فیبر مراجعه کنید .

در توپولوژی ، شاخه ای از ریاضیات ، یک فیبراسیون تعمیم مفهوم بسته فیبر است . یک بسته فیبر باعث می شود که ایده یک فضای توپولوژیکی (که فیبر نامیده می شود) توسط یک فضای توپولوژیکی دیگر (به نام پایه) پارامتر شود. فیبراسیون مانند یک بسته فیبر است ، با این تفاوت که الیاف نیاز به فضای یکسان ندارند ، و حتی حتی هومومورفیک نیز ندارند . بلکه ، آنها فقط معادل هموتوپی هستند . فیبرهای ضعیف حتی این هم ارزی را برای خاصیت فنی تر کنار می گذارند.

لزوما لزوماً ساختار محصول محلی دکارتی را نداریم که موارد بسته شده تر فیبر را مشخص می کند ، اما چیزی ضعیف تر است که هنوز امکان حرکت "جانبی" از فیبر به فیبر را دارد. بسته های فیبر یک نظریه هموتوپی به خصوص ساده دارند که به اطلاعات توپولوژیکی مربوط به بسته نرم افزاری اطلاعات مربوط به یک یا هر دو فضای تشکیل دهنده این امکان را می دهد. فیبراسیون یک شرط اضافی ( خاصیت بالابردن هموتوپی ) را تضمین می کند که از نظر تئوری هموتوپی مانند یک بسته فیبر رفتار خواهد کرد.

Fibrations دوگانه به می cofibrations ، با یک تصور نسبت دوگانه از اموال پسوند هموتوپی ؛ این است که آزادانه به عنوان دوگانگی اکنمن - هیلتون شناخته شده است .

 

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

fibration (یا fibration Hurewicz یا فضای فیبر Hurewicz ، بنابراین پس از نام ویتولد Hurewicz ) است نگاشت پیوسته \ displaystyle p \ colone E \ to Bرضایت از بلند کردن هموتوپی با توجه به هر مکانی. بسته های فیبر (بیش از پایه های paracompact ) نمونه های مهمی را تشکیل می دهند. در تئوری هوموتوپی ، هر نقشه برداری به اندازه یك فیبراسیون مناسب است ، یعنی هر نقشه می تواند به عنوان یك همسانگردی به یك فضای مسیری نقشه برداری تبدیل شود و به دنبال آن فیبراسیون در الیاف هموتوپی انجام شود .

الیاف توسط تعریف زیرفضاهای هستند E که تصاویر معکوس از نقاط ب از ب . اگر فضای پایه B مسیر متصل باشد ، نتیجه این تعریف است که الیاف دو نقطه متفاوت استb_ {1 وb_ {2در B هستند homotopy معادل . بنابراین ، معمولاً از "فیبر" F صحبت می شود .

الیاف سرم [ ویرایش ]

نقشه برداری مداوم با ویژگی بلند کردن هموتوپی برای مجتمع های CW (یا معادل آن ، فقط مکعب ها){\ displaystyle I ^ {n}) به افتخار بخشی که توسط این مفهوم در پایان نامه ژان پیر سر انجام شده است ، یک فیبراسیون Serre یا یک ضعف ضعیف نامیده می شود . این پایان نامه بطور کامل در توپولوژی جبری استفاده از توالی های طیفی را ایجاد کرد ، و به روشنی مفاهیم بسته های فیبر و فیبرها را از مفهوم شفت جدا کرد (هر دو مفهوم با هم در درمان پیشگام ژان لری ضمنی بودند ). از آنجا که یک پوسته (که به عنوان یک فضای اتاقی تلقی می شود) می تواند یک هومومورفیسم محلی تلقی شود ، در آن زمان مفاهیم به هم پیوسته بودند. یکی از اصلی ترین خصوصیات مطلوب دنباله طیفی Serreبرای پاسخگویی به عملکرد گروه بنیادی پایه B در مورد همولوژي "كل فضای" E است .

توجه داشته باشید که فیبرهای Serre نسبت به فیبرها بطور کلی ضعیف هستند: خاصیت بالابردن هموتوپی فقط به مکعبها (یا مجتمعهای CW) نیاز دارد ، و به طور کلی در همه فضاها نیست. در نتیجه ، الیاف حتی ممکن است معادل هموتوپی نباشند. یک مثال صریح در زیر آورده شده است.

مثالها [ ویرایش ]

در مثالهای زیر ، فیبراسیون مشخص می شود

F → E → B ،

که در آن اولین نقشه به گنجاندن "" الیاف است F به فضای کل E و نقشه دوم fibration بر روی پایه و اساس است B . به این ترتیب به دنباله فیبراسیون نیز گفته می شود.

  • نقشه طرح ریزی از یک فضای محصول به راحتی فیبراسیون دیده می شود.
  • بسته های الیاف چیزهای بی اهمیت محلی دارند ، یعنی ساختارهای محصول دکارتی به صورت محلی در B وجود دارد ، و معمولاً این کافی است تا نشان دهد یک بسته فیبر یک فیبراسیون است. به طور دقیق تر ، اگر چیزهای بی اهمیت محلی بر روی یک پوشش باز بی شماری از B وجود داشته باشد ، بسته نرم افزاری یک فیبراسیون است. هر پوشش باز از paracompact فضای یک پالایش شمارش. به عنوان مثال ، هر نوع فضای باز یک فضای متریک دارای پالایش کاملاً محدود محلی است ، بنابراین هر بسته در چنین فضایی یک فیبراسیون است. ناچیز بودن محلی همچنین حاکی از وجود یک فیبر به خوبی تعریف شده ( تا هومومورفیسم) است )، حداقل در هر مولفه متصل از B .
  • هاف fibration S ^1 → S ^3 → S ^2 طول تاریخ یکی از اولین نمونه های غیر بدیهی از یک fibration بود.
  • فیبراسیون هاپ ها به فیبرهای بیش از فضای پروژکتور پیچیده تعمیم می دهند ، با یک فیبراسیون S ^1 → S ^2 n + 1 → CP n . مثال بالا یک مورد خاص برای n = 1 است زیرا CP 1 از نظر هومومورف S ^2 است .
  • فیبراسیون هاپ در مورد فیبراسیون بیش از فضای پروژکتور کواترنیونی تعمیم داده می شود ، با یک فیبراسیون Sp^ 1 → S ^4 n + 3 → HP n . الیاف در اینجا گروه کواترنیون های واحد Sp 1 است .
  • فیبراسیون Serre SO (2) → SO (3) → S ^2 از عمل گروه چرخش SO (3) بر روی 2 کره S 2 حاصل می شود . توجه داشته باشید که SO (3) با فضای پیش بینی شده واقعی R P 3 هومومورفیک است ، بنابراین S 3 یک پوشش دو برابر SO (3) است ، و بنابراین فیبر هیپ ها پوشش جهانی است.
  • مثال قبلی را می توان به یک فیبراسیون SO ( n ) → SO ( n + 1) → S n برای هر عدد صحیح غیر منفی n تعمیم داد (اگرچه آنها فقط فیبرهایی دارند که فقط یک نقطه نیست n > 1 ) که از عمل گروه خاص متعامد متعادل ( n + 1) در n- sphere حاصل می شود.

مثال ضعف فیبر [ ویرایش ]

مثالهای قبلی همه دارای فیبرهایی هستند که معادل هموتوپی هستند. این باید در مورد فیبرها بطور کلی اتفاق بیفتد ، اما لزوماً برای فیبرهای ضعیف نیست. ایده فیبراتیو ضعیف نسبت به فیبراسیون ضعیف است ، همانطور که در مثال زیر نشان داده شده است: الیاف ممکن است حتی از نوع هموتوپی یکسان برخوردار نباشند .

زیر مجموعه هواپیمای واقعی را در نظر بگیرید\ mathbb {R} ^ {2 داده شده توسط

{\ displaystyle E = \ {(x، y): x = y، x \ in I \} \ cup \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} \ at بالای n> 0} \ {(x، y) : x \ in I ، y = 1 + 1 / n \}}

و فضای پایه داده شده توسط فاصله واحد\ displaystyle B = I = \ {x: 0 \ leq x \ leq 1 \}طرح ریزی توسط{\ نمایشگر p (x ، y) = x. به راحتی می توان فهمید که این یک فیبراسیون Serre است. با این حال ، فیبر\ displaystyle p ^ {- 1} (0) و فیبر در\ displaystyle p ^ {- 1} (1)معادل هموتوپی نیستند فضا\ displaystyle p ^ {- 1} (1) \ بار من} تزریق آشکار به فضای کل ه و در فضای پایه یک هموتوپی آشکار (عملکرد ثابت) دارد ب؛ با این حال ، نمی توان آن را برداشته و بنابراین نمونه به طور کلی نمی تواند یک فیبر باشد.

دنباله دقیق طولانی گروههای هموتوپی [ ویرایش ]

یک نقطه پایه b 0 ∈ B را انتخاب کنید . بگذارید F به فیبر بالای b 0 ، یعنی F = p -1 ({ b 0 }) اشاره کند . و بگذارید که من شامل F → E باشم . یک نقطه پایه f 0 ∈ F را انتخاب کنید و بگذارید e 0 = i ( f 0 ) . از نظر این نقاط پایه ، می توان از توالی Puppe استفاده کرد تا نشان دهد یک دنباله دقیق طولانی وجود دارد

\ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ n-1} (F) \ to \ cdots \ to \ pi _ {0} (F) \ to \ pi _ {0} (E).

از گروه های هموتوپی فیبر F ، کل فضای E و فضای پایه B ساخته شده است . homomorphisms π N ( F ) → π N ( E ) و π N ( E ) → π N ( B ) فقط homomorphisms ناشی از هستند من و ص بود. نقشه های مربوط به π 0 هم همورفیسم گروهی نیستند زیرا π 0 گروه نیستند ، اما دقیقاً به این معنا هستند که تصویر برابر با هسته است (در اینجا "عنصر خنثی" مؤلفه متصل به آن است که حاوی نقطه پایه است).

این توالی برای هر دو فیبراسیون و برای فیبرهای ضعیف وجود دارد ، اگرچه اثبات این دو مورد کمی متفاوت است.

اثبات [ ویرایش ]

یک روش ممکن برای اثبات اینکه توالی فوق به خوبی تعریف شده و دقیق است ، در حالی که از تماس با توالی Puppe اجتناب می کنید ، انجام مستقیم به شرح زیر است. مجموعه سوم همومورفیزم β n  : π n ( B ) π n −1 ( F ) (که به آن «همو مورفیسم اتصال دهنده» (با اشاره به لم مار ) یا «نقشه های مرزی» گفته می شود) یک نقشه القایی نیست و است. به طور مستقیم در گروه های هموتوپی مربوطه با مراحل زیر تعریف شده است.

  1. اول، یک اصطلاح کمی: اجازه δ N  : S N → D N 1 می باشد گنجاندن مرز N -sphere به ( N 1) -Ball . بگذارید γ n  : D n → S n نقشه ای باشد که تصویر δ n -1 را در D n تا یک نقطه جمع می کند.
  2. بگذارید φ  : S n → B یک نقشه نماینده برای عنصر π n ( B ) باشد.
  3. از آنجا که D n هومومورف است به مکعب n بعدی ، ما می توانیم از ویژگی بلند کردن هموتوپی برای ساخت آسانسور λ استفاده کنیم  : D n → E از φ ∘ γ n (یعنی ، یک نقشه λ به گونه ای باشد که p ∘ λ = φ ∘ γ n ) با شرایط اولیه F 0 .
  4. از آنجا γ N ∘ و دلتا N -1 یک نقشه نقطه (آخرت به عنوان "اشاره شده است PT ")، PT = φ ∘ γ N ∘ و دلتا N -1 = P ∘ λ ∘ و دلتا N -1 ، که نشان میدهد که تصویر λ ∘ و دلتا N -1 است در F . بنابراین ، یک نقشه ψ وجود دارد  : S n −1 → F به گونه ای که i ∘ ψ = λ∘ δ n −1 .
  5. ما β n [ φ ] = [ ψ ] را تعریف می کنیم .

موارد فوق در نمودار تبدیلی زیر خلاصه شده است :

گروه های هموتوپی الیاف LES متصل کننده diagram.svg

كاربرد مكرر از ويژگي بلند كردن هموتوپي براي اثبات اينكه β n به خوبي تعريف شده است (به يك آسانسور خاص بستگي ندارد) استفاده مي شود ، فقط به كلاس هموتوپي استدلال آن بستگي دارد ، آن يك همجنسگرايي است و توالي طولاني دقيق است.

از طرف دیگر ، می توان از گروه های هموتوپی نسبی برای به دست آوردن توالی دقیق دقیق در هموتوپی یک فیبراسیون از توالی دقیق طولانی در هموتوپی نسبی [1] جفت استفاده کرد.{\ displaystyle F \ subseteq E. یکی از آنهایی که گروه هموتوپی n استفاده می کنده نسبت به ف از نظر گروه هموتوپی پایه هفتم بی هوازی است ب.

مثال [ ویرایش ]

ممکن است فرد نیز در جهت معکوس پیش رود. وقتی فیبر نوری نگاشت نقشه (دو برابر مخروط نقشه برداری ، یک کوفیبراسیون ) باشد ، آنگاه یک دنباله دقیق Puppe بدست می آید . در اصل ، توالی دقیق و طولانی گروههای هموتوپی از این واقعیت ناشی می شود که می توان گروه های هموتوپی را به صورت تعلیق یا فضای دو حلقه ای حلقه بدست آورد .

مشخصه اویلر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ویژگی اویلر

مشخصه اویلر χ ضربی است fibrations با شرایط خاصی است.

اگر p  : E → B فیبراسیون با فیبر F باشد ، با پایه B مسیر متصل شده و فیبراسیون نسبت به یک میدان K جهت یابی دارد ، سپس مشخصه اویلر با ضرایب در زمینه K خاصیت محصول را برآورده می کند: [2]

(χ ( E ) = χ ( F ) · χ ( B .

این شامل فضاهای محصول و پوشاندن فضاها به عنوان موارد خاص است و می توان با توالی طیفی Serre در مورد همولوژی یک فیبراسیون اثبات کرد .

برای بسته نرم افزاری فیبر، این هم می تواند در شرایط یک درک شود نقشه انتقال τ  : H * ( B ) → H * ( E ) توجه داشته باشید که این یک عمل بالا است و می رود "راه اشتباه" ترکیب -whose با ترسیم نقشه ص ∗  : H ∗ ( E ) → H ∗ ( B ) ضرب با مشخصه اویلر فیبر است: [3] p ∗ ∘ τ = χ ( F ) · 1 .

الیاف در دسته های مدل بسته [ ویرایش ]

فیبرهای فضاهای توپولوژیکی در یک چارچوب کلی تر ، به اصطلاح دسته های مدل بسته ، متناسب با قضیه مدل های حلقوی متناسب هستند . در چنین دسته هایی ، طبقات متمایز از مورفیزها ، به اصطلاح فیبراسیون ها ، کوفیبره ها و معادل های ضعیف وجود دارد . برخی از بدیهیات مانند پایداری فیبرهای تحت ترکیب و فشارهای برگشتیفاکتورسازی هر مورفیسم در ترکیب یک کوفیبراسیون حلقوی و به دنبال آن یک فیبراسیون یا یک کوفیبراسیون و به دنبال آن فیبراسیون حلقوی ، جایی که کلمه "acyclic" نشان می دهد که فلش مربوطه نیز یک معادل ضعیف است و سایر الزامات تنظیم شده است. درمان انتزاعی نظریه هموتوپی. (در درمان اصلی ، به دلیل دانیل کوئیلن ، کلمه "بی اهمیت" به جای "چرخه ای" استفاده شده است.)

می توان نشان داد که دسته فضاهای توپولوژیک در حقیقت یک دسته مدل است ، که در آن (فیبرهای انتزاعی) فقط فیبرهای Serre معرفی شده در بالا و هم ارزی های ضعیف ، هم ارزی های هموتوپی ضعیف هستند . [4]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibration