تئوری رسته بالاتر
از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
در ریاضیات ،تئوری رسته بالاتر بخشی از تئوری رسته در مرتبه بالاتر است ، بدین معنی که برخی از برابری توسط فلش های صریح جایگزین می شوند تا بتوانند به روشنی ساختار پشت آن برابری ها را مطالعه کنند. تئوری رسته بالاتر اغلب در توپولوژی جبری (به ویژه در نظریه هموتوپی ) ، که در آن یکی از متغیرهای جبری فضا ها ، مانند گروه ضعیف بنیادی آنها مورد مطالعه قرار می گیرد ، استفاده می شود .
فهرست
- 1دسته بندی های بالاتر دقیق
- 2دسته های ضعیف تر
- 3دسته های شبه
- 4دسته های غنی شده به طور همزمان
- 5دسته بندی های غنی از نظر توپولوژیکی
- 6دسته بندی های Segal
- 7همچنین ببینید
- 8یادداشت
- 9منابع
- 10لینک های خارجی
رسته بالاتر دقیق [ ویرایش ]
یک دسته معمولی دارای اشیاء و مورفیزها است . -دسته 2 این تعمیم های نیز از جمله 2-morphisms بین 1-morphisms. ادامه این تا مورفیزم n در بین مورفیزم ( n -1) - مورفیزمی یک دسته n را می دهد .
دقیقاً همانطور که مقوله ای که به عنوان Cat شناخته می شود ، که رسته رسته های کوچک و سرگرمی ها است ، در واقع یک رسته 2 با تحولات طبیعی به عنوان 2-مورفیسم است ، رسته n - Cat of (small) n- رسته ها در واقع یک ( n +) است 1) - دسته بندی.
یک رسته بندی n توسط القاء بر اساس n تعریف می شود:
- یک دسته 0 مجموعه ای است ،
- یک دسته بندی ( n + 1) دسته ای است که بر اساس دسته n - گربه غنی شده است .
بنابراین یک طبقه بندی فقط یک دسته (از نظر محلی کوچک) است.
monoidal ساختار مجموعه از یک داده شده توسط ضرب دکارتی به عنوان تانسور و یک تک به عنوان واحد است. در واقع به هر گروه با ضرب های محدود می توان ساختار یکپارچه داده شد. ساخت برگشتی n - Cat خوب عمل می کند زیرا اگر یک رسته C ضرب های متناهی داشته باشد ، رسته بندی رسته های غنی شده C نیز محصولات متناهی دارند.
در حالی که این مفهوم برای برخی از اهداف بسیار دقیق است ، برای مثال ، نظریه هموتوپی ، که در آن ساختارهای "ضعیف" به شکل رسته های بالاتر بوجود می آیند ، [1] گروه هایids هومیوتوپی بالاتر محکم مکعب نیز به عنوان ایجاد یک پایه جدید برای توپولوژی جبری در ایجاد شده است. مرز بین هومولوژی و نظریه هموتوپی. مقاله توپولوژی جبری غیرابلیایی ، که در کتاب زیر به آن اشاره شده است را مشاهده کنید.
رسته های ضعیف تر [ ویرایش ]
مقاله اصلی: رسته ضعیف
در گروههای ضعیف n ، شرایط انجمنی و هویتی دیگر سختگیرانه نیستند (یعنی با برابری به آنها داده نمی شود) ، بلکه به یک ایزومورفیسم سطح بعدی رضایت دارند. نمونه ای در توپولوژی ترکیب مسیرها است ، جایی که هویت و شرایط ارتباط فقط تا اندازه گیری مجدد و از این رو تا هموتوپی وجود دارد که همان 2 ایزومورفیسم برای این 2 دسته است. این n- isomorphism باید به خوبی بین مجموعه های خانگی رفتار کند و بیان این مشکل در تعریف رسته های ضعیف n است . دو دسته ضعیف ، دوچرخه نیز نامیده می شود، اولین کسانی بودند که به صراحت تعریف شدند. خصوصیت این موارد این است که یک رسته بندی با یک موضوع دقیقاً یک دسته یکپارچه است ، به طوری که می توان گفت دسته بندی ها "مقوله های یکنواختی با بسیاری از اشیاء" هستند. 3 طبقه ضعیف ، که به آنها نیز سه رسته بندی می گویند ، و تعمیم سطح بالاتر به طور فزاینده سخت تر تعریف می شوند. تعاریف متعددی ارائه شده است ، و گفتن وقتی آنها معادل هستند و به چه معنا ، در تئوری طبقه به یک موضوع جدید تبدیل شده است.
دسته های شبه [ ویرایش ]
مقاله اصلی: شبهرسته
مجتمع های ضعیف کان ، یا دسته های شبه مجموعه ، مجموعه های ساده ای هستند که نسخه ضعیف از شرایط Kan را راضی می کنند. آندره جویان نشان داد که آنها پایه و اساس خوبی برای تئوری طبقه بالاتر هستند. اخیراً ، در سال 2009 ، این نظریه بیشتر توسط ژاکوب لوری سیستماتیک شده است که آنها را فقط به عنوان دسته های بی نهایت می نامد ، اگرچه اصطلاح دوم نیز اصطلاح عام برای کلیه مدل های دسته (بی نهایت ، k ) برای هر k است .
دسته های غنی شده به طور همزمان [ ویرایش ]
مقاله اصلی: رسته غنی شده به سادگی
رسته های غنی شده غنی یا رسته بندی ساده ، رسته هایی هستند که براساس مجموعه های ساده غنی شده اند. با این حال ، هنگامی که ما آنها را به عنوان الگویی برای (نامحدود ، 1) - دسته ها نگاه می کنیم ، بسیاری از مفاهیم طبقه بندی (به عنوان مثال ، محدودیت ها) با مفاهیم مربوطه به معنای مقوله های غنی شده موافق نیستند. برای سایر مدل های غنی شده مانند دسته بندی های غنی شده از نظر توپولوژی نیز همین است.
دسته بندیهای غنی شده از نظر توپولوژیکی [ ویرایش ]
مقاله اصلی: دسته توپولوژیک
رسته بندی های غنی شده از نظر توپولوژیکی (بعضی اوقات به سادگی دسته بندی توپولوژیکی) رسته هایی هستند که براساس برخی از رسته های مناسب فضاهای توپولوژیکی غنی شده اند ، به عنوان مثال رسته فضاهای توپولوژیکی Hausdorff که به طور فشرده تولید شده اند.
رسته بندی های Segal [ ویرایش ]
مقاله اصلی: دسته سگال
اینها مدلهای رسته بالاتر هستند که در سال 1998 توسط هیرشوویتز و سیمپسون معرفی شدند ، [2] که تا حدودی از نتایج گریم سیگال در سال 1974 الهام گرفته شده است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.