چسباندن فضاهای توپولوژیکی

چسباندن فضاهای توپولوژیکی [ ویرایش ]

تعبیر کلی در مورد خانواده ، فضاهای متصل به مسیر $X_ {i} ،$ گروه بنیادی $\ displaystyle \ pi _ {1} (\ bigvee _ {i \ in I} X_ {i})}$ است محصول رایگان از گروه های اساسی ${\ displaystyle X_ {i}.}$ [7] این واقعیت یک مورد خاص از قضیه Seifert-van Kampen است ، که اجازه می دهد تا به طور کلی ، گروههای اساسی فضاهایی را که از سایر فضاها به هم چسبیده اند ، محاسبه کنند. به عنوان مثال ، 2-کره $S ^ {2$ می توان با چسباندن دو نسخه از نیم کره های کوچک با هم تداخل در یک محله استوا به دست آورد . در این حالت قضیه بازده است $\ displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {2})}$ بسیار ناچیز است ، از آنجا که این دو حوزه قابل انعطاف هستند و بنابراین دارای یک گروه اساسی بی اهمیت هستند. گروه های اساسی سطوح ، همانطور که در بالا ذکر شد ، با استفاده از این قضیه نیز می توانند محاسبه شوند.

در نظریه طبقه بندی ، این قضیه را می توان بطور خلاصه بیان کرد با گفتن این که گروه اصلی بنیانگذار گروه اصلی فضاهای توپولوژیکی را در امتداد اجزاء به بخشهای مختلف منتهی می کند. [8]

پوشش [ ویرایش ]

نقشه $\ displaystyle \ mathbb {R} \ برابر [0،1] \ تا S ^ {1} \ بار [0،1]$ یک پوشش است: پیش نمایش U (برجسته به رنگ خاکستری) اتحادیه جداگانه ای از نسخه های U است . علاوه بر این ، از آن زمان پوشش جهانی است $\ displaystyle \ mathbb {R} \ برابر [0،1]$ قابل انعطاف است و بنابراین به راحتی متصل است.

با توجه به یک فضای توپولوژیکی B ، یک نقشه پیوسته

${\ displaystyle f: E \ تا B$

است که به نام پوشش و یا E است که به نام فضا پوشش از B اگر هر نقطه ب در ب اذعان یک محله باز U است به طوری که یک وجود دارد همسانریختی بین وارون از U و یک مجزای نسخه از U (نمایه شده توسط برخی از مجموعه ای i ) ،

$\ displaystyle \ varphi: \ bigsqcup _ {i \ in I} U \ to f ^ {- 1} (U)$

به نحوی که $\ displaystyle \ pi \ circ \ varphi$ نقشه طرح ریزی استاندارد است ${\ displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} U \ to U.$ [9]

پوشش جهانی [ ویرایش ]

یک پوشش است که به نام پوشش جهانی از E است، علاوه بر شرایط قبلی، به سادگی متصل می شود. [10] به این مفهوم جهانی است که می توان تمام پوشش های دیگر را با شناسایی نقاط مناسب در E ساخت . دانستن یک پوشش جهانی

$\ displaystyle p: \ widetilde {X}} \ تا X$

از یک فضای توپولوژیکی X در درک گروه اساسی خود به چند روش مفید است: اول ، $\ pi _ {1} (X)$ با گروه تحولات عرشه ، یعنی گروه هومورفيسم ها مشخص می شود $\ displaystyle \ varphi: {\ widetilde {X}} \ to {\ widetilde {X}}}$ که با نقشه به X رفت ، یعنی ، $\ displaystyle p \ Circ \ varphi = p$ رابطه دیگر با گروه اساسی این است $\ displaystyle \ pi _ {1} (X، x)$ با فیبر قابل شناسایی است $\ displaystyle p ^ {- 1} (x).$ مثلاً نقشه

${\ displaystyle p: \ mathbb {R} \ to S ^ {1} ، t \ mapsto \ exp (2 \ pi it)$

(یا ، به طور معادل ، $\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}، \ t \ mapsto [t]$ ) پوشش جهانی است. تحولات عرشه نقشه ها هستند $\ displaystyle t \ mapsto t + n$ برای $\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.$ این در راستای شناسایی است $\ displaystyle p ^ {- 1} (1) = \ mathbb {Z}،}$ به ویژه این ادعای فوق را اثبات می کند $\ displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {1}) \ kong \ mathbb {Z}.$

هر مسیر متصل است، به صورت محلی مسیر متصل و به صورت محلی متصل به سادگی فضای توپولوژیک X اذعان می کند پوشش جهانی است. [11] یک ساختاری انتزاعی با گرفتن جفت ( x ، γ) به طور مشابه به گروه اساسی می رود ، جایی که x نقطه ای در X است و γ یک کلاس هموتوپی از مسیرهای x 0 تا x است . عبور از یک فضای توپولوژیکی به پوشش جهانی آن می تواند در درک هندسه X استفاده شود . به عنوان مثال ، قضیه یکسان سازی نشان می دهد که هر سطح به راحتی متصل ریمان (ایزومورفیک به هم) است} $\ displaystyle S ^ {2} ،}$ $\ displaystyle \ mathbb {C} ،}$ یا هواپیما نیم بالا . [12] سطوح ژنرال ریمان سپس به عنوان تعداد اقدامات گروهی بر روی این سه سطح ظاهر می شوند.

خارج قسمت یک عمل یک ( گسسته ) گروه G در یک فضای متصل به سادگی Y است گروه اساسی

${\ displaystyle \ pi _ {1} (Y / G) \ kong G.$

به عنوان نمونه ، فضای پروژکتور واقعی N- بُعد واقعی $\ mathbb {R}} {\ mathrm {P}} ^ {n}$ به عنوان سودنده حوزه n- بعدی به دست می آید $S ^ {n$ با عمل ضد پدری گروه $\ mathbb {Z} / 2$ در حال ارسال ${\ displaystyle x \ in S ^ {n}$ به $display \ displaystyle -x.$ مانند $S ^ {n$ فقط برای n ≥ 2 متصل شده است ، یک پوشش جهانی است $\ mathbb {R}} {\ mathrm {P}} ^ {n}$ در این موارد ، که دلالت دارد $\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}) \ kong \ mathbb {Z} / 2$ برای n ≥ 2.

گروه های دروغ [ ویرایش ]

بگذارید G یک گروه Lie متصل و کاملاً متصل باشد ، به عنوان مثال ، گروه ویژه SU ( n ) ، و بگذارید Γ یک زیر مجموعه محدود از G باشد. سپس فضای همگن X = G / Γ دارای یک گروه اساسی Γ است که با ضرب درست در فضای پوشش جهانی G عمل می کند . در میان بسیاری از انواع این سازه ، یکی از مهمترین آنها توسط فضاهای متقارن محلی X = Γ \ G / K ، جایی که

G گروه کاملاً فشرده و متصل به Lie است (اغلب نیمه قطعه ) ،
K یک زیر گروه حداکثر جمع و جور از G است
Γ یک زیر گروه عاری از چرخش قابل شمارش گسسته از G است .

در این حالت گروه بنیادی Γ و فضای جهانی پوشش G / K در واقع قابل انعطاف است (توسط تجزیه کارتان برای گروه های دروغ ).

به عنوان مثال به G = SL (2، R )، K = SO (2) و Γ هر چرخش رایگان تجانس زیر گروه از گروه های مدولار SL (2، Z ).

از تحقق صریح ، همچنین چنین نتیجه می گیرد که فضای پوشش جهانی یک گروه موضعی H توپولوژیکی متصل به مسیر ، مجدداً یک مسیر توپولوژیکی G است . علاوه بر این ، نقشه پوششی یک همجنسگرایی مداوم باز G بر روی H با هسته Γ ، یک زیر گروه عادی گسسته از G است :

$1 \ به \ گاما \ به G \ به H \ به 1.$

از آنجا که G یک گروه متصل با عمل پیوسته توسط صرف در Γ گروه گسسته است، باید آن را بدیهی عمل می کنند، به طوری که Γ را به یک زیر گروه از مرکز از G . به طور خاص π 1 ( H ) = Γ یک گروه abelian است . این نیز به راحتی و بدون استفاده از فضاهای پوشاننده قابل مشاهده است. گروه G است به نام گروه پوشش جهانی از H .

همانطور که گروه پوشش جهانی نشان می دهد ، بین گروه اساسی یک گروه توپولوژیکی و مرکز یک گروه قیاس وجود دارد. این در شبکه گروههای پوشش ارائه شده است .

فیبرها [ ویرایش ]

لرزش ها وسیله ای بسیار قدرتمند برای محاسبه گروه های هموتوپی هستند. fibration F به اصطلاح فضای کل و فضای پایه B است، به ویژه، خصوصیتی که الیاف آن $\ displaystyle f ^ {- 1} (b)$ معادل هموتوپی هستند و بنابراین با استفاده از گروه های بنیادی (و گروه های هموتوپ بالاتر) قابل تفکیک نیستند ، به شرط آنکه B مسیر متصل باشد. [13] بنابراین ، فضای E را می توان به عنوان " محصول پیچ خورده " فضای پایه B و فیبر در نظر گرفت $\ displaystyle F = f ^ {- 1} (b).$ اهمیت زیاد فیبرها برای محاسبه گروههای هموتوپی از یک توالی دقیق طولانی ناشی می شود

$\ displaystyle \ dots \ to \ pi _ {2} (B) \ to \ pi _ {1} (F) \ to \ pi _ {1} (E) \ to \ pi _ {1} (B) \ به \ pi _ {0} (F) \ to \ pi _ {0} (E)$

مشروط بر اینکه B مسیر متصل باشد. [14] اصطلاح ${\ displaystyle \ pi _ {2} (B)$ دوم این است که گروه هوموتوپی از B است که تعریف می شود مجموعه ای از کلاس های homotopy از نقشه ها از $S ^ {2$ به B ، در قیاس مستقیم با تعریف ${\ displaystyle \ pi _ {1}.$

اگر E اتفاق بیفتد که به هم وصل شده و به راحتی متصل شده باشد ، این توالی به یک ایزومورفیسم کاهش می یابد

$\ displaystyle \ pi _ {1} (B) \ civ \ pi _ {0} (F)$

که واقعیت فوق را در مورد پوشش جهانی تعمیم می دهد (که مربوط به موردی است که فیبر F نیز گسسته است). اگر در عوض F اتفاق بیفتد که به هم وصل شده و به سادگی متصل شده باشد ، به یک ایزومورفیسم کاهش می یابد

$\ displaystyle \ pi _ {1} (E) \ civ \ pi _ {1} (B).$

علاوه بر این ، توالی را می توان در سمت چپ با گروه های هموتوپ بالاتر ادامه داد $\ pi _ {n$ از سه فضا ، که به محاسبات چنین گروه هایی در همین راستا دسترسی می یابد.

گروه های دروغ کلاسیک [ ویرایش ]

چنین توالی فیبر را می توان برای محاسبه استقراء گروه های اساسی از گروه های کلاسیک دروغ فشرده مانند گروه واحد ویژه استفاده کرد ${\ displaystyle \ mathrm {SU n (n) ،}$ با $\ displaystyle n \ geq 2.$ این گروه به صورت انتقالی در حوزه واحد عمل می کند $S ^ {{2n-1}}$ داخل $\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {2n.$ تثبیت کننده یک نقطه در کره از نظر isomorphic است $\ displaystyle \ mathrm {SU} (n-1).$ پس از آن می توان نشان [15] که که این بازده یک دنباله فیبر

$\ displaystyle \ mathrm {SU} (n-1) \ to \ mathrm {SU} (n) \ to S ^ {2n-1.}$

از آنجا که $\ displaystyle n \ geq 2،$ کره $S ^ {{2n-1}}$ دارای ابعاد حداقل 3 است که دلالت دارد

$\ displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {2n-1}) \ civ \ pi _ {2} (S ^ {2n-1}) = 1.$

توالی دقیق و طولانی یک ایزومورفیسم را نشان می دهد

$\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n)) \ civ \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n-1)).$

از آنجا که $\ displaystyle \ mathrm {SU (1)$ یک نکته واحد است ، به همین ترتیب $\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (1))}$ این چیزهای بی اهمیتی است ، این نشان می دهد که $\ mathrm {SU} (n)$ به سادگی برای همه متصل است $ن.$

گروه اساسی گروه های غیر Lie غیر فشرده را می توان به مورد جمع و جور کاهش داد ، زیرا چنین گروهی به زیر گروه حداکثر جمع و جور خود هموتوپی است. [16] این روش ها نتایج زیر را ارائه می دهند: [17]

جمع و جور کلاسیک لی گروه G	گروه لی غیر فشرده	$\ pi _ {1$
گروه ویژه یونیت $\ mathrm {SU} (n)$	$\ displaystyle \ mathrm {SL} (n، \ mathbb {C})}$	1
گروه واحد $\ mathrm {U} (n)$	$\ displaystyle \ mathrm {GL} (n، \ mathbb {C})، \ mathrm {Sp} (n، \ mathbb {R})}$	$\ mathbb {Z$
گروه ویژه متعامد $\ mathrm {SO} (n)$	$\ displaystyle \ mathrm {SO} (n، \ mathbb {C})}$	$\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2$ برای $n \ geq 3$ و $\ mathbb {Z$ برای $n = 2$
گروه سمپلکت جمع و جور ${\ ریاضی {Sp}} (n)$	$\ displaystyle \ mathrm {Sp} (n، \ mathbb {C})}$	1

روش دوم محاسبه گروههای اساسی برای کلیه گروههای Lie جمع و جور متصل است و از ماشین آلات حداکثر توروس و سیستم ریشه مرتبط استفاده می شود . به طور خاص ، اجازه دهید $تی$ یک توروس حداکثر در یک گروه دروغ فشرده متصل باشد $\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ جبر دروغ باش $ت.$ نقشه نمایی

$\ displaystyle \ exp: {\ mathfrak {t}} \ to T$

یک فیبراسیون است و بنابراین هسته آن است $\ صفحه نمایش \ گاما \ زیر مجموعه \ mathfrak {t}}}$ با ${\ displaystyle \ pi _ {1} (T).$ نقشه

$\ displaystyle \ pi _ {1} (T) \ to \ pi _ {1} (K)$

با هسته داده شده توسط مجموعه I ترکیبی خطی عدد صحیح از پارچه نشان داده می شود که بصورت Surjective [18] است . این منجر به محاسبه می شود

$\ displaystyle \ pi _ {1} (K) \ civ \ گاما / من.$ [19]

به عنوان مثال ، این روش نشان می دهد که هر گروه Lie کم حجم و وصل شده ای که سیستم ریشه مرتبط با آن از نوع است $G_ {2$ به سادگی متصل است [20] بنابراین ، فقط یک گروه Lie جمع و جور متصل به هم وجود دارد که دارای جبر لی از نوع است. $G_ {2$ ؛ این گروه به سادگی متصل شده و دارای مرکز بی اهمیت است.

گروه لبه مسیر یک مجتمع ساده [ ویرایش ]

اگر X یک مجموعه ساده ساده متصل باشد ، یک مسیر لبه در X تعریف می شود که زنجیره ای از رئوس ها است که توسط لبه ها در X متصل می شوند . گفته می شود دو مسیر لبه معادل لبه است اگر می توان با جابجایی پی در پی بین یک لبه و دو لبه مخالف یک مثلث در X ، از دیگری به دست آورد . اگر v یک راس ثابت در X باشد ، یک edge-loop در v یک مسیر حاشیه ای است که در v شروع و پایان می یابد . گروه لبه مسیر E ( X ، v ) به عنوان مجموعه کلاسهای هم ارزی لبه های لبه لبه در v تعریف می شود ، با محصول و معکوس که توسط جمع بندی و معکوس حلقه های لبه تعریف شده است.

گروه لبه مسیر به طور طبیعی ریخت به p 1 (| X |، V )، گروه اساسی تحقق هندسی | X | از X . [21] از آنجا که آن را بر روی بستگی دارد تنها 2 اسکلت X 2 از X (این است که، راس، لبه، و مثلث از X )، گروه پی 1 (| X |، V ) و π 1 (| X 2 | ، v ) ایزومورف هستند.

گروه حاشیه ای را می توان صریحاً از نظر ژنراتورها و روابط توصیف کرد . اگر T است حداکثر درخت پوشا در 1 اسکلت از X ، پس از آن E ( X ، V ) canonically به گروه متناظر با ژنراتور (گرا لبه مسیر است X در رخ نمی T ) و روابط (لبه-معادل مربوط به مثلث در X ) نتیجه مشابه اگر T با هر اتصال ساده - در بعضی از قراردادهای خاص X- جایگزین شود جایگزین می شود. این اغلب یک شیوه عملی برای محاسبه گروه های بنیادی است و می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد که هر گروه ارائه شده نهایی به عنوان گروه اساسی یک مجموعه ساده ساده ایجاد می شود. همچنین یکی از روش های کلاسیک مورد استفاده برای سطوح توپولوژیکی است که توسط گروه های اساسی آنها طبقه بندی می شود.

فضای پوشش جهانی از متصل پیچیده های simplicial محدود X همچنین می توانید به طور مستقیم به عنوان یک های simplicial پیچیده با استفاده از لبه مسیر توصیف کرد. راسهای آن جفت ( w ، γ) است که w یک راس X است و γ یک کلاس برابر است از مسیر از v تا w . نمونه های k حاوی ( w ، γ) به طور طبیعی با نمونه های k حاوی w مطابقت دارند . هر راس جدید تو از K -simplex می دهد لبه وو و از این رو، با الحاق، یک مسیر جدید γ تو ازV به تو . نقاط ( w ، γ) و ( u ، γ u ) رئوس سیمپلکس "منتقل شده" در فضای پوشش جهانی هستند. گروه edge-path به طور طبیعی با جمع شدن ، حفظ ساختار ساده عمل می کند ، و فضای سهم فقط X است .

به خوبی شناخته شده است که از این روش می توان برای محاسبه گروه بنیادی یک فضای توپولوژیک دلخواه نیز استفاده کرد. این بدون شک برای ادوارد چخ و ژان لری شناخته شده بود و به صراحت به عنوان یادداشتی در مقاله آندره ویل ظاهر می شد . [22] نویسندگان مختلف دیگری مانند لورنزو کالابی ، وو ون تسان ، و نودار بریکاشویلی نیز اثبات چاپ کرده اند. در ساده ترین حالت یک فضای جمع و جور X با یک پوشش باز محدود که در آن کلیه تقاطعات محدود غیر خالی مجموعه های باز در پوشش قابل انقباض هستند ، می توان گروه بنیادی را با گروه حاشیه مجتمع ساده که مربوط به عصبی از پوشش .

قابلیت تحقق [ ویرایش ]

هر گروه می تواند به عنوان گروه اساسی یک مجموعه CW متصل به بعد 2 (یا بالاتر) تحقق یابد . همانطور که در بالا ذکر شد ، اگرچه فقط گروه های آزاد می توانند به عنوان گروههای اساسی مجتمعهای CW 1 بعدی (یعنی نمودارها) اتفاق بیفتند.
هر گروه ارائه شده نهایی می تواند به عنوان گروه اساسی یک منیفولد جمع و جور ، متصل ، صاف از ابعاد 4 (یا بالاتر) تحقق یابد . اما محدودیت های شدیدی وجود دارد که در آن گروه ها به عنوان گروه های اصلی منیفولدهای کم بعدی ظاهر می شوند. به عنوان مثال ، هیچ گروه آزلای آزاد از درجه 4 یا بالاتر نمی تواند به عنوان گروه اساسی منیفولد از ابعاد 3 یا کمتر محقق شود. می توان ثابت کرد که هر گروه می تواند بعنوان گروه اساسی یک فضای فشرده Haus Hausff تحقق یابد ، اگر و تنها در صورت عدم وجود کاردینال قابل اندازه گیری وجود داشته باشد . [23]

+ نوشته شده در دوشنبه نوزدهم خرداد ۱۳۹۹ ساعت 2:48 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی