نمودارها [ ویرایش ]

گروه اساسی هر نمودار یک گروه آزاد است . اگر نمودار G به هم متصل باشد ، آنگاه درجه گروه آزاد برابر است با تعداد لبه هایی که در یک درخت پوشا نیست .

گروه های گره ای [ ویرایش ]

گره سه پره .

گروه های گره ای ، با تعریف گروه اصلی مکمل گره K تعبیه شده در آن هستند\ mathbb {R} ^ {3.به عنوان مثال ، گروه گره گره trefoil به عنوان گروه نوار شناخته شده است display \ نمایشگر B_ {3} ،}که نمونه دیگری از یک گروه بنیادی غیر آبلی را نشان می دهد. ارائه Wirtinger به صراحت گروه گره از نظر مولد و روابط بر اساس یک نمودار از گره توصیف می کند. بنابراین ، گروه های گره ای برای نظریه گره ها از برخی نظریه ها استفاده می کنند : اگر\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K) برای برخی از گروه های گره دیگر ایزومورف نیست \ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K ')از گره دیگر K ' ، آنگاه K نمی تواند تبدیل شود{\ displaystyle K '.بنابراین گره trefoil را نمی توان به طور مداوم به دایره تبدیل کرد (همچنین به عنوان unknot شناخته می شود ) ، زیرا دومی دارای گره Z است . گرچه گره هایی وجود دارد که نمی توانند به یکدیگر تغییر شکل دهند ، اما دارای گروه های گره ایزومورفی هستند.

سطوح گرا [ ویرایش ]

گروه اساسی یک جنس N سطح orientable را می توان در نظر محاسبه مولد و روابط عنوان

\ displaystyle \ left \ langle A_ {1}، B_ {1}، \ cdots، A_ {n}، B_ {n} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ 1} ^ {- 1} \ cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} \ Right. \ Right \ rangle. right

این شامل torus می شود ، که قضیه جنس 1 است که گروه بنیادی آن است

\ displaystyle \ left \ langle A_ {1}، B_ {1} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} \ Right. \ rangle \ kong \ mathbb {Z} ^ {2}.}

گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

گروه بنیادی یک گروه توپولوژیکی X (با توجه به اینکه نقطه پایه عنصر خنثی است) همواره قابل تغییر است. به طور خاص ، گروه اساسی یک گروه لی ، رفتاری است. در واقع ، ساختار گروه در X وقف است\ pi _ {1} (X) با ساختار گروه دیگر: با توجه به دو حلقه\ گاما  و  '\ گامادر X ، یک حلقه دیگر'\ صفحه نمایش \ گاما \ ستاره \ گاما 'می تواند با استفاده از ضرب گروه در X تعریف شود :

{\ displaystyle (\ گاما \ ستاره \ گاما ') (x) = \ گاما (x) \ cdot \ گاما' (x).

این عمل دودویی \ستاره در مجموعه تمام حلقه ها بصورت پیشینی مستقل از آنچه در بالا توضیح داده شده است. با این حال ، استدلال اكمان - هیلتون نشان می دهد كه در حقیقت با توافق بالا حلقه ها موافق است ، و علاوه بر این ، ساختار گروه حاصل از آن بیلی است. [4] [5]

بازرسی از اثبات نشان می دهد که ،\ pi _ {1} (X)برای هر H-space X abelian است ، یعنی ضرب نیازی به معکوس ندارد و همچنین مجبور نیست که ارتباطی داشته باشد. به عنوان مثال ، این نشان می دهد که گروه بنیادی یک فضای حلقه ای از یک فضای توپولوژیکی Y دیگر ، ،{\ displaystyle X = \ امگا (Y) ،بیلیون است ایده های مرتبط منجر به محاسبات مشترک Heinz Hopf از زندگی گروهی Lie می شود .

سرگرمی [ ویرایش ]

اگر f \ colon X \ به Y یک نقشه پیوسته است ، x_ {0} \ in X و Y \ نمایشگر y_ {0} \ در Y با {\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0} ،}سپس هر حلقه در X با نقطه پایهx_ {0می تواند با f تشکیل شود تا یک حلقه در Y با نقطه پایه حاصل شودy_0این عمل با رابطه هم ارزی هموتوپی و با ترکیب حلقه ها سازگار است. همگنورفیسم گروه نتیجه ، همگنورفیسم ناشی از ، به عنوان نوشته شده است{\ نمایشگر \ pi (f) یا ، معمولاً ،

{\ displaystyle f _ {*} \ colon \ pi _ {1} (X، x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (Y، y_ {0}).

این نقشه برداری از نقشه های مداوم تا همجنسگرایی گروهی با ترکیب نقشه ها و شکل های هویتی سازگار است. در تفسیر نظریه مقوله ، تشکیل ارتباط با یک فضای توپولوژیکی گروه بنیادی آن به همین دلیل جنبه تفریحی دارد

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ pi _ {1} \ colon \ mathbf {بالا} _ {*} & \ to \ mathbf {Grp} \\ (X، x_ {0}) & \ mapsto \ pi _ {1} (X، x_ {0}) \ end {تراز شده}}

از گروه فضاهای توپولوژیکی به همراه یک نقطه پایه به گروه گروه ها . معلوم می شود که این مگس نگاشت نقشه هایی را که از نظر نقطه هموتوپی هستند از یکدیگر تفکیک نمی کند : اگر f ، g  : X → Y نقشه های پیوسته با f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = y 0 و f و g هستند نسبی homotopic به { X 0 }، سپس F * = گرم *. به عنوان یک نتیجه ، دو فضای همسانگرد معادل مسافت دارای گروه های بنیادی ایزومورفیک هستند:

X \ simeq Y \ Rightarrow \ pi _ {1} (X، x_ {0}) \ civ \ pi _ {1} (Y ، y_ {0}).

به عنوان مثال ، درج دایره در صفحه سوراخ شده

\ displaystyle S ^ {1} \ زیرمجموعه \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}

یک معادل هموتوپی است و بنابراین ایزومورفیسم گروههای بنیادی آنها را به همراه دارد.

گروه اصلی کاراکترهای بنیادی محصولات را به محصولات و کالاهای متناسب با محصولات منتهی می کند. یعنی اگر X و Y مسیر متصل باشند ، پس از آن

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ بار Y ، (x_ {0} ، y_ {0})) \ civ \ pi _ {1} (X ، x_ {0}) \ بار \ pi _ {1 } (Y ، y_ {0}).

نتایج چکیده [ ویرایش ]

همانطور که در بالا گفته شد ، محاسبه گروه اساسی فضاهای توپولوژیکی حتی نسبتاً ساده نیز کاملاً بی اهمیت نیست بلکه به برخی از روشهای توپولوژی جبری احتیاج دارد.

رابطه با گروه اول همسانی [ ویرایش ]

یک مورد خاص از قضیه Hurewicz ادعا می کند که اولین گروه هومولوژی مفرد H_ {1} (X)از نظر محاوره ای ، نزدیکترین تقریب به گروه بنیادی با استفاده از یک گروه abelian است. با جزئیات بیشتر ، نقشه برداری از کلاس هموتوپی هر حلقه به کلاس همسانی حلقه ، به یک homomorphism گروهی می دهد

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X) \ to H_ {1} (X)

از گروه بنیادی یک فضای توپولوژیکی X تا اولین گروه هومولوژی تکینگی آن {\ displaystyle H_ {1} (X).این همجنسگرایی به طور کلی یک ایزومورفیسم نیست ، زیرا ممکن است گروه بنیادی غیربومی باشد ، اما گروه هومولوژی ، به تعبیر ، همیشه آبلی است. با این حال ، این تفاوت تنها است: اگر X از مسیر متصل باشد ، این homomorphism Surjective و هسته آن زیر گروه رفت و آمد گروه اصلی است ، به طوری کهH_ {1} (X)از بی هوایی گروه بنیادین ایزومورف است . [6]

 

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group