ادامه روشهای رانگ - کوتا(روشهای آشکار)

روشهای آشکار Runge-Kutta [ ویرایش ]

خانواده روشهای آشکار Runge-Kutta تعمیم روش RK4 ذکر شده در بالا است. داده شده توسط

$y_ {n + 1} = y_ {n + h \ sum _ {i = 1} ^ {s} b_ {i} k_ {i}،$

جایی که [5]

$\ displaystyle \ شروع {تراز شده} k_ {1} & = f (t_ {n} ، y_ {n}) ، \\ k_ {2} & = f (t_ {n} + c_ {2} h، y_ {n} + h (a_ {21} k_ {1})) ، \\ k_ {3} & = f (t_ {n} + c_ {3} h، y_ {n} + h (a_ {31} k_ {1} + a_ {32} k_ {2})) ، \\ & \ \ \ vdots \\ k_ {s} & = f (t_ {n} + c_ {s} h، y_ {n} + h ( a_ {s1} k_ {1} + a_ {s2} k_ {2} + \ cdots + a_ {s، s-1} k_ {s-1})). \ end {تراز شده}}}$

(توجه: معادلات فوق ممکن است تعاریف متفاوت اما معادل در بعضی از متون داشته باشند). [3]

برای مشخص کردن یک روش خاص، یکی از نیاز به ارائه صحیح بازدید کنندگان (تعداد مراحل)، و ضرایب IJ (برای 1 ≤ j را < من ≤ بازدید کنندگان )، ب من (برای من = 1، 2، ...، s ) و c i (برای i = 2 ، 3 ، ... ، s ). ماتریس [ IJ ] نامیده می شود ماتریس رانگ-کوتا ، در حالی که ب من و ج من به عنوان شناخته شده وزن و گره . [6]این داده ها معمولاً در یک دستگاه مونمونیک معروف به یک تابلوی قصاب (بعد از جان سی. قصاب ) مرتب می شوند :

${\ نمایشگر 0}$
$c_ {2$	$a_ {21}$
$c_ {3$	$a_ {31}$	$a_ {32$
$\ vdots$	$\ vdots$		$\ ddots$
$c_ {s$	$a_ {s1$	$a_ {s2$	$\ cdots$	$a_ {s، s-1$
	$b_ {1$	$b_ {2$	$\ cdots$	$b_ {s-1$	$لیسانس}$

تیلور سری گسترش نشان می دهد که روش رانگ کوتا مرتبه چهار-سازگار است اگر و تنها اگر

$\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {s} b_ {i} = 1.$

در صورت نیاز به متد برای داشتن دستور خاص p ، الزامات همراهی نیز وجود دارد ، به این معنی که خطای محکم محلی O است ( h p + 1 ). اینها را می توان از تعریف خطای تنش به دست آورد. به عنوان مثال ، یک روش دو مرحله ای دارای دستور 2 اگر b 1 + b 2 = 1 ، b 2 c 2 = 1/2 و b 2 a 21 = 1/2 است. [7] توجه داشته باشید که یک شرط محبوب برای تعیین ضرایب [8]

$\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {i-1} a_ {ij} = c_ {i} {\ text {for}} i = 2، \ ldots، s$

اما این شرط به تنهایی نه برای سازگاری کافی است و نه لازم است. [9]

به طور کلی ، اگر صریح است $s$ مرحله-مرحله Runge-Kutta نظم دارد $پ$ سپس می توان ثابت کرد که تعداد مراحل باید راضی باشد $s \ geq ص$ ، و اگر $p \ geq 5$ ، سپس \ $\ displaystyle s \ geq p + 1$ . [10] با این حال ، مشخص نیست که آیا این مرزها در همه موارد تیز است ؟ به عنوان مثال ، تمام روشهای شناخته شده نظم 8 حداقل 11 مرحله دارند ، اگرچه ممکن است روشهایی با مراحل کمتری وجود داشته باشد. (حد بالا نشان می دهد که می تواند یک روش با 9 مرحله وجود داشته باشد ؛ اما همچنین می تواند این باشد که محدودیت کاملاً تیز نباشد.) در واقع ، مسئله باز است که حداقل تعداد مراحل دقیق آن دقیقاً باشد. $s$ برای یک روش Runge-Kutta صریح است که نظم داشته باشد $پ$ در مواردی که هنوز هیچ روش کشف نشده است که مرزهای فوق را با برابری برآورده سازد. برخی از مقادیر شناخته شده عبارتند از: [11]

${\ fill {array} {c | cccccccc} p & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &\ \\ hline \ min s & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 7 & 9 & 11 \ end {array}$

مرزهای قابل اثبات در بالا نشان می دهد که ما نمی توانیم روش سفارشات را پیدا کنیم $\ displaystyle p = 1،2 ، \ ldots ، 6$ که به مراحل کمتری نسبت به روش هایی که قبلاً برای این سفارشات می شناسیم نیاز دارد. با این حال ، قابل تصور است که ما ممکن است یک روش نظم پیدا کنیم $p = 7$ که تنها 8 مرحله دارد ، در حالی که تنها آنها که امروز شناخته شده اند حداقل 9 مرحله دارند که در جدول نشان داده شده است.

مثالها [ ویرایش ]

روش RK4 در این چارچوب قرار می گیرد. تابلوی آن [12]

0
1/2	1/2
1/2	0	1/2
1	0	0	1
	1/6	1/3	1/3	1/6

تغییر اندکی از روش "Runge-Kutta" نیز به دلیل کوتا در سال 1901 است و به این قانون 3/8 گفته می شود. [13] مزیت اصلی این روش این است که تقریباً کلیه ضرایب خطا نسبت به روش رایج کوچکتر است ، اما در هر مرحله زمان نیاز به کمی بیشتر FLOP (عملیات نقطه شناور) دارد. تابلوی قصابی آن است

0
1/3	1/3
2/3	-1/3	1
1	1	−1	1
	1/8	3/8	3/8	1/8

با این حال ، ساده ترین روش Runge-Kutta روش اویلر (رو به جلو) است که توسط فرمول داده شده است

${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (t_ {n} ، y_ {n})}$ . این تنها روش صریح و روشن Runge-Kutta با یک مرحله است. تابلوی مربوطه است

0
	1

روش های مرتبه دوم با دو مرحله [ ویرایش ]

نمونه ای از روش مرتبه دوم با دو مرحله با روش midpoint ارائه شده است :

$\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf \ left (t_ {n} + {\ frac {1} {2}} h، y_ {n} + {\ frac {1} {2 } hf (t_ {n} ، \ y_ {n}) \ درست).$

تابلوی مربوطه است

0
1/2	1/2
	0	1

روش midpoint تنها روش مرتبه دوم Runge-Kutta با دو مرحله نیست. خانواده ای از این روش ها وجود دارد ، که توسط α پارامتر شده و با فرمول داده می شود [14]

$y_ {n + 1} = y_ {n} + h {\ bigl (} (1 - {\ tfrac {1} {2 \ alpha}}) f (t_ {n} ، y_ {n}) + {\ tfrac {1} {2 \ alpha}} f (t_ {n} + \ alpha h، y_ {n} + \ alpha hf (t_ {n}، y_ {n})) {\ bigr).$