فیبراسیون هاپ

fibration هاف می توان با استفاده از یک تجسم طرح stereographic از S 3 به R 3 و سپس فشرده سازی R 3 به مرز یک توپ است. این تصویر نقاط S 2 و الیاف مربوط به آنها را با همان رنگ نشان می دهد.

دو به دو در ارتباط جا کلیدی بخشی تقلید از fibration هاف.

در زمینه ریاضیات توپولوژی دیفرانسیل ، فیبراسیون هاپف (همچنین به عنوان بسته نرم افزاری هاپف یا نقشه هاپف نیز شناخته می شود ) از نظر دایره ها و یک کره معمولی ، یک 3 کره (یک ابرشهر در فضای چهار بعدی ) را توصیف می کند . توسط Heinz Hopf در سال 1931 کشف شد ، این یک نمونه اولیه تأثیرگذار از یک بسته فیبر است . از لحاظ فنی ، هافف یک تابع پیوسته (یا "نقشه" پیوسته از 3- کره روی 2- کره پیدا کرد به گونه ای که هر نقطه مشخص از2- کره از یک دایره بزرگ مشخص از 3 حوزه نقشه برداری می شود (هاپف 1931 ). [1] بنابراین 3 کره از الیاف تشکیل شده است ، که در آن هر فیبر یک دایره است - یکی برای هر نقطه از 2 کره.

این ساختار بسته الیاف مشخص شده است

$S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3} {\ xrightarrow \ p \،}} S ^ {2 ،$

به این معنی که فضای فیبر S 1 (یک دایره) در کل فضای S 3 ( 3- sphere) تعبیه شده است و p : S 3 → S 2 (نقشه هافف) S 3 را بر روی فضای پایه S 2 (معمولی 2- حوزه). فیبراسیون هاپف ، مانند هر بسته فیبر ، خاصیت مهمی دارد که بصورت محلی یک فضای محصول است . با این حال آن است که نمی بی اهمیت بسته نرم افزاری فیبر، یعنی S 3 است در سطح جهانیمحصولی از S 2 و S 1 اگرچه به صورت محلی قابل تشخیص نیست.

این پیامدهای بسیاری دارد: به عنوان مثال ، وجود این بسته نشان می دهد که گروه های هموتوپی بالاتر کره ها به طور کلی بی اهمیت نیستند. همچنین با شناسایی فیبر با گروه دایره ، نمونه اصلی یک بسته اصلی را ارائه می دهد .

طرح ریزی استریوگرافی فیبراسیون هاپف ساختار قابل توجهی را در R 3 ایجاد می کند ، که در آن فضا با تورهای تودرتو ساخته شده از اتصال حلقه های Villarceau پر شده است . در اینجا هر فیبر به یک دایره در فضا (یکی از آنها یک خط است ، که به عنوان یک "دایره ای از بینهایت" تصور می شود) پروژه ریزی می کند. هر طوفان ، طرحریشه ای استریوگرافی تصویر معکوس دایره ای از عرض جغرافیایی 2- کره است. (از نظر توپولوژیکی ، یک توروس محصول دو دایره است.) این تورها در سمت راست در تصاویر نشان داده شده اند. وقتی R 3 به مرز یک توپ فشرده شود ، برخی ساختار هندسی از بین می رود اگرچه ساختار توپولوژیکی حفظ می شود (نگاه کنید بهتوپولوژی و هندسه ). حلقه ها از نظر حلقه ها هومومورف هستند ، اگرچه آنها دایره های هندسی نیستند .

کلیات بیشماری در مورد فیبراسیون هاپف وجود دارد. حوزه واحد در مجتمع هماهنگ فضای C N 1 الیاف طبیعی بیش از پیچیده تصویری فضای CP N با محافل به عنوان الیاف، و نیز وجود دارد واقعی ، quaternionic ، [2] و octonionic نسخه از این fibrations. به طور خاص ، فیبراسیون Hopf به خانواده ای از چهار بسته فیبر تعلق دارد که در کل فضای ، فضای پایه و فضای فیبر همه کره ها هستند:

$S ^ {0} \ hookrightarrow S ^ {1} \ به S ^ {1 ،$