یک مدل ریاضی شرح سیستم با استفاده از مفاهیم ریاضی و زبان است . فرایند تهیه یک مدل ریاضی ، مدل سازی ریاضی نامیده می شود . مدل های ریاضی در علوم طبیعی (مانند فیزیک ، زیست شناسی ، علوم زمین ، شیمی ) و رشته های مهندسی (مانند علوم کامپیوتر ، مهندسی برق ) و همچنین در علوم اجتماعی (مانند اقتصاد ، روانشناسی ، و غیره) استفاده می شود.جامعه شناسی ، علوم سیاسی ).

یک مدل ممکن است به تبیین یک سیستم و مطالعه اثرات اجزای مختلف و پیش بینی در مورد رفتار کمک کند.

 

فهرست

عناصر یک مدل ریاضی [ ویرایش ]

مدلهای ریاضی می توانند اشکال مختلفی از جمله سیستمهای دینامیکی ، مدلهای آماری ، معادلات دیفرانسیل یا مدلهای تئوری بازی را به دست آورند . این و سایر انواع مدل ها می توانند با هم همپوشانی داشته باشند ، با یک مدل داده شده شامل انواع ساختارهای انتزاعی. به طور کلی ، مدلهای ریاضی ممکن است شامل مدلهای منطقی باشند . در بسیاری از موارد ، کیفیت یک رشته علمی بستگی به این دارد که مدلهای ریاضی که از طرف تئوری تولید شده اند ، با نتایج آزمایش های قابل تکرار موافقند. عدم توافق بین مدلهای ریاضی نظری و اندازه گیری های تجربی اغلب با پیشرفت تئوریهای بهتر منجر به پیشرفتهای مهم می شود.

در علوم فیزیکی ، یک مدل ریاضی سنتی شامل اکثر عناصر زیر است:

  1. معادلات حاکم
  2. مدلهای فرعی تکمیلی
    1. تعریف معادلات
    2. معادلات سازنده
  3. فرضیات و محدودیت ها
    1. شرایط اولیه و مرزی
    2. محدودیت های کلاسیک و معادلات سینماتیک

طبقه بندی ها [ ویرایش ]

مدلهای ریاضی معمولاً از روابط و متغیرها تشکیل شده اند . روابط را می توان توسط اپراتورها ، مانند اپراتورهای جبری ، توابع ، اپراتورهای دیفرانسیل و غیره توصیف کرد. متغیرها انتزاعی از پارامترهای مورد علاقه سیستم هستند که می توانند اندازه گیری شوند . چندین معیار طبقه بندی با توجه به ساختار آنها می تواند برای مدلهای ریاضی استفاده شود:

  • خطی در مقابل غیرخطی: اگر همه اپراتورهای یک مدل ریاضی خطی نشان دهند ، مدل ریاضی حاصل به عنوان خطی تعریف می شود. در غیر این صورت یک مدل غیرخطی محسوب می شود. تعریف خطی و غیرخطی بستگی به متن دارد و مدلهای خطی ممکن است در آنها عبارات غیرخطی داشته باشند. به عنوان مثال ، در یک مدل خطی آماری فرض بر این است که یک رابطه در پارامترها خطی است ، اما ممکن است در متغیرهای پیش بینی کننده غیرخطی باشد. به طور مشابه ، معادله دیفرانسیل گفته می شود اگر می توان با عملگرهای دیفرانسیل خطی نوشت ، خطی است ، اما همچنان می تواند عبارات غیرخطی را در آن داشته باشد. در یک برنامه نویسی ریاضیاگر توابع و محدودیتهای هدف کاملاً توسط معادلات خطی نشان داده شوند ، مدل به عنوان یک مدل خطی در نظر گرفته می شود. اگر یک یا چند تابع هدف یا محدودیت با یک معادله غیرخطی نمایش داده شود ، آنگاه این مدل به عنوان یک مدل غیرخطی شناخته می شود.
    غیرخطی بودن ، حتی در سیستمهای نسبتاً ساده ، غالباً با پدیده هایی چون آشوب و برگشت ناپذیر همراه است . اگرچه استثنائاتی وجود دارد ، اما سیستمها و مدلهای غیرخطی مطالعه نسبت به سیستمهای خطی دشوارتر هستند. یک رویکرد رایج برای مشکلات غیرخطی خطی سازی است ، اما اگر کسی بخواهد جنبه هایی از قبیل برگشت ناپذیری را که به شدت با غیرخطی گره خورده است ، مورد مطالعه قرار دهد ، مشکل ساز است.
  • استاتیک در مقابل دینامیک: یک مدل پویا تغییرات وابسته به زمان را در وضعیت سیستم به حساب می آورد ، در حالی که یک مدل ایستا (یا حالت پایدار) سیستم را در حالت تعادل محاسبه می کند و بنابراین بی زمان است. مدل های دینامیکی به طور معمول توسط معادلات دیفرانسیل یا معادلات اختلاف نشان داده می شوند .
  • آشکار در مقابل ضمنی: اگر همه پارامترهای ورودی مدل کلی شناخته شده باشند و پارامترهای خروجی را می توان با یک سری محاسبات محدود محاسبه کرد ، گفته می شود که این مدل صریح است . اما گاهی اوقات این پارامترهای خروجی شناخته شده است ، و ورودی های مربوطه باید با یک روش تکرار شونده حل شوند ، مانند روش نیوتن (اگر مدل خطی است) یا روش برویدن (اگر غیر خطی باشد). در چنین حالتی گفته می شود که این مدل ضمنی است . به عنوان مثال ، با توجه به چرخه ترمودینامیکی طراحی می توان خصوصیات فیزیکی یک موتور جت مانند توربین و نازل گلو را محاسبه کرد. (سرعت جریان هوا و سوخت ، فشارها و دما) در شرایط خاص پرواز و تنظیم نیرو ، اما چرخه های عملکرد موتور در سایر شرایط پرواز و تنظیمات قدرت نمی تواند صریحاً از خصوصیات بدنی ثابت محاسبه شود.
  • گسسته در مقابل پیوسته: یک مدل گسسته با اشیاء جداگانه مانند ذرات موجود در یک مدل مولکولی یا حالت ها در یک مدل آماری رفتار می کند . در حالی که یک مدل پیوسته اشیاء را به صورت مداوم نشان می دهد ، مانند میدان سرعت سیال در جریان لوله ها ، دما و فشار در یک میدان جامد و الکتریکی که به دلیل بارگذاری نقطه به طور مداوم در کل مدل اعمال می شود.
  • جبرگرایانه در برابر احتمالی (تصادفی): یک مدل قطعی است که در آن هر مجموعه ای از حالتهای متغیر با پارامترهای موجود در مدل و توسط مجموعه ای از حالتهای قبلی این متغیرها بطور منحصر به فرد تعیین می شوند. بنابراین ، یک مدل قطعی همیشه برای مجموعه مشخصی از شرایط اولیه ، به همان روش عمل می کند. برعکس ، در یک مدل تصادفی - که معمولاً به عنوان " مدل آماری " خوانده می شود ، تصادفی وجود دارد و حالت های متغیر با مقادیر منحصر به فرد توصیف نمی شوند ، بلکه توزیع های احتمالی هستند.
  • قیاسی ، استقرا یا شناور: یک مدل قیاسی یک ساختار منطقی است که براساس یک نظریه ساخته شده است. یک مدل استقرایی ناشی از یافته های تجربی و تعمیم آنهاست. مدل شناور نه بر تئوری و نه مشاهده استوار است ، بلکه صرفاً فراخوانی ساختار مورد انتظار است. کاربرد ریاضیات در علوم اجتماعی خارج از اقتصاد برای مدلهای بی اساس مورد انتقاد قرار گرفته است. [1] کاربرد تئوری فاجعه در علم به عنوان یک مدل شناور توصیف شده است. [2]

ساخت و ساز [ ویرایش ]

در تجارت و مهندسی ، مدلهای ریاضی ممکن است برای به حداکثر رساندن بازده خاص استفاده شوند. سیستم مورد نظر به ورودی های خاصی نیاز دارد. سیستم مربوط به ورودی به خروجیها به متغیرهای دیگر نیز بستگی دارد: متغیرهای تصمیم گیری ، متغیرهای حالت ، متغیرهای برونزا و متغیرهای تصادفی .

متغیرهای تصمیم گیری بعضا به عنوان متغیرهای مستقل شناخته می شوند. متغیرهای اگزوژن گاهی به عنوان پارامترها یا ثابت شناخته می شوند . متغیرها از یکدیگر مستقل نیستند زیرا متغیرهای حالت به متغیرهای تصمیم ، ورودی ، تصادفی و برونزا وابسته هستند. علاوه بر این ، متغیرهای خروجی به وضعیت سیستم وابسته هستند (که توسط متغیرهای حالت نشان داده شده است).

اهداف و محدودیتهای سیستم و کاربران آن می توانند به عنوان توابع متغیرهای خروجی یا متغیرهای حالت معرفی شوند. توابع هدف در منظر کاربران مدل بستگی دارد. بسته به متن ، یک تابع هدف نیز به عنوان یک شاخص عملکرد شناخته می شود ، زیرا این یک اندازه گیری مورد علاقه کاربر است. اگرچه هیچ محدودیتی برای تعداد عملکردها و محدودیتهای هدف وجود ندارد ، اما با افزایش یا افزایش تعداد ، استفاده یا بهینه سازی مدل بیشتر درگیر می شود.

به عنوان مثال ، اقتصاددانان غالباً هنگام استفاده از مدل های خروجی ورودی ، از جبر خطی استفاده می کنند . مدلهای پیچیده ریاضی که متغیرهای زیادی دارند ممکن است با استفاده از بردارها در جایی که یک نماد چندین متغیر را نشان می دهد ادغام شوند.

اطلاعات پیشینی [ ویرایش ]

برای تجزیه و تحلیل چیزی با یک "رویکرد جعبه سیاه" معمولی ، فقط رفتار محرک / پاسخ برای استنباط کادر (ناشناخته) حساب خواهد شد . نمایش معمول این سیستم جعبه سیاه یک نمودار جریان داده است که محور آن قرار دارد.

مشکلات مدلسازی ریاضی اغلب به طبقه بندی جعبه سیاه یا جعبه سفید مدل، با توجه به چه مقدار پیشینی اطلاعات بر روی سیستم موجود است. مدل جعبه سیاه سیستمی است که هیچ اطلاعاتی از پیشینی در دسترس نیست. یک مدل جعبه سفید (به آن جعبه شیشه ای یا جعبه روشن نیز گفته می شود) سیستمی است که تمام اطلاعات لازم در آن موجود است. تقریبا همه سیستم ها بین مدل های جعبه سیاه و جعبه سفید جایی هستند ، بنابراین این مفهوم تنها به عنوان یک راهنمای شهودی برای تصمیم گیری در مورد کدام روش مفید است.

معمولاً برای دقیق تر بودن مدل ، استفاده از هرچه بیشتر اطلاعات پیشینی بهتر است. بنابراین ، مدل های جعبه سفید معمولاً ساده تر در نظر گرفته می شوند ، زیرا اگر از اطلاعات به درستی استفاده کرده باشید ، آنگاه مدل به درستی رفتار خواهد کرد. غالباً اطلاعات پیشینی به شکلی از دانستن نوع عملکردهای متغیرهای مختلف ارائه می شود. به عنوان مثال ، اگر ما یک الگوی چگونگی عملکرد یک دارو در یک سیستم انسانی را ایجاد کنیم ، می دانیم که معمولاً میزان دارو در خون پوسیدگی نمایی استتابع. اما ما هنوز چند پارامتر ناشناخته باقی مانده ایم. چه مقدار دارو به سرعت پوسیده می شود و مقدار اولیه دارو در خون چقدر است؟ بنابراین این مثال یک مدل کاملاً سفید نیست. این پارامترها باید قبل از استفاده از مدل از طریق برخی روشها تخمین زده شوند.

در مدلهای جعبه سیاه سعی در برآورد هر دو شکل عملکردی روابط بین متغیرها و پارامترهای عددی در آن توابع است. برای مثال با استفاده از اطلاعات قبلی می توانیم به مجموعه ای از توابع که احتمالاً می توانند سیستم را به طور مناسب توصیف کنند ، پایان دهیم. اگر اطلاعات پیشینی وجود نداشته باشد ، ما سعی خواهیم کرد که از توابع به طور کلی استفاده کنیم تا همه مدلهای مختلف را پوشش دهیم. روش اغلب مورد استفاده برای مدل های جعبه سیاه شبکه های عصبی هستند که معمولاً فرضیاتی در مورد داده های دریافتی ندارند. از طرفی الگوریتم های NARMAX (میانگین غیرمستقیم AutoRegression Moving میانگین با ورودی eXogenous) که به عنوان بخشی از شناسایی سیستم غیرخطی تهیه شده اند [3]می توان برای انتخاب اصطلاحات مدل ، تعیین ساختار مدل و برآورد پارامترهای ناشناخته در حضور نویزهای همبسته و غیرخطی استفاده کرد. مزیت مدلهای NARMAX در مقایسه با شبکه های عصبی این است که NARMAX مدلهایی را تولید می کند که می توانند در آن بنویسند و مربوط به فرآیند زمینه ای باشند ، در حالی که شبکه های عصبی تقریبی را مات می کنند.

اطلاعات ذهنی [ ویرایش ]

بعضی اوقات استفاده از اطلاعات ذهنی در یک مدل ریاضی مفید است. این کار را می توان بر اساس شهود ، تجربه یا نظر کارشناسی یا مبتنی بر راحتی فرم ریاضی انجام داد. آمار بیزی یک چارچوب نظری برای درج اینگونه ذهنیت ها در یک تحلیل دقیق فراهم می کند: ما یک توزیع احتمال قبلی (که می تواند ذهنی باشد) را مشخص می کنیم ، و سپس این توزیع را بر اساس داده های تجربی به روز می کنیم.

نمونه ای از ضرورت چنین رویکردی وضعیتی است که در آن یک آزمایشگر یک سکه را کمی خم می کند و یکبار آن را می ریزد ، ضبط می کند که آیا سرش بالا می رود یا خیر ، وظیفه دارد پیش بینی احتمال اینکه تلنگر بعدی سر برود ، پیش بینی کند. پس از خم کردن سکه ، احتمال واقعی سکه به سر خواهد آمد ناشناخته است. بنابراین آزمایشگر باید تصمیم بگیرد (شاید با نگاه به شکل سکه) در مورد توزیع قبلی برای استفاده. ادغام چنین اطلاعات ذهنی ممکن است برای به دست آوردن یک برآورد دقیق از احتمال مهم باشد.

پیچیدگی [ ویرایش ]

به طور کلی ، پیچیدگی مدل شامل یک تجارت بین سادگی و دقت مدل است. تیغ اوکام یک اصل است که به خصوص برای مدل سازی بسیار مهم است و ایده اصلی آن اینست که در بین مدل هایی با قدرت پیش بینی تقریبا مساوی ، ساده ترین مورد مطلوب ترین است. در حالی که پیچیدگی اضافه شده معمولاً واقع گرایانه یک مدل را بهبود می بخشد ، می تواند مدل را درک و تجزیه و تحلیل کند و همچنین می تواند مشکلات محاسباتی از جمله بی ثباتی عددی را ایجاد کند . توماس کوهن استدلال می کند که با پیشرفت علم ، توضیحات قبل از اینکه یک تغییر پارادایم ساده تر شود ، پیچیده تر می شوند . [4]

به عنوان مثال ، هنگام مدل سازی پرواز هواپیما ، می توانیم هر قسمت مکانیکی هواپیما را در مدل خود جاسازی کنیم و بدین ترتیب یک مدل جعبه سفید تقریباً از سیستم به دست می آوریم. با این حال ، هزینه محاسباتی برای اضافه کردن چنین حجم عظیمی از جزئیات به طور موثر مانع استفاده از چنین مدلی می شود. علاوه بر این ، عدم اطمینان به دلیل وجود یک سیستم بیش از حد پیچیده افزایش می یابد ، زیرا هر قسمت جداگانه مقداری از واریانس را به مدل القا می کند. بنابراین معمولاً مقادیر تقریبی برای کاهش مدل به اندازه معقول مناسب است. مهندسان غالباً می توانند برای دستیابی به یک مدل مستحکم تر و ساده ، مقادیر تقریبی را بپذیرند. به عنوان مثال ، مکانیک کلاسیک نیوتن الگویی تقریبی از دنیای واقعی است. با این وجود ، مدل نیوتن برای اکثر شرایط زندگی معمولی کاملاً کفایت می کند ، یعنی تا زمانی که سرعت ذرات بسیار پایین تر از سرعت نور باشند و ما فقط ذرات کلان را مطالعه می کنیم.

آموزش و تنظیم [ ویرایش ]

هر مدلی که جعبه سفیدی خالص نداشته باشد حاوی پارامترهایی است که می تواند برای تناسب مدل با سیستم مورد نظر برای توصیف آن استفاده شود. اگر مدل سازی توسط یک شبکه عصبی مصنوعی یا یادگیری ماشین دیگر انجام شود ، بهینه سازی پارامترها آموزش نامیده می شود ، در حالی که بهینه سازی هایپرپارامترهای مدل ، تنظیم نامیده می شوند و اغلب از اعتبار سنجی متقابل استفاده می شود . [5] در مدل سازی های متعارف تر از طریق توابع ریاضی به صراحت داده می شود، پارامترهای اغلب توسط تعیین برازش منحنی [ نیازمند منبع ] .

ارزیابی مدل [ ویرایش ]

بخش مهمی از فرآیند مدل سازی ارزیابی این است که آیا یک مدل ریاضی معین یک سیستم را به طور دقیق توصیف می کند. پاسخ به این سؤال دشوار است زیرا شامل چندین نوع ارزیابی مختلف است.

متناسب با داده های تجربی [ ویرایش ]

معمولاً ساده ترین قسمت ارزیابی مدل بررسی این است که آیا یک مدل با اندازه گیری های تجربی متناسب است یا سایر داده های تجربی. در مدلهای دارای پارامترها ، یک روش معمول برای آزمایش این تناسب تقسیم داده ها به دو زیر مجموعه جدا است: داده های آموزشی و داده های تأیید. از داده های آموزش برای تخمین پارامترهای مدل استفاده می شود. یک مدل دقیق با داده های تأیید از نزدیک تطابق می کند حتی اگر این داده ها برای تنظیم پارامترهای مدل مورد استفاده قرار نگیرند. این روش در آمار به عنوان اعتبار متقابل گفته می شود .

تعیین یک متریک برای اندازه گیری فاصله بین داده های مشاهده شده و پیش بینی شده یک ابزار مفید برای ارزیابی تناسب مدل است. در آمار ، تئوری تصمیم گیری و برخی از مدلهای اقتصادی ، عملکرد ضرر نقش مشابهی را ایفا می کند.

اگرچه آزمایش مناسب بودن پارامترها بسیار ساده است ، اما می توان تست صحت فرم ریاضی عمومی یک مدل را دشوارتر کرد. به طور کلی ، ابزارهای ریاضی بیشتری برای آزمایش مناسب بودن مدلهای آماری نسبت به مدلهای مربوط به معادلات دیفرانسیل ایجاد شده است . ابزارهایی که از آمار غیرپارامتری استفاده می شوند ، گاهی اوقات می توانند برای ارزیابی میزان مناسب بودن داده ها با یک توزیع شناخته شده یا به دست آوردن یک مدل کلی که تنها فرضیات حداقل در مورد فرم ریاضی مدل را ارائه می دهند ، مورد استفاده قرار گیرند.

دامنه مدل [ ویرایش ]

ارزیابی دامنه یک مدل ، یعنی تعیین شرایطی که مدل برای آن کاربرد دارد ، می تواند ساده تر باشد. اگر این مدل بر اساس مجموعه ای از داده ها ساخته شده باشد ، باید مشخص شود که داده های شناخته شده برای کدام سیستم یا موقعیت ها یک مجموعه "معمولی" از داده ها هستند.

این سؤال که آیا مدل به خوبی خواص سیستم بین نقاط داده را توصیف می کند ، درون یابی نامیده می شود ، و همان سؤال برای وقایع یا نقاط داده خارج از داده های مشاهده شده ، برون یابی نامیده می شود .

به عنوان نمونه ای از محدودیت های معمولی دامنه یک مدل ، در ارزیابی مکانیک کلاسیک نیوتنی ، می توانیم توجه داشته باشیم که نیوتن اندازه گیری های خود را بدون تجهیزات پیشرفته انجام داده است ، بنابراین او نمی تواند خصوصیات ذرات مسافرتی را با سرعت نزدیک به سرعت نور اندازه گیری کند. به همین ترتیب ، او حرکات مولکول ها و ذرات کوچک دیگر را نیز اندازه گیری نکرد ، بلکه فقط ذرات کلان را اندازه می گرفت. پس جای تعجب آور نیست که الگوی وی به خوبی در این حوزه ها خارج نشود ، حتی اگر مدل وی برای فیزیک زندگی معمولی کاملاً کافی باشد.

ملاحظات فلسفی [ ویرایش ]

بسیاری از انواع مدل سازی به طور ضمنی شامل ادعاهایی درباره علیت هستند . این معمولاً (اما نه همیشه) در مورد مدلهای مربوط به معادلات دیفرانسیل صادق است. از آنجا که هدف از مدل سازی افزایش درک ما از جهان است ، اعتبار یک مدل نه تنها به تناسب آن با مشاهدات تجربی است ، بلکه بر توانایی آن برای برون یابی به موقعیت ها یا داده های فراتر از آنچه در ابتدا در مدل توضیح داده شده است ، بستگی دارد. می توان از این نظر به عنوان تمایز بین پیش بینی های کیفی و کمی فکر کرد. همچنین می توان استدلال کرد که یک مدل بی ارزش است ، مگر اینکه بینشی ارائه دهد که فراتر از آنچه که از تحقیقات مستقیم پدیده مورد بررسی قرار گرفته است ، فراتر رود.

نمونه ای از چنین انتقادی ، این استدلال است که مدل های ریاضی نظریه مطلوب تغذیه ، بینشی را ارائه نمی دهد که فراتر از نتیجه گیری های عقل سلیم از تکامل و سایر اصول اساسی بوم شناسی است. [6]

اهمیت در علوم طبیعی [ ویرایش ]

مدل های ریاضی از اهمیت بالایی در علوم طبیعی به ویژه در فیزیک برخوردار هستند . تئوریهای فیزیکی تقریباً با استفاده از مدلهای ریاضی بیان می شوند.

در طول تاریخ ، مدل های ریاضی بیشتر و دقیق تری تهیه شده است. قوانین نیوتن بسیاری از پدیده های روزمره را به طور دقیق توصیف می کند ، اما در حدود مشخصی باید از نظریه نسبیت و مکانیک کوانتومی استفاده کرد.

استفاده از مدلهای ایده آل در فیزیک برای ساده کردن موارد متداول است. طناب های بی حجم ، ذرات نقطه ، گازهای ایده آل و ذرات موجود در جعبه از بسیاری از مدل های ساده شده مورد استفاده در فیزیک هستند. قوانین فیزیک با روابط ساده مانند قوانین نیوتن، به نمایندگی از معادلات ماکسول و معادله شرودینگر . این قوانین پایه ای برای ساختن مدل های ریاضی از موقعیت های واقعی است. بسیاری از موقعیت های واقعی بسیار پیچیده هستند و بنابراین تقریبی بر روی یک کامپیوتر مدل می شوند ، مدلی که برای محاسبه محاسباتی امکان پذیر باشد ، از قوانین اساسی یا از مدل های تقریبی ساخته شده از قوانین اساسی ساخته شده است. به عنوان مثال ، مولکول ها را می توان با مداری مولکولی مدل کردمدل هایی که راه حل تقریبی برای معادله شرودینگر هستند. در مهندسی ، مدل های فیزیک اغلب با روش های ریاضی مانند تجزیه و تحلیل عناصر محدود ساخته می شوند .

مدل های مختلف ریاضی از هندسه های مختلفی استفاده می کنند که لزوماً توصیف های دقیقی از هندسه جهان نیستند. هندسه اقلیدسی در فیزیک کلاسیک بسیار مورد استفاده قرار می گیرد ، در حالی که نسبیت ویژه و نسبیت عام نمونه ای از تئوری هایی هستند که از هندسه هایی استفاده می کنند که اقلیدسی نیستند.

برخی از برنامه ها [ ویرایش ]

از زمان های قبل از تاریخ ، از مدل های ساده ای مانند نقشه ها و نمودارها استفاده شده است.

غالباً وقتی مهندسان سیستمی را برای کنترل یا بهینه سازی تجزیه و تحلیل می کنند ، از یک مدل ریاضی استفاده می کنند. در تجزیه و تحلیل ، مهندسان می توانند الگوی توصیفی از سیستم را به عنوان فرضیه چگونگی عملکرد سیستم بسازند ، یا سعی کنند تخمین بزنند که چگونه یک رویداد غیرقابل پیش بینی می تواند روی سیستم تأثیر بگذارد. به طور مشابه ، مهندسان می توانند در کنترل یک سیستم ، روشهای مختلف کنترل را در شبیه سازی ها امتحان کنند .

یک مدل ریاضی معمولاً سیستم را توسط مجموعه ای از متغیرها و مجموعه معادلات که روابط بین متغیرها را برقرار می کند ، توصیف می کند. متغیرها ممکن است انواع مختلفی داشته باشند. به عنوان مثال ، اعداد واقعی یا عدد صحیح ، مقادیر بولی یا رشته ها . متغیرها برخی از ویژگیهای سیستم را نشان می دهند ، به عنوان مثال ، خروجی های اندازه گیری شده از سیستم اغلب به صورت سیگنال ، داده های زمان بندی ، پیشخوان ها و وقوع رویداد (بله / خیر). مدل واقعی مجموعه توابع است که روابط بین متغیرهای مختلف را توصیف می کند.

مثالها [ ویرایش ]

  • یکی از نمونه های رایج در علوم رایانه مدل های ریاضی دستگاه های مختلف است ، نمونه آن اتوماتیک محدود قطعی (DFA) است که به عنوان یک مفهوم انتزاعی ریاضی تعریف می شود ، اما به دلیل ماهیت قطعی یک DFA ، در سخت افزار قابل اجرا است و نرم افزار برای حل مشکلات خاص مختلف. به عنوان مثال ، زیر یک DFA M با الفبای باینری است که مستلزم آن است که ورودی دارای عدد یکسان 0 باشد.

نمودار حالت برای M

M = ( Q ، Σ ، δ ، q 0 ، F ) در کجا

 

0

1

س 1اس 2س 1
اس 2س 1اس 2

حالت S 1 بیانگر این است که تاکنون تعداد 0 صفر در ورودی وجود داشته است ، در حالی که S 2 عدد عجیبی را نشان می دهد. A 1 در ورودی حالت اتومات را تغییر نمی دهد. پس از اتمام ورودی ، دولت نشان می دهد که ورودی دارای عدد یکسان 0 است یا خیر. اگر ورودی حاوی یک تعداد صفر باشد ، M در حالت S 1 ، حالت پذیرش به پایان می رسد ، بنابراین رشته ورودی پذیرفته می شود.

زبان شناخته شده توسط M ، زبان عادی است که توسط عبارت منظم 1 * (0 (1 *) 0 (1 *)) * داده می شود ، که در آن "*" ستاره کلاین است ، به عنوان مثال ، 1 * هر عدد غیر منفی را نشان می دهد ( احتمالاً صفر) نمادهای "1".

  • بسیاری از فعالیتهای روزمره که بدون فکر انجام می شود ، استفاده از مدلهای ریاضی است. طرح ریزی نقشه جغرافیایی منطقه ای از زمین بر روی سطح هواپیما کوچک ، مدلی است که می تواند برای بسیاری از اهداف از جمله برنامه ریزی سفر مورد استفاده قرار گیرد. [7]
  • فعالیت ساده دیگر پیش بینی موقعیت یک وسیله نقلیه از موقعیت اولیه ، جهت و سرعت حرکت آن است ، با استفاده از معادله ای که مسافت طی شده است محصول زمان و سرعت است. این امر به عنوان حساب بیشتر در هنگام مردن شناخته می شود. از این طریق مدل سازی ریاضی لزوماً به ریاضیات رسمی احتیاج ندارد. حیوانات نشان داده شده اند که از حساب های مرده استفاده می کنند. [8] [9]
  • رشد جمعیت . یک مدل ساده (هرچند تقریبی) از رشد جمعیت ، مدل رشد مالتوس است . یک الگوی رشد جمعیت کمی واقع بینانه تر و بیشتر مورد استفاده، عملکرد لجستیک و پسوندهای آن است.
  • مدل یک ذره در یک زمینه بالقوه . در این مدل ذره را به عنوان نقطه ای از جرم در نظر می گیریم كه مسیری را در فضا توصیف می كند كه با استفاده از تابعی كه مختصات خود را در فضا به عنوان تابعی از زمان مدل می كند ، ارائه می شود. زمینه بالقوه توسط یک عملکرد ارائه می شودV \!: \ mathbb {R} ^ 3 \! \ rightarrow \ mathbb {R و مسیر ، آن یک تابع است \ mathbf {r} \!: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3، راه حل معادله دیفرانسیل است:

- \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t ^ 2} m = \ frac {\ partial V [\ mathbf {r} (t)]} \ partial x} \ mathbf {\ hat {x}} + \ frac {\ partial V [\ mathbf {r} (t)]} {\ جزئی y} \ mathbf \ hat {y}} + \ frac {\ جزئی V [\ mathbf {r} (t)]} {\ جزئی z} \ mathbf {\ hat {z}}،

که می تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

m \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t ^ 2 = - \ nabla V [\ mathbf {r} (t)].

توجه داشته باشید که این مدل فرض می کند که ذره یک نقطه جرم است ، که مطمئناً در بسیاری موارد که ما از این مدل استفاده می کنیم ، نادرست است. به عنوان مثال ، به عنوان الگوی حرکت سیاره ای.

  • مدل رفتار منطقی برای مصرف کننده . در این مدل فرض می کنیم که مصرف کننده با کالای n دارای برچسب های 1،2 ، ... ، n هر کدام با قیمت بازار p 1 ، p 2 ، ... ، p n مواجه است . مصرف کننده در نظر گرفته شده است به یک مطلوبیت ترتیبی تابع U (ترتیبی به این معنا که تنها نشانه ای از تفاوت های بین دو آب و برق، و نه سطح هر یک از ابزار، معنی دار است)، بسته به مقدار کالاهای X 1 ، ایکس 2 ، ... ، x n مصرف شده است. این مدل بیشتر فرض می کند که مصرف کننده بودجه داردM است که برای خرید وکتور x 1 ، x 2 ، ... ، x n به گونه ای استفاده می شود که U را به حداکثر برساند ( x 1 ، x 2 ، ... ، x n ). سپس مسئله رفتار منطقی در این مدل به یک مسئله بهینه سازی ریاضی تبدیل می شود ، یعنی:

\ max U (x_1 ، x_2 ، \ ldots ، x_n)

مشروط به:

\ sum_ {i = 1} ^ n p_i x_i \ leq M.

x_ {i} \ geq 0 \؛ \؛ \؛ \ من در \ \ 1 2 2 ، \ ldots ، n \

این مدل در زمینه های اقتصادی متنوعی مانند نظریه تعادل عمومی برای نشان دادن وجود و کارایی پارتو از تعادل اقتصادی استفاده شده است.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model