جدا اگر وجود دارد وجود دارد محله  از  و یک محله  از  به طوری که  و جدا هستند () یک فضای Hausdorff است اگر همه نقاط متمایز در آن باشدجدا از همسایگی از هم جدا هستند. این شرط سومین اصل تفکیک (پس از آن) است) ، به همین دلیل به فضاهای Hausdorff نیز گفته می شود فضاها از نام فضای جدا شده نیز استفاده می شود.

یک مفهوم مرتبط ، اما ضعیف تر ، یک فضای پیش از قاعده است .اگر پیش فرض کنید که هر دو نقطه از نظر موقعیت شناسی قابل تشخیص با همسایگی های مجزا از هم جدا شوند ، یک فضای مقدماتی است . فضاهای مقدماتی نیز گفته می شودفضاهای .

رابطه این دو شرط به شرح زیر است. فضای توپولوژیکی در صورت Hausdorff است اگر و فقط در صورت وجود هر دو مقدمه (به عنوان مثال نقاط از نظر توپولوژیکی قابل تفکیک محلات هستند) و Kolmogorov (به عنوان مثال نقاط مشخص از نظر توپولوژیکی قابل تشخیص هستند). فضای توپولوژیک پیش مقررات است اگر و تنها اگر مقدار Kolmogorov آن Hausdorff باشد.

معادل سازی [ ویرایش ]

برای یک فضای توپولوژیکی X ، موارد زیر معادل هستند: [2]

• X یک فضای Hausdorff است.
• محدودیت شبکه ها در X بی نظیر است . [3]
• محدودیت فیلترها روی X بی نظیر است . [4]
• هر مجموعه ای تک { X } ⊂ X به تقاطع همه برابر است محله بسته از X . [5] (یک محله بسته از x یک مجموعه بسته است که شامل یک مجموعه باز است که حاوی x است .)
• مورب Δ = {( x ، x ) | X ∈ X } است بسته به عنوان یک زیر مجموعه از فضای X × X .

مثالها و مثالهای غیرمستقیم [ ویرایش ]

تقریباً تمام فضاهایی که در تجزیه و تحلیل مشاهده می شوند ، Hausdorff هستند. مهمتر از همه ، اعداد واقعی (تحت توپولوژی متریک استاندارد بر روی اعداد واقعی) یک فضای Hausdorff هستند. به طور کلی ، تمام فضاهای متری هاوسدورف هستند. در حقیقت ، بسیاری از فضاهای استفاده در تجزیه و تحلیل ، مانند گروه های توپولوژیکی و منیفولد های توپولوژیکی ، شرایط هاسدورف را به صراحت در تعاریف خود بیان می کنند.

یک نمونه ساده از یک توپولوژی که T 1 است اما Hausdorff نیست ، توپولوژی کوفینی است که روی یک مجموعه بی نهایت تعریف شده است .

فضاهای شبه سنج به طور معمول هاوسودورف نیستند ، اما از قبل مقدماتی هستند ، و استفاده از آنها در تجزیه و تحلیل معمولاً فقط در ساخت فضاهای سنج Hausdorff است . در واقع ، هنگامی که تحلیلگران فضای غیر Haus Hausff را طی می کنند ، هنوز احتمالاً حداقل از پیش تنظیم شده است ، و سپس آنها به سادگی آن را با نام Kolmogorov آن ، یعنی Hausdorff جایگزین می کنند. [6]

در مقابل ، فضاهای غیر پیش از قاعدگی بیشتر در جبر انتزاعی و هندسه جبری ، به ویژه به عنوان توپولوژی Zariski در یک نوع جبری یا طیف یک حلقه مشاهده می شود . آنها همچنین در بوجود می آیند نظریه مدل از منطق شهودی : هر کامل جبر هیتینگ جبر است مجموعه باز برخی از فضای توپولوژیک، اما این فضای لازم نیست preregular، بسیار کمتر هاسدورف، و در واقع معمولا نه. مفهوم مربوط به دامنه اسکات همچنین از فضاهای غیرقانونی تشکیل شده است.

در حالی که وجود محدودیت های منحصر به فرد برای شبکه ها و فیلترهای همگرا حاکی از وجود فضایی از Hausdorff است ، اما فضاهای غیر Hausdorff T 1 وجود دارد که در آن هر دنباله همگرا محدودیتی منحصر به فرد دارد. [7]

خواص [ ویرایش ]

زیرفضاهای و محصولات از فضاهای هاسدورف است هاسدورف، [8] اما فضاهای خارج قسمت از فضاهای هاسدورف لازم نیست هاسدورف نیست. در حقیقت ، هر فضای توپولوژیکی می تواند به عنوان مقدار کمی از فضای Hausdorff تحقق یابد. [9]

فاصله های Hausdorff T 1 است ، به این معنی که همه تک آهنگ ها بسته هستند. به طور مشابه ، فضاهای پیش از قاعده R 0 است .

یکی دیگر از ویژگی های خوب فضاهای Hausdorff این است که مجموعه های جمع و جور همیشه بسته هستند. [10] این ممکن است در فضاهای غیر Haus Hausff مانند فضای Sierpiński شکست بخورد .

در تعریف فضای Hausdorff می گوید که نقاط را می توان با محلات جدا کرد. معلوم است که این حاکی از چیزی است که به ظاهر قوی تر است: در یک فضای هاسدورف ، هر جفت مجموعه کاملاً جدا از همسایگان نیز می توانند جدا شوند ، [11] به عبارت دیگر یک محله از یک مجموعه و یک محله دیگر وجود دارد ، مانند که این دو محله از هم جدا هستند این نمونه ای از قانون کلی است که مجموعه های جمع و جور اغلب مانند نقاط رفتار می کنند.

شرایط جمع و جور و همراه با preregularity اغلب حاکی از بدیهیات جدایی قوی تر است. به عنوان مثال ، هر فضای preregular محلی کاملاً معمولی است . فضاهای مقدماتی جمع و جور کاملاً طبیعی هستند ، به این معنی که آنها لیم Urysohn و قضیه پسوند Tietze را برآورده می کنند و دارای پارتیشن هایی از وحدت هستند که به پوششهای باز محلی محدود محدود هستند . نسخه های Hausdorff این گفته ها عبارتند از: هر فضای محلی فشرده Haus Hausff Tychonoff است ، و هر فضای کم حجم Haus Hausff عادی Hausdorff است.

نتایج زیر برخی از مشخصات فنی در مورد نقشه ها ( پیوسته و در غیر این صورت) از داخل و از فضاهای Hausdorff است.

اجازه دهید F  : X → Y یک تابع پیوسته و فرض Y هاسدورف است. سپس نمودار از، یک زیر مجموعه بسته از X × Y است .

اجازه دهید F  : X → Y یک تابع و اجازه دهیدهسته آن به عنوان یک فضای فرعی X × X در نظر گرفته می شود .

• اگر f به صورت مداوم و Y یا Hausdorff باشد ، کر ( f ) بسته می شود.
• اگر f یک سوراخ باز باشد و ker ( f ) بسته باشد ، Y Y Hausdorff است.
• اگر f یک سوراخ مداوم و باز باشد (یعنی یک نقشه بزرگ برای افتادن) ، Y اگروسدورف است اگر و فقط اگر ker (f) بسته باشد.

اگر F، G  : X → Y نقشه های مداوم هستند و Y هاسدورف سپس است اکولایزردر X بسته شده است این شرح است که اگر Y هاسدورف است و F و G در دیدن همه موارد متراکم زیر مجموعه ای از X پس از آن F = G . به عبارت دیگر ، کارکردهای مداوم در فضاهای Hausdorff با مقادیر آنها در زیرمجموعات متراکم تعیین می شود.

اجازه دهید F  : X → Y یک بسته تابع پوشا به طوری که F -1 ( Y ) است جمع و جور برای همه Y ∈ Y . سپس اگر X Haus Hausff است ، Y نیز هست .

بگذارید f  : X → Y یک نقشه بزرگ با X باشد که دارای فضای فشرده Hausdorff است. بعدی ها برابر هستند:

• Y هاوسدورف است.
• f یک نقشه بسته است .
• ker ( f ) بسته است.

مقدمات در مقابل منظم بودن [ ویرایش ]

تمام فضاهای معمولی مانند همه فضاهای Hausdorff از پیش تنظیم شده هستند. نتایج زیادی در مورد فضاهای توپولوژیکی وجود دارد که هم برای فضای منظم و هم برای هاسدورف وجود دارد. بیشتر اوقات ، این نتایج برای همه فضاهای پیش از قاعده نگه داشته می شود. آنها برای فضاهای منظم و هاوسدورف به طور جداگانه فهرست شدند زیرا بعداً ایده فضاهای پیش از قاعده آمد. از طرف دیگر ، آن دسته از نتایج که واقعاً در مورد منظم است ، در فضاهای غیر منظم Hausdorff نیز صدق نمی کند.

بسیاری از موقعیت ها وجود دارد که شرایط دیگری از فضاهای توپولوژیکی (مانند پارا سازگاری یا فشردگی موضعی ) در صورت رضایت از پیش قضایی ، منظم بودن آن باشد. چنین شرایطی اغلب در دو نسخه وجود دارد: یک نسخه معمولی و یک نسخه Hausdorff. اگرچه فضاهای Hausdorff به طور کلی منظم نیستند ، اما فضایی از Hausdorff که به صورت محلی فشرده باشد نیز منظم خواهد بود زیرا هر فضای Hausdorff از پیش تنظیم شده است. بنابراین از یک دیدگاه خاص ، واقعاً مقدماتی است و نه منظم بودن ، در این شرایط مهم است. با این حال ، تعاریف معمولاً هنوز هم از نظر منظم بیان می شوند ، زیرا این شرط بهتر از مقدمات شناخته شده است.

برای اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع ، به تاریخ بدیهیات جدایی مراجعه کنید .

انواع [ ویرایش ]

اصطلاحات "Hausdorff" ، "جدا" و "preregular" همچنین می تواند در گونه های مختلف در فضاهای توپولوژیکی مانند فضاهای یکنواخت ، فضاهای کاشی و فضاهای همگرایی اعمال شود . مشخصه ای که مفهوم را در همه این مثال ها متحد می کند این است که محدوده شبکه ها و فیلترها (در صورت وجود) بی نظیر هستند (برای فضاهای جدا شده) یا تا غیر قابل تشخیص توپولوژیک (برای فضاهای پیش از قاعده) بی نظیر هستند.

همانطور که معلوم است ، فضاهای یکنواخت و بطور کلی فضاهای کاشی همیشه از پیش منظم هستند ، بنابراین شرایط Hausdorff در این موارد به حالت T 0 کاهش می یابد . اینها همچنین فضاهایی هستند که کامل بودن در آن معنا پیدا می کند و Hausdorffness یک همراه طبیعی برای کامل بودن در این موارد است. به طور خاص ، یک فضای کامل است اگر و فقط اگر هر شبکه کوچی حداقل یک حد داشته باشد ، در حالی که یک فضا Hausdorff است اگر و فقط اگر هر شبکه کوچی حداکثر یک حد دارد (از آنجا که فقط شبکه های کوچی می توانند در وهله اول محدودیت داشته باشند).

جبر توابع [ ویرایش ]

جبر توابع مداوم (واقعی یا پیچیده) در یک فضای جمع و جور Haus Hausff یک جابجایی C * -algebra است ، و برعکس با قضیه Banach-Stone می توان توپولوژی فضا را از خصوصیات جبری جبر خود از توابع مداوم بازیابی کرد. این امر منجر به هندسه غیرتهاجمی می شود ، جایی که فرد غیر محرک C * -algebras را به عنوان نماینده جبر توابع در یک فضای غیرقابل تحمل در نظر می گیرد.

طنز دانشگاهی [ ویرایش ]

• شرایط هاسدورف با این جمله نشان می دهد که در فضاهای هاوسدورف هر دو نقطه را می توان با مجموعه های باز از یکدیگر دور کرد . [12]
• در انستیتوی ریاضیات دانشگاه بن ، که در آن فلیکس هاسدورف تحقیق و سخنرانی کرده است ، یک اتاق مشخص وجود دارد که به عنوان Hausdorff-Raum معرفی شده است . این یک اشتباه است ، زیرا Raum به معنای اتاق و فضای هر دو به زبان آلمانی است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_space